专题04 不等式（专题练习）——高二数学下学期期末专项复习学案+期末模拟卷（人教B版2019）

专题04  不等式【专项训练】

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【详解】

由可得或，所以集合或，

又集合，所以，

故选:C.

2．已知集合，，则（      ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】

由题意，得：，或，

∴，则.

故选：B．

3．若x，y∈R，2x+2y=1，则x+y的取值范围是（    ）

A．(﹣∞，﹣2] B．(0，1) C．(﹣∞，﹣0] D．(1，+∞)

【答案】A

【详解】

解：因为，

所以，

即，当且仅当，即时取“=”，

所以x+y的取值范围是(﹣∞，﹣2].

故选：A.

4．某市长期追踪市民的经济状况，依照订立的标准将市民分为高收入和低收入两类.统计数据表明该市高收入市民人口一直是低收入市民人口的两倍，且高收入市民中每年有会转变为低收入市民.那么该市每年低收入市民中转变为高收入市民的百分比是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】

解：设原来低收入市民人口为，则高收入市民人口为，设该市每年低收入市民中转变为高收入市民的百分比为，

则由题意可得，

解得，

故选：C

5．若实数，，满足，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【详解】

因实数，，满足，则a，b，c大小不等，且b在a，c之间，

取a=0，则，即选项A，C都不正确，

而，即选项D不正确，选项B正确.

故选：B

6．已知，，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【详解】

由得，，， 即，，故充分性成立；当，时，有，但不成立，故必要性不成立.

“”是“”的充分不必要条件.

故选：A.

7．已知，，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】

.

设，

所以，解得：，

，

因为，，

所以，

因为单调递增，

所以.

故选：C

8．若正实数，满足，则的最小值为（    ）

A．7 B．6 C．5 D．4

【答案】A

【详解】

因为，所以，

则

，

当且仅当时取等号，

故选：A．

9．若正数、满足，若不等式的恒成立，则的最大值等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】

已知正数、满足，可得，

所以，，

当且仅当时，等号成立，所以，的最小值为，.

因此，实数的最大值为.

故选：A.

10．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，其中卷第九勾股中记载：“今有邑，东西七里，南北九里，各中开门．出东门一十五里有木．问出南门几何步而见木?”其算法为：东门南到城角的步数，乘南门东到城角的步数，乘积作被除数，以树距离东门的步数作除数，被除数除以除数得结果，即出南门里见到树，则．若一小城，如图所示，出东门1200步有树，出南门750步能见到此树，则该小城的周长的最小值为（注：1里=300步）（    ）

A．里 B．里 C．里 D．里

【答案】D

【详解】

因为1里=300步，

则由图知步=4里，步=2.5里．

由题意，得，

则，

所以该小城的周长为，

当且仅当时等号成立.

二、多选题

11．已知，则下列不等式正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AD

【详解】

解：因为，所以，

对于A，因为，所以，，所以，所以A正确；

对于B，因为，所以，因为在上为增函数，所以，所以B错误；

对于C，因为，所以，若成立，则，所以，所以，则，所以，这与相矛盾，所以C错误；

对于D，因为，所以，所以，因为，所以等号不成立，所以，所以D正确，

故选：AD

12．已知实数，，满足，且，则下列结论正确的是（    ）

A．的最小值为 B．的最大值为

C．的最小值为 D．取最小值时

【答案】ACD

【详解】

因为，，

所以；

由柯西不等式可得：，

当且仅当，即时，等号成立；

所以，因此，整理得，解得，即A正确；

由可得，

而，当且仅当时，等号成立；

所以，整理得，解得，

故B错，C正确；

由可得，则，

所以，因此，

所以，

令，，

则，

当时，，当时，，当时，，

故在为增函数，在为减函数，为增函数，

所以的极小值为，

又，

而，所以，

即取最小值时，故D正确.

13．已知正数，满足，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BCD

【详解】

正数，满足，

所以，

当且仅当，即时等号成立，故A错误；

由知，，

构造函数，则，

故时，，单调递减；时，，单调递增.

所以，故时，有，B正确；

由，当且仅当时等号成立，故，

故，当且仅当时取等号，而，所以，C正确；

由知，，构造函数，

则，由指数函数性质可知单调递增，又，

故时，，单调递减；时，，单调递增.

故，即，D正确.

三、解答题

14．已知平面上的动点及两定点，，直线､的斜率分别为､，且，设动点的轨迹为曲线.

（1）求曲线的方程；

（2）过点的直线与曲线交于､两点.记与的面积分别为和，求的最大值.

【详解】

解：（1）由题意知，且，

则

整理得，曲线的方程为.

（2）当直线的斜率不存在时，直线方程为

此时与面积相等，

当直线的斜率存在时，设直线方程为

､

联立方程，得

消去，得：

，且，

此时

因为，

上式

(当且仅当时等号成立)

所以的最大值为.

15．已知函数．

（1）作出的图象并求出的值域；

（2）已知，，的最大值为，，求的最小值．

【详解】

（1）由题知，

作出的图象如图所示，

由图知，的值域为．

（2）由题知，，

∴，∴，所以有：当且仅当且，即时，取得最小值．