专题1.2三角函数（知识点清单）——高一数学下学期期末重难点专项复习学案+期末模拟卷（沪教版2020）

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专题1.2三角函数【知识梳理】1、用五点法作正弦函数的简图（描点法）：正弦函数，的图象中，五个关键点是：            2、正弦函数的图像：把，的图象，沿着轴向右和向左连续地平行移动，每次移动的距离为，就得到的图像，此曲线叫做正弦曲线。由正弦函数图像可知：   （1）定义域：   （2）值域： ； 正弦线的长度小于或等于单位圆的半径的长度，所以， 即 ，也就是说，正弦函数的值域是亦可由正弦图像直接得出。     （3）奇偶性：奇函数由可知：为奇函数，正弦曲线关于原点对称   （4）单调递增区间：；   （5）单调递减区间：；   （6）对称中心：（）；   （7）对称轴：   （8）最值：当且仅当取最大值；              当且仅当取最小值。   （9）最小正周期：一般地，对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的每一个值时，都有，那么函数就叫做周期函数，非零常数叫做这个函数的周期由此可知都是这两个函数的周期对于一个周期函数，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做的最小正周期根据上述定义，可知：正弦函数、余弦函数都是周期函数，都是它的周期，最小正周期是 注意：1.周期函数定义域，则必有, 且若，则定义域无上界；则定义域无下界；2.“每一个值”只要有一个反例，则就不为周期函数;3.往往是多值的（如中都是周期）周期中最小的正数叫做的最小正周期（有些周期函数没有最小正周期）5、余弦函数的图像：（1）定义域：（2）值域：（3）奇偶性：偶函数（4）单调递增区间：，（5）单调递减区间：（6）对称中心：（）（7）对称轴：（8）最值：当且仅当取最大值；           当且仅当取最小值。（9）最小正周期：； 6. 函数的实际意义；7. 函数图像的变换（平移变换和伸缩变换）.一般的，函数（其中）的图像可由“五点法”或图像变换法得到．（1）“五点法”：先求出当为时相对应的值，其次分别求出对应的值，再列表、描点、连线，最后根据函数的周期性，将图像向左、右无限扩展，即可得在上图像．（2）图像变换法：一般可按下述步骤进行：①振幅变换：当时，图像上各点的纵坐标伸长到原来的倍（横坐标不变）；当时，图像上各点的纵坐标缩短到原来的倍（横坐标不变）．②平移变换：当时，图像上所有点向左平移个单位；当时，图像上所有点向右平移个单位．③周期变换：当时，图像上各点的横坐标缩短为原来的倍（纵坐标不变）；当时，图像上各点的横坐标伸长为原来的倍（纵坐标不变）．8、正切函数的图像：可选择的区间作出它的图像，通过单位圆和正切线，类比正、余弦函数图像的画法作出正切函数的图像                                    根据正切函数的周期性，把上述图像向左、右扩展，得到正切函数，且的图像，称“正切曲线”.由正弦函数图像可知：（1）定义域：，（2）值域：观察：当从小于，时，      当从大于，时，.（3）周期性：           （4）奇偶性：，所以是奇函数（5）单调性：在开区间内，函数单调递增.（6）中心对称点：9、 余切函数的图象：即将的图象，向左平移个单位，再以x轴为对称轴上下翻折，即得的图象        由余弦函数图像可知：（1）定义域：，（2）值域：（3）周期性：           （4）奇偶性：，所以是奇函数（5）单调性：在开区间内，函数单调递增.（6）中心对称点：【考点1】正弦函数和余弦函数的图像与性质1．（2020·上海黄浦区·高一期末）下列函数中，周期是的偶函数为（    ）.A． B． C． D．【答案】C【分析】分别根据定义判断各选项中函数的奇偶性与周期性，即可选出正确答案.【详解】A选项，函数的定义域为R，且，所以函数为偶函数，周期为；B选项，函数的定义域为R，且，所以函数为奇函数，周期为；C选项，函数的定义与为R，且，所以函数为偶函数，周期为；D选项，函数的定义域为R，且，所以函数为偶函数，不具有周期性.故选：C【点睛】本题考查三角函数的奇偶性与周期性，属于基础题.【考点2】函数y=Asin (wx+φ)的函数的图像与性质1．（2017·上海松江区·高一期末）将图像向左平移个单位，所得的函数为（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据三角函数的图象的平移变换得到所求．【详解】由已知将函数y＝cos2x的图象向左平移个单位，所得的函数为y＝cos2（x）＝cos（2x）；故选：A．【点睛】本题考查了三角函数的图象的平移；明确平移规律是解答的关键．2．（2016·上海黄浦区·高一期末）若将函数的图象向右平移个单位长度后，所得的图像与原函数图像重合，则的最小值为（    ）A．6 B．12 C．4 D．3【答案】A【分析】由题意根据函数的图象的变换规律，可得，即，由此可得的最小值.【详解】将函数的图象向右平移个单位长度后，可得的图象.根据所得的图象与原函数图象重合，则，即.∴的最小值为6，故选：A.【点睛】本题主要考查函数的图象变换规律，属于基础题．三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握，无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母而言.3．（2017·上海市南洋模范中学高一期末）已知曲线，如何变换可得到曲线（    ）A．把上各点的横坐标伸长到原来的倍，再向右平移个单位长度B．把上各点的横坐标伸长到原来的倍，再向左平移个单位长度C．把上各点的横坐标缩短到原来的倍，再向右平移个单位长度D．把上各点的横坐标缩短到原来的倍，再向左平移个单位长度【答案】D【分析】用诱导公式把两个函数名称化为相同，然后再按三角函数图象变换的概念判断．【详解】，∴可把的图象上各点的横坐标缩短到原来的倍，再向左平移个单位长度或先向左平移个单位，再把图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）可得的图象，故选：D．【点睛】本题考查三角函数的图象变换，解题时首先需要函数的前后名称相同，其次平移变换与周期变换的顺序不同时，平移的单位有区别．向左平移个单位所得图象的函数式为，而不是．【考点3】正切函数的图像与性质1．（2016·上海浦东新区·华师大二附中高一期中）下列函数中以为周期，在上单调递减的是（     ）A． B． C． D．【答案】A【分析】分别研究各选项周期与单调性，即可判断选择.【详解】周期为,在上单调递减;周期为,在上单调递增;周期为,在上单调递增;不是周期函数，在上单调递减;故选：A【点睛】本题考查函数周期与单调性，考查基本分析判断能力，属基础题.2．（2016·上海浦东新区·华师大二附中高一期中）,且，则必有（     ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据诱导公式以及正切函数单调性确定选项.【详解】因为在上单调递增，所以故选：C【点睛】本题考查诱导公式以及正切函数单调性，考查基本分析化简能力，属基础题.3．（2017·上海市七宝中学高一期中）已知，且，那么的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据正弦函数与正切函数的图象和性质，确定时的取值的范围，再根据，将不等式变形整理为，解不等式的或，从而确定的取值的范围，再取交集即可.【详解】在同一直角坐标系中画出函数与，内的图象，如图所示：由图可知，若使得，则需或，解得或由正切函数的图象和性质可知，或或或综上所述：或故选：B【点睛】本题考查正弦函数、正切函数的图象与性质，以及解不等式，属于中档题.