专题2.1 三角（专题练习）——高一数学下学期期末重难点专项复习学案+期末模拟卷（沪教版2020）

专题2.1 三角【专项训练】

【基础题】+【提升题】

【基础题】

1．（2021·上海市川沙中学高一期末），且，则________________.

【答案】

【分析】直接由特殊角的三角函数值得到答案.

【详解】因为，且

所以.

故答案为：

2．（2021·上海华师大二附中）已知，，则等于________．

【答案】

【分析】利用同角三角函数的基本关系可求得的值，进而利用商数关系可求得的值.

【详解】，，因此，．

故答案为：．

3．（2020·上海市川沙中学高一期末）若为第二象限的角，则__________．

【答案】

【分析】先根据同角三角函数的关系求出，再结合诱导公式即可求出.

【详解】为第二象限的角，

，

.

故答案为：.

【点睛】本题考查同角三角函数的关系以及诱导公式的应用，属于基础题.

4．（2020·上海市建平中学高一期末）已知扇形的圆心角为，半径为5，则扇形的面积为______.

【答案】

【分析】利用弧长公式先求解弧长，再利用扇形的面积公式求解.

【详解】因为扇形的圆心角为，半径为，所以扇形的弧长，

所以面积.

故答案为：.

【点睛】本题主要考查扇形的弧长公式与面积公式，侧重考查数学运算的核心素养，属于基础题..

5．（2020·上海高一期末）大于且终边与角重合的负角是________.

【答案】

【分析】根据终边相同的角的概念进行判断.

【详解】大于且终边与角重合的负角是.

故答案为：

【点睛】本题考查终边相同的角，属于基础题.

6．（2020·上海高一期末）若，则______．

【答案】

【分析】将展开代入即可.

【详解】

因为，所以.

故答案为：．

7．（2021·上海市川沙中学高一期末）已知是第二象限角，，则_______________.

【答案】

【分析】由为第二象限角，根据的值，利用同角三角函数间的基本关系求出的值，即可确定出的值．

【详解】解：是第二象限角，且，

，

则．

故答案为：．

8．（2021·上海曹杨二中高一期末）化简：___________.

【答案】1

【分析】利用诱导公式可求代数式的值.

【详解】原式，

故答案为：1.

9．（2021·上海曹杨二中高一期末）已知扇形的圆心角为，半径为，则该扇形的面积为_________．

【答案】；

试题分析：由题圆心角为，半径为；则：

考点：弧度制下的扇形面积算法.

10．（2020·上海市奉贤区奉城高级中学高一期末）若角的终边经过点P(3m，-4m)(m<0)，则sin+cos=_____.

【答案】

【分析】利用任意角三角函数的定义求解即可．

【详解】由题意得：

则，

故

故答案为：

11．（2020·上海市洋泾中学高一期末）已知角终边落在直线上，求值：_______．

【答案】2或

【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，分类讨论，分别求得和的值，可得要求式子的值．

【详解】解：当角终边落在直线上，为锐角，

均为正值，且，

再结合，求得，，

则．

当角终边落在直线上，，

均为负值，且，

再结合，求得，，

则，

故答案为：2或．

【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，考查运算能力，属于基础题．

12．（2020·上海市行知中学高一期末）已知，，则_______

【答案】

【分析】利用两角差的正切公式可求得的值.

【详解】，，

因此，.

故答案为：.

【点睛】本题考查利用两角差的正切公式求值，考查计算能力，属于基础题.

13．（2020·上海市川沙中学高一期末）方程在上的解_________．

【答案】

【分析】根据余弦函数性质以及特殊角三角函数值直接求解.

【详解】

因为，所以

故答案为：

【点睛】本题考查简单三角方程、余弦函数性质，考查基本求解能力，属基础题.

14．（2020·上海高一期末）若将化成（，）的形式，则________.

【答案】

【分析】利用辅助角公式及诱导公式化简即可得解.

【详解】方法一：，

由待定系数法，得，又，∴.

方法二：由辅助角公式及诱导公式可得，即.

故答案为：

【点睛】本题考查辅助角公式及三角函数诱导公式，属于基础题.

15．（2020·上海市建平中学高一期末）已知，，则______.

【答案】

【分析】根据三角函数的符号以及三角函数的基本关系式，即可求解.

