专题07 简单几何体的外接球——高一数学下学期期末专项复习学案+期末模拟卷（北师大2019版）

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专题07简单几何体的外接球—高一数学下期期末复习高频考点强化训练（北师大2019版）一、单选题1．已知圆锥的底面圆周和顶点都在一半径为1的球的球面上，当圆锥体积为球体积的时，圆锥的高为（    ）A． B．1 C．1或 D．1或【答案】D【分析】根据圆锥的顶点、球心、圆锥底面圆心的相对位置，结合圆锥、球的体积公式进行分类求解即可.【详解】设球心为、圆锥的顶点为、圆锥底面的圆心为，设圆锥的高为，底面半径为，球的半径为，当圆锥的顶点、圆锥底面的圆心在球心的同侧时（或者球心就是圆锥底面的圆心），即，根据球和圆锥的对称性可知：，化简得：，因为圆锥体积为球体积的，所以，化简得：，即代入中得，，（舍去），当圆锥的顶点、圆锥底面的圆心在球心的异侧时，即，根据球和圆锥的对称性可知：，化简得：，因为圆锥体积为球体积的，所以，化简得：，即代入中得，，（舍去），（舍去），故选：D【点睛】关键点睛：根据球心、圆锥底面圆心、圆锥顶点的相对位置分类讨论求解是解题的关键.2．在三棱锥中，是等边三角形，平面平面，，则三棱锥的外接球体积为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】由余弦定理得，从而得是直角，因此中点是是外心，证明平面，可得的外心即中三棱锥外接球的球心，求得球半径可得球体积．【详解】中，，所以，，设是中点，则是外心，又是等边三角形，所以，而平面平面，平面平面，平面，所以平面，所以的外心即中三棱锥外接球的球心，所以球半径，球体积为．故选：C．【点睛】方法点睛：本题考查求球的体积，解题关键是找到外接球球心求出球半径．三棱锥外接球球心在过各面外心且与此面垂直的直线上，由此易寻找到外接球球心．3．在三棱锥中，，，.若三棱锥的体积为1，则该三棱锥外接球的表面积为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】由条件可知和为以为斜边的直角三角形，则的中点为外接球的球心. 过做平面，垂足为，由三棱锥的体积可求出高，根据三角形全等可证明在的角平分线上，即，由线面垂直的定理可知，从而可计算，勾股可知的长，从而计算外接球的半径和表面积.【详解】解：因为，所以和为以为斜边的直角三角形，则的中点到各个顶点的距离都相等，则为外接球的球心.即为直径.过做平面，垂足为，连结，，则，解得：.，，，，则分别为在平面内的射影，所以有，又，为公共边，所以，则，所以在的角平分线上，，，，，所以有平面，平面，则有，因为，，所以，则，则 故外接球的表面积为.故选：D.【点睛】思路点睛：求三棱锥的外接球的球心位置，若三棱锥所有顶点都在某一边为斜边的三角形上，则斜边的中点为球心，计算斜边的长度即可求出半径.4．已知三棱锥的四个顶点均在同一个球面上，底面满足，，若该三棱锥体积的最大值为3，则其外接球的表面积为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】求出棱锥的最大高度，利用勾股定理计算外接圆的半径，从而得出球的体积．【详解】解：是等腰直角三角形，为截面圆的直径，故外接球的球心在截面中的射影为的中点，当，，共线且，位于截面同一侧时棱锥的体积最大，棱锥的最大高度为，，解得，设外接球的半径为，则，，在中，，由勾股定理得：，解得．外接球的体积．故选：C．5．已知，是球的球面上两点，，为该球面上的动点，若三棱锥体积的最大值为36，则球的表面积为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】当 平面时，三棱锥体积最大，根据棱长与球半径关系即可求出球半径，从而求出表面积.【详解】当 平面时，三棱锥体积最大.又，则三棱锥体积，解得；故表面积.故选：C.【点睛】关键点点睛：本题考查三棱锥与球的组合体的综合问题，本题的关键是判断当 平面时，三棱锥体积最大.6．已知三棱锥的每个顶点都在球的球面上，平面平面，，，，，则三棱锥外接球的表面积为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】取的中点，连接，则,有为直角三角形，得到其外接圆圆心为的中点，设四面体的外接球球心为，易知四边形为直角梯形，过作于点，得到四边形为矩形求解.【详解】如图所示：取的中点，连接，则.因为为直角三角形，所以其外接圆圆心为的中点，设四面体的外接球球心为，则平面，易知点，点位于平面同侧，又因为平面，所以，连接，，故四边形为直角梯形，过作于点，则四边形为矩形，连接，设四面体的外接球的半径为，.在中，，，所以，.在中，，所以，①在中，，在直角梯形中，，，.在中，，即.②解①②组成的方程组，得，所以，解得(负值舍去).所以四面体的外接球的表面积.故选：C【点睛】关键点点睛：本题关键是根据为直角三角形，得到其外接圆圆心为的中点，再利用球的截面性质，球心O与M的连线垂直平面，构造直角梯形而得解.7．如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某一几何体的三视图，则该几何体外接球的表面积为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】还原几何体，然后计算出几何体外接球表面积.【详解】根据三视图可还原成一个四棱锥，如图，其中底面是一个边长为2的正方形，平面，且，可补形成一个长方体，则长方体的体对角线即为外接球的直径，，即，.