卷03——高一数学下学期期末模拟测试卷（沪教版2020）（原卷版+解析版）

高一年级下学期期末仿真卷03

本试卷共21题。全卷满分100分。考试用时90分钟。

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、填空题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分）考生应在答题纸上相应编号的空格内直接写结果，否则一律零分.

1.cos（﹣300°）＝　　．

【解答】解：∵cos（﹣300°）＝．

故选C．

【知识点】诱导公式

2.若，则＝　　．

【解答】解∵，∴．

∵，

∴，

故答案为：﹣．

【知识点】二倍角的三角函数

3.i是虚数单位，则＝　﹣　．

【答案】1-i

【解答】解：∵＝＝＝1﹣i，

∴＝1﹣i，

故答案为：1﹣i

【知识点】虚数单位i、复数

4.终边在一三象限角平分线的角的集合为　　　　　　　　　　　　　　　　．

【解答】解：设角的终边在第一象限和第三象限的平分线上的角为α，

当角的终边在第一象限的平分线上时，则α＝2kπ+，k∈z，

当角的终边在第三象限的平分线上时，则 α＝2kπ+，k∈z，

综上，α＝2kπ+，k∈z  或α＝2kπ+，k∈z，

即 α＝kπ+，k∈z，

故终边在一、三象限角平分线的角的集合是：{α|α＝kπ+，k∈z}．

故答案为：{α|α＝kπ+，k∈z}．

【知识点】任意角的概念

5.若复数z满足|z|＝2，则|z+3|+|z﹣3|的取值范围是　　　　　　　　　　．

【解答】解：满足|z|＝2的z在以原点为圆心，以2为半径的圆上，

图，

则|z+3|+|z﹣3|的表示圆上的点到B（﹣3，0）和C（3，0）的距离，由图象可知，

当点在E，G处最小，最小为：3+3＝6，

当点在D，F处最大，最大为2，

则|z+3|+|z﹣3|的取值范围是[6，2]，

故答案为：[6，2]．

【知识点】复数的代数表示法及其几何意义

6.方程在（﹣π，π）内的实数解的个数有　　个．

【答案】4

【解答】解：先画函数y＝tan2x的图象，它的图象周期为，

在（﹣π，π）内有3个完整的周期，两个半边的周期，

然后将y值为负数的部分关于X轴对称即得到函数y＝|tan2x|的图象，

其y值都是非负数；

然后再画出y＝sin（x﹣）的图象，

其图象为函数y＝sinx的图象向右平移个单位，

然后观察图象就可得，有4个交点，

即实数解的个数有4个．

分别介于 （﹣π，）、（，）、（，）、（，π）之间．

故答案为4．

【知识点】正弦函数的图象、正切函数的单调性和周期性、正切函数的图象

7.如图，将三个相同的正方形并列，则∠AOB+∠AOC＝　　．

【解答】解：设∠AOB＝α，∠AOC＝β，

由题意可得tanα＝，tanβ＝，

故tan（α+β）＝＝＝1，

因为，，

故α+β∈（0，π），

所以α+β＝．

故答案为：

【知识点】两角和与差的三角函数

8.已知圆O内接正三角形ABC边长为2，圆心为O，则•＝　﹣　　　　　，若线段BC上一点D，BD＝DC，＝　　　　　　．

【解答】解：因为△ABC是半径为R的⊙O的内接正三角形．

所以＝2R，解得R＝．

显然△OBC是等腰三角形，且OB＝OC＝R，∠BOC＝120°．

∴＝R2•cos120°＝﹣，

∵线段BC上一点D，BD＝DC，

∴＝﹣（+）•（+）＝﹣（+）•（﹣+）＝﹣（﹣﹣+）＝﹣（﹣22﹣×2×2×cos60°+×22）＝；

故答案为：﹣，．

【知识点】平面向量数量积的性质及其运算

9.已知平面向量，，其中，，，则＝　　；若t为实数，则的最小值为　　．

【解答】解：∵，

∴＝；

＝，

∴t＝﹣1时，取最小值．

故答案为：．

【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角

10.在平面直角坐标系xOy中，设A，B，C，D为函数y＝sinωx与y＝cosωx（ω＞0）的图象的四个相邻的交点，且四边形ABDC的面积为π，则ω的值为　　　　　　．