【详解】因为，可得，

根据三角函数的基本关系式，可得.

故答案为：.

【点睛】本题主要考查了三角函数的基本关系式的化简、求值，其中解答中熟记三角函数的基本关系式，以及三角函数的符号是解答的关键，着重考查运算与求解能力.

16．（2020·上海高一期末）已知，则____________.

【答案】2

【分析】根据同角三角函数的基本关系计算可得；

【详解】解：因为

所以，解得

故答案为：

【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系的应用，属于基础题.

17．（2020·上海市洋泾中学高一期末）与角终边重合的角的集合是________

【答案】

【分析】根据终边相同的角的定义求解.

【详解】由终边相同的角的定义得：

与角终边重合的角是，

所以与角终边重合的角的集合是.

故答案为：

【点睛】本题主要考查终边相同的角的定义，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.

18．（2020·上海交大附中高一期末）已知，，则_______.

【答案】

【分析】根据角的范围,可判断.由诱导公式化简所给条件式,可求得.将所求式子平方化简,再开根号即可求解.

【详解】因为

则

所以

由诱导公式可知

则

由正弦二倍角公式代入可得

故答案为:

【点睛】本题考查了三角函数式的化简求值,根据角的范围化简三角函数式,注意角的范围及三角函数的符号,属于基础题.

19．（2020·上海交大附中高一期末）若，则______.

【答案】

【分析】根据同角三角函数关系商数式,用表示.结合平方关系,即可求得的值.结合诱导公式及正弦二倍角公式,即可求解.

【详解】因为

则

则

由同角三角函数关系式

代入可得

解得

由诱导公式及正弦二倍角公式化简可得

故答案为:

【点睛】本题考查了同角三角函数关系式的应用,诱导公式及正弦二倍角的化简应用,属于基础题.

20．（2020·上海交大附中高一期末）已知，，则______.

【答案】

【分析】根据正弦与余弦二倍角公式,结合同角三角函数关系式,代入化简即可求得的值.

【详解】因为

由正弦与余弦二倍角公式,结合同角三角函数关系式代入化简可得

即

当时,

所以

则

故答案为:

【点睛】本题考查了正余弦二倍角公式的应用,同角三角函数式的化简应用,属于基础题.

21．（2020·上海市建平中学高一期末）若，则__________.

【答案】

【解析】由正弦函数的倍角公式和三角函数的基本关系式，

得，

又因为，则，即.

22．（2020·上海市青浦高级中学高一期末）设a＞0，角α的终边经过点P（﹣3a，4a），那么sinα+2cosα的值等于______．

【答案】﹣

试题分析:利用任意角三角函数定义求解．

解：∵a＞0，角α的终边经过点P（﹣3a，4a），

∴x=﹣3a，y=4a，r==5a，

∴sinα+2cosα==﹣．

故答案为﹣．

考点：任意角的三角函数的定义．

【提升题】

一、填空题

1．（2019·上海交大附中高一期末）已知，且为第三象限角，则的值等于______；

【答案】

【分析】根据条件以及诱导公式计算出的值，再由的范围计算出的值，最后根据商式关系：求得的值.

【详解】因为，所以，

又因为且为第三象限角，所以，

所以.

故答案为：.

【点睛】本题考查三角函数中的给值求值问题，中间涉及到诱导公式以及同角三角函数的基本关系，难度一般.三角函数中的求值问题，一定要注意角的范围，避免出现多解.

2．（2019·上海上外附中高一期末）已知，，则______.

【答案】

【分析】利用同角三角函数的基本关系求得的值，利用二倍角的正切公式，求得，再利用两角和的正切公式，求得的值，再结合的范围，求得的值．

【详解】

，，

，，

，

，

故答案：.

【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和的正切公式，二倍角的正切公式，根据三角函数的值求角，属于基础题．

3．（2019·上海理工大学附属中学高一期末）若角的终边经过点，则___________.

【答案】3

【分析】直接根据任意角三角函数的定义求解，再利用两角和的正切展开代入求解即可

【详解】由任意角三角函数的定义可得：．

则

故答案为3

【点睛】本题主要考查了任意角三角函数的定义和两角和的正切计算，熟记公式准确计算是关键，属于基础题．

4．（2019·上海市建平中学高一期末）已知，若方程的解集为，则__________．

【答案】

【分析】将利用辅助角公式化简，可得出的值.