故选：D.【点睛】本题考查了还原三视图，然后求几何体外接球的表面积，先还原几何体，在计算外接球的直径时可以将几何体补成一个长方体，然后计算，需要掌握解题方法．8．已知圆柱的两底面圆周上的所有点都在球的表面，且圆柱的底面半径为，高为，则球的表面积为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据题意可知球心位置，求出半径即可求球的表面积.【详解】设球的半径为,球心为，如图，则球心在的中点，所以,所以球的表面积为，故选：D 二、多选题9．一棱长等于1且体积为1的长方体的顶点都在同一球的球面上，则该球的体积可能是（    ）A． B． C． D．【答案】BCD【分析】设长方体未知的两棱长分别为，，由长方体对角线就是外接球直径得半径，求得体积，并由基本不等式求得体积范围，然后可得正确选项．【详解】设长方体未知的两棱长分别为，则，，设外接球半径为，则，球体积为，，当且仅当时等号成立，所以．故选：BCD．10．已知正四面体的棱长为，，分别为棱，上靠近点的三等分点，过，，三点的平面记为，该四面体的外接球记为球、内切球记为球．则（    ）A．球与球的体积之比为B．四棱锥的体积C．平面截球所得截面圆的面积为D．平面与球无公共点【答案】AC【分析】A.由正四面体外按球的球心与内切球的球心重合，记为．设点在平面上的射影为，易知在线段上，分别求得球和球的半径判断； B.由，为三等分点，易知，再由锥体体积公式求解判断；C.设在平面上的射影为，得到 为平面截球所得截面圆的圆心，求得，再由求得截面圆的半径判断；D.由，球的半径为判断【详解】易知正四面体外按球的球心与内切球的球心重合，记为．如图，设点在平面上的射影为，则为等边三角形的中心，连接，，所以，，且在线段上，设球的半径为，连接，则，解得，故内切球的半径，则球与球的体积之比为，选项A正确；由，为三等分点，知，则四边形的面积，故四棱锥的体积，选项B错误；设在平面上的射影为，在平面上的射影为，则为平面截球所得截面圆的圆心，取的中点，连接，易知，均在线段上，连接，易知为高的，所以，在中，，所以，连接，由等面积法，得，连接，则，，则，所以平面截球所得截面圆的半径，故该截面圆的面积为，选项C正确；由于，平面，球的半径，故平面与球相切，有一个公共点，选项D错误，故选：AC．【点睛】关键点点睛：多面体与球的外接和内切问题的关键是确定球心的位置和截面性质的应用.三、填空题11．在三棱锥中，是边长为3的等边三角形，，，二面角的大小为，则三棱锥外接球的表面积为_________.【答案】【分析】利用球的截面小圆性质，分析探讨出三棱锥的外接球球心位置，求出球半径即可得解.【详解】在三棱锥中，取AB中点O1，连CO1，PO1，，是正三角形，如图：则，即平面，平面平面，平面平面，又，则O1是三棱锥外接球被平面ABC截得的小圆圆心，设O为球心，连接OO1，则平面，正的中心O2，则O2是三棱锥外接球被平面ABP截得的小圆圆心，连接OO2，则平面，所以平面，平面，连OC，则OC长为三棱锥外接球半径，是二面角的平面角，即，而,则，因AB=3，则，中，，，中，，所以三棱锥外接球的表面积.故答案为：【点睛】关键点睛：求多面体外接球表面积和体积问题，关键是确定多面体外接球的球心，进而求得半径.12．在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑.已知在鳖臑中，满足平面，且，当该鳖臑的内切球的半径为时，则此时它外接球的体积为______.【答案】【分析】首先利用等体积转换法求出的长，进一步求出半径，最后求出球的体积.【详解】解：由题意可知：鳖臑如图：设，利用等体积转换： 解得：或（舍去）故外接球的半径为：.故 故答案为：.【点睛】知识点点睛：（1）鳖臑属于常见的三棱锥，首先放在长方体中画出图形；（2）当三棱锥的顶点是所在长方体的顶点时，三棱锥的外接球的球心与长方体外接球的球心重合. 四、解答题13．据说伟大的阿基米德逝世后，敌军将领马塞拉斯给他建了一块墓碑，在墓碑上刻了一个如图所示的图案，图案中球的直径、圆柱底面的直径和圆柱的高相等，圆锥的顶点为圆柱上底面的圆心，圆锥的底面是圆柱的下底面．（1）试计算出图案中圆柱与球的体积比：（2）假设球半径，试计算出图案中圆锥的体积和表面积．【答案】（1）；（2）体积为，表面积为.【分析】（1）利用球和圆柱的体积公式求解即可；（2）由球的半径得出圆锥的底面半径以及高，进而得出母线长，再由圆锥的体积公式以及圆的面积公式，扇形的面积公式得出圆锥的体积和表面积.【详解】（1）设球的半径为，则圆柱底面半径为，高为，圆柱的体积 ，球的体积 ，圆柱与球的体积比为：；（2）由题意可知：圆锥底面半径为，高为，圆锥的母线长：，圆锥体积：，圆锥表面积：.【点睛】本题主要考查了求圆锥的体积和表面积，圆柱和球的体积，属于中档题.14．已知一圆锥的母线长为，底面半径为.（1）求圆锥的高；（2）若圆锥内有一球，球与圆锥的底面及圆锥的所有母线都相切，求球的表面积和体积.【答案】（1）8cm；（2）36πcm2；36πcm3【分析】（1）根据圆锥母线长及底面圆半径构成的直角三角形求得圆锥的高；（2）根据圆锥内切球与截面三角形间的边角关系求得半径，从而求得表面积和体积.【详解】（1）如图所示，三角形ABC是圆锥沿中心轴垂直底面的切面，则，，则圆锥的高（2）设内切球半径为r，则，，易知，则，即，解得，则球的表面积为；球的体积为；【点睛】关键点点睛：作出截面三角形及内切球的截面圆，根据边角关系，求得边长和半径，从而求得体积和表面积.