【解答】解：作出两个函数的图象如图：

则四边形ABDC为平行四边形，

其中|AC|＝T，

由sinωx＝cosωx，即tanωx＝1，

则ωx＝+kπ，k∈Z，

则x＝+，则当k＝0时，C（，），

当k＝1时，D（，﹣），

则四边形ABDC的高h＝+＝，

由四边形ABDC的面积为π，

即T＝π，

即，得ω＝2，

故答案为：2

【知识点】余弦函数的图象、正弦函数的图象

11.定义在区间上的函数y＝6cosx的图象与y＝5tanx的图象的交点为P，过点P作PP1⊥x轴于点P1，直线PP1与y＝sinx的图象交于点P2，则线段P1P2的长为　　　　　　．

【解答】解：线段P1P2的长即为sinx的值，

且其中的x满足6cosx＝5tanx，即6cosx＝，化为6sin2x+5sinx﹣6＝0，解得sinx＝．线段P1P2的长为

故答案为．

【知识点】正切函数的图象

12.正弦型函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象如图所示，则f（x）的解析式为　　　　　　　　　　　　　　．

【解答】解：由函数f（x）＝Asin（ωx+φ）的图象知，

A＝1，周期为T＝4×（﹣）＝π，

∴ω＝＝2；

由2×+φ＝，解得φ＝，

∴f（x）＝sin（2x+）．

故答案为：f（x）＝sin（2x+）．

【知识点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式

二、选择题（本大题共4小题，每小题4分，满分16分）每题有且只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得4分，否则一律零分.

13.设z∈C，且|z|＝1，当|（z﹣1）（z﹣i）|最大时，z＝（　　）

A．﹣1 B．﹣i C．﹣﹣i D．+i

【答案】C

【解答】解：|z|＝1，设z＝cosθ+isinθ，则|（z﹣1）（z﹣i）|＝2

令sinθ+cosθ＝t，则sinθcosθ﹣sinθ﹣cosθ+1＝

∴当t＝即θ＝时，|（z﹣1）（z﹣i）|取最大值，此时，z＝﹣﹣i．

【知识点】复数的代数表示法及其几何意义

14.已知函数f（x）＝cosx+msinx的图象过点（，2），且区间[﹣a，a]上单调递增，则a的取值范围为（　　）

A．（0，] B．（，] C．（0，] D．（，]