【详解】，

其中，，因此，，故答案为.

【点睛】本题考查利用辅助角公式化简计算，化简时要熟悉辅助角变形的基本步骤，考查运算求解能力，属于中等题.

5．（2019·上海高一期末）在中，角，，所对的边分别为，，，若，则角最大值为______.

【答案】

【分析】根据余弦定理列式，再根据基本不等式求最值

【详解】因为

所以角最大值为

【点睛】本题考查余弦定理以及利用基本不等式求最值，考查基本分析求解能力，属中档题

6．（2019·上海市奉贤中学高一期末）设，其中，则的值为________.

【答案】

【分析】由两角差的正弦公式以及诱导公式，即可求出的值．

【详解】，

所以，因为，故．

【点睛】本题主要考查两角差的正弦公式的逆用以及诱导公式的应用．

7．（2019·上海高一期末）若为幂函数，则满足的的

值为________.

【答案】

【分析】根据幂函数定义知，又，由二倍角公式即可求解.

【详解】因为为幂函数，

所以，即,

因为,

所以，即，

因为，

所以，.

故填.

【点睛】本题主要考查了幂函数的定义，正弦的二倍角公式，属于中档题.

8．（2019·上海曹杨二中高一期末）走时精确的钟表，中午时，分针与时针重合于表面上的位置，则当下一次分针与时针重合时，时针转过的弧度数的绝对值等于_______.

【答案】.

【分析】设时针转过的角的弧度数为，可知分针转过的角为，于此得出，由此可计算出的值，从而可得出时针转过的弧度数的绝对值的值.

【详解】设时针转过的角的弧度数的绝对值为，

由分针的角速度是时针角速度的倍，知分针转过的角的弧度数的绝对值为，

由题意可知，，解得，因此，时针转过的弧度数的绝对值等于，

故答案为.

【点睛】本题考查弧度制的应用，主要是要弄清楚时针与分针旋转的角之间的等量关系，考查分析问题和计算能力，属于中等题.

9．（2019·上海市川沙中学高一期末）在中，,其面积，则长为________.

【答案】49

【分析】根据三角形面积公式求得，然后根据余弦定理求得.

【详解】由三角形面积公式得,解得，由余弦定理得.

【点睛】本小题主要考查三角形的面积公式，考查利用余弦定理解三角形，属于基础题.

10．（2019·上海市川沙中学高一期末）已知，则_________.

【答案】

【分析】根据诱导公式求得的值，根据同角三角函数的基本关系式求得的值，根据二倍角公式求得的值.

【详解】依题意，由于，所以，所以.

【点睛】本小题主要考查诱导公式、同角三角函数的基本关系式，二倍角公式，属于基础题.

二、解答题

11．（2019·上海市实验学校高一期末）已知，，，求.

【答案】11

【分析】根据题设条件，结合三角数的基本关系式，分别求得 ，和，再利用两角和的正切的公式，进行化简、运算，即可求解.

【详解】由

，

由，

可得

又由，所以，

由，

得，

可得，

所以，

即.

【点睛】本题主要考查了两角和与差的正切函数的化简、求值问题，其中解答中熟记两角和与差的正切公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，试题有一定的难度，属于中档试题.

12．（2019·上海市实验学校高一期末）在△中，角、、所对的边分别为、、，且.

（1）求的值；

（2）若，求的最大值；

（3）若，，为的中点，求线段的长度.

【答案】（1）； （2）； （3）.

【分析】（1）由三角恒等变换的公式，化简，代入即可求解.

（2）在中，由余弦定理，结合基本不等式，求得，即可得到答案.

（3）设，在中，由余弦定理，求得，分别在和中，利用余弦定理，列出方程，即可求解.

【详解】（1）由题意，在中，，则

又由

.

（2）在中，由余弦定理可得，

即，可得，当且仅当等号成立，

所以的最大值为.

（3）设，如图所示，

在中，由余弦定理可得，

即，即，解得，

在中，由余弦定理,可得，……①

在中，由余弦定理,可得，……②

因为，所以，

由①+②，可得，即，

解得，即.