【答案】C

【解答】解：∵f（x）＝cosx+msinx的图象过点（，2），

∴cos＝2，

解得，m＝，f（x）＝cosx+sinx＝2sin（x+），

∵x∈[﹣a，a]，

∴x+，

∵f（x）在区间[﹣a，a]上单调递增，

∴[]⊆[]，k∈Z，

∴，

∴，

∵a＞0，

故当k＝0时，．

故选：C．

【知识点】两角和与差的三角函数、余弦函数的图象

15.已知角α在平面直角坐标系中如图所示，其中射线OA与y轴正半轴的夹角为30°，则α的值为（　　）

A．﹣480° B．﹣240° C．150° D．480°

【答案】D

【解答】解：角α在平面直角坐标系中如图所示，其中射线OA与y轴正半轴的夹角为30°，

则α的值为360°+90°+30°＝480°，

故选：D．

【知识点】任意角的概念

16.P、Q、R是等腰直角△ABC（A为直角）内的点，且满足∠APB＝∠BPC＝∠CPA，∠ACQ＝∠CBQ＝∠BAQ，AR和BR分别平分∠A和∠B，则（　　）

A．＞ B．＞＞ 

C．＞＞ D．＞＞

【答案】D

【解答】解：如图所示，

①由∠APB＝∠BPC＝∠CPA知，这三个角都是120°，且P在∠BAC的平分线AD上；

取AB＝6，则BD＝AD＝3，∠PBC＝30°，

得PD＝＝，PB＝2，PA＝AD﹣PD＝3﹣，

所以•＝（3﹣）•2•cos120°＝6﹣6；

②由题意知R是△ABC的内心，也在AD上，

内切圆半径RD＝＝＝6﹣3，

RA＝AD﹣RD＝6﹣6，

所以•＝（+）•＝•+•＝﹣（6﹣3）•（6﹣6）+0＝72﹣54；

③由∠ACQ＝∠BAQ，且∠BAQ+∠CAQ＝∠BAC＝90°，

则∠ACQ+∠CAQ＝90°，

所以∠AQC＝90°，即AQ⊥CQ，则Q在以AC为直径的圆上；

由∠CBQ＝∠ACQ，且∠ACQ+∠BCQ＝∠ACB＝45°，

所以∠CBQ+∠BCQ＝45°，得∠BQC＝135°，∠AQB＝135°；

由∠BQC＝∠AQB，∠BCQ＝∠ABQ，得△BQC∽△AQB，

所以＝＝，

设AQ＝x，BQ＝，在△ABQ中，

由余弦定理得x2+2x2﹣62＝2•x•x•cos135°，解得x2＝；

所以•＝x•x•cos135°＝﹣x2＝﹣＝﹣7.2；

由•＝6﹣6≈6﹣6×1.732＝﹣19.424，

•＝72﹣54≈﹣4.356，

所以•＞•＞•．

故选：D．

【知识点】平面向量数量积的性质及其运算

三、解答题（本大题共5小题，共48分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写上必要的步骤.

17.（1）计算cos300°﹣sin（﹣330°）+tan675°

（2）化简（n∈Z）．

【解答】解：（1）原式＝cos（360°﹣60°）+sin（360°﹣30°）+tan（720°﹣45°）＝cos60°﹣sin30°﹣tan45°＝﹣﹣1＝﹣1；

（2）原式＝＝＝﹣．

【知识点】诱导公式

18.如图，在四边形ABCD中，∠ADB＝45°，∠BAD＝105°，，BC＝2，AC＝3．

（1）求边AB的长及cos∠ABC的值；

（2）若记∠ABC＝α，求的值．

【解答】解：（1）∵∠ADB＝45°，∠BAD＝105°，

∴∠ABD＝30°，

∵，BC＝2，

△ABD中，由正弦定理可得，，

∴AB＝，

∵AC＝3．

△ABC中由余弦定理可得，cos∠ABC＝＝＝

（2）由（1）可得cosα＝

∴sinα＝

∴sin2α＝2sinαcosα＝，cos2α＝2cos2α﹣1＝﹣

∴＝＝．

【知识点】余弦定理、二倍角的三角函数

19.已知z是复数，z+2i与均为实数．

（1）求复数z；

（2）复数（z+ai）2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．

【解答】解：（1）设z＝x+yi（x，y∈R），

则z+2i＝x+（y+2）i为实数，

∴y＝﹣2．

∵＝＝为实数，

∴，解得x＝4．

则z＝4﹣2i；

（2）∵（z+ai）2＝（4﹣2y+ai）2＝（12+4a﹣a2）+8（a﹣2）i在第一象限，

∴，

解得2＜a＜6．

【知识点】复数的运算、复数的代数表示法及其几何意义

20.如图，在平面直角坐标系xoy中，锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于A，B两点．

（1）若点A的纵坐标是，点B的纵坐标是，求sin（α+β）的值；

（2）若，求的值．

【解答】解：（1）由三角函数的定义得，，．

由角α、β的终边分别在第一和第二象限，

所以，，

所以；

（2），

则有，

又，

故，

得，

，

即＝．

【知识点】平面向量的综合题

21.函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，0）的部分图象如图所示，M为最高点，该图象与y轴交于点F（0，），与x轴交于点B，C，且△MBC的面积为．

（1）求函数f（x）的解析式；

（2）将函数y＝f（x）的图象向右平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标

伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y＝g（x）的图象，若方程2g（x）+m＝0在上有两个不相等的实根，求m的范围．

【解答】解：（1）△MBC的高为2，

∵△MBC的面积为，

∴|BC|×2＝，得|BC|＝，即＝，

则周期T＝π，即＝π，则ω＝2，

即f（x）＝2sin（2x+φ），

∵f（0）＝2sinφ＝，∴sinφ＝，

∵0，∴φ＝，即函数的解析式为f（x）＝2sin（2x+）．

（2）将函数y＝f（x）的图象向右平移个单位，得到y＝2sin[2（x﹣）+]＝2sin（2x+），

再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到g（x）＝2sin（x+），

由2g（x）+m＝0得g（x）＝﹣，

若，则x∈[，π]，x+∈[，]，

设t＝x+，则t∈[，]，则g（x）等价为y＝2sint，

作出函数y＝2sint在t∈[，]上的图象如图：

当t＝时，y＝2sin＝，

当t＝时，y＝2sin＝2，

要使方程2g（x）+m＝0在上有两个不相等的实根，

则≤﹣＜2，得﹣4＜m≤﹣2，

即实数m的取值范围是﹣4＜m≤﹣2．

【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换、由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式