【点睛】本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，同角三角函数基本关系式，余弦定理在解三角形中的综合应用，其中解答中熟记三角恒等变换的公式，以及合理应用正弦定理、余弦定理求解是解答的关键，着重考查了转化思想与运算、求解能力，属于基础题．

13．（2019·上海市实验学校高一期末）已知，.

（1）求的值；

（2）求的值.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）由，，求得，结合两角差的余弦公式，即可求解；

（2）由三角函数的基本关系式和诱导公式，求得，再集合两角差的正切公式，即可求解.

【详解】（1）由题意知，，，所以，

则.

（2）由三角函数的基本关系式，可得，则

又由，

解得或，

又因为，可得，所以.

【点睛】本题主要考查了三角函数的基本关系式，三角函数的诱导公式，以及三角恒等变换的化简、求值问题，其中解答中熟记三角恒等变换的基本公式，准确运算时解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

14．（2019·上海高一期末）已知角、的顶点在平面直角坐标系的原点，始边与轴正半轴重合，且角的终边与单位圆（圆心在原点，半径为1的圆）的交点位于第二象限，角的终边和单位圆的交点位于第三象限，若点的横坐标为，点的纵坐标为.

（1）求、的值；

（2）若，求的值.（结果用反三角函数值表示）

【答案】（1）；（2）

【分析】（1）可根据单位圆定义求出，再由二倍角正弦公式即可求解；

（2）先求出由可求得，结合反三角函数即可求得

【详解】（1）由题可知：，

，，

；

（2）由，

，

又，

【点睛】本题考查单位圆的定义，二倍角公式的应用，两角差余弦公式的用法，属于中档题

15．（2019·上海理工大学附属中学高一期末）（1）已知，，且、都是第二象限角，求的值.

（2）求证：.

【答案】（1）；（2）见解析

【分析】（1）利用同角三角函数间的关系式的应用，可求得cosα，sinβ，再利用两角差的正弦、余弦与正切公式即可求得cos（α﹣β）的值．

（2）利用切化弦结合二倍角公式化简即可证明

【详解】（1）∵sinα，cosβ，且α、β都是第二象限的角，

∴cosα，sinβ，

∴cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ；

（2）得证

【点睛】本题考查两角和与差的正弦、余弦与正切，考查同角三角函数间的关系式的应用，属于中档题．

16．（2019·上海高一期末）如图，某人在离地面高度为的地方，测得电视塔底的俯角为，塔顶的仰角为，求电视塔的高.（精确到）

【答案】

【分析】过作的垂线，垂足为，再利用直角三角形与正弦定理求解

【详解】解：设人的位置为，塔底为，塔顶为，

过作的垂线，垂足为，

则，，，

，

所以，

答：电视塔的高为约.

【点睛】本题考查利用正弦定理测量高度，考查基本分析求解能力，属基础题

17．（2019·上海市奉贤中学高一期末）在中，已知，，且，求.

【答案】或

【分析】首先根据三角形面积公式求出角B的正弦值，然后利用平方关系，求出余弦值，再依据余弦定理即可求出．

【详解】由得，，所以或，由余弦定理有，，

故或，即或．

【点睛】本题主要考三角形面积公式、同角三角函数基本关系的应用，以及利用余弦定理解三角形．

18．（2019·上海市北虹高级中学高一期末）已知的内角所对的边分别为，．

（1）求的值；

（2）若，求的面积

【答案】（1）；（2）

【分析】（1）由正弦定理求解即可；（2）由余弦定理求得则面积可求

【详解】（1）由正弦定理得 故；

（2），

由余弦定理，，解得

因此，

【点睛】本题考查正余弦定理解三角形，考查面积公式，熟记公式准确计算是关键，是基础题

19．（2019·上海高一期末）在锐角中，角所对的边分别为，已知，，．

（1）求角的大小；

（2）求的面积．

【答案】（1）；（2）．

试题分析：（1）先由正弦定理求得与的关系，然后结合已知等式求得的值，从而求得的值；（2）先由余弦定理求得的值，从而由的范围取舍的值，进而由面积公式求解．

试题解析：（1）在中，由正弦定理，得，即.

又因为，所以.

因为为锐角三角形，所以.

（2）在中，由余弦定理，得，即.解得或.

当时，因为，所以角为钝角，不符合题意，舍去.当时，因为，又，所以为锐角三角形，符合题意.所以的面积.

考点：1、正余弦定理；2、三角形面积公式．