专题04 不等式（知识点清单）——高二数学下学期期末专项复习学案+期末模拟卷（人教B版2019）

专题04 不等式【知识梳理】

一、相等关系与不等关系

1.两个实数比较大小的方法

(1)作差法

(2)作商法

2.等式的性质

(1)对称性：若a＝b，则b＝a.

(2)传递性：若a＝b，b＝c，则a＝c.

(3)可加性：若a＝b，则a＋c＝b＋c.

(4)可乘性：若a＝b，则ac＝bc；若a＝b，c＝d，则ac＝bd.

3.不等式的性质

(1)对称性：a＞b⇔b＜a；

(2)传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c；

(3)可加性：a＞b⇔a＋c＞b＋c；a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d；

(4)可乘性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b，c＜0⇒ac＜bc；a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd；

(5)可乘方：a＞b＞0⇒an＞bn(n∈N，n≥1)；

(6)可开方：a＞b＞0⇒＞(n∈N，n≥2).

【例题1】已知，下列不等式一定成立的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】

当，时，A、C均不成立；

当，时，，B不成立；

由于函数在R上单调递增，，所以，故D正确.

故选：D

【例题2】已知，且．若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】

依题意，且，

当时，，，由此排除BD选项.

当时，，可能相同，如，由此排除C选项.

故选：A

【跟踪训练1】设、均为非零实数且，则下列结论中正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】

A．因为，的正负无法确定，故错误；

B．因为，的正负无法确定，故错误；

C．因为，的正负无法确定，故错误；

D．因为， ，所以，所以，故正确，

【跟踪训练2】若为实数，且，则下列命题正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】

对于A，当时，，A错误；

对于B，当，时，，，此时，B错误；

对于C，，，C错误；

对于D，，，，，

，D正确.

故选：D.

【跟踪训练3】若，则下列不等式正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】

对于A中，由，因为，可得，

所以，即，所以A不正确；

对于B中，由，因为，可得，

所以，所以B不正确；

对于C中，由，可得，

又由，可得，所以C不正确；

对于D中，因为，可得，则，

当且仅当时，即时等号成立，

又因为，所以，所以D正确.

故选：D.

二、均值不等式

1.均值不等式：≤

(1)均值不等式成立的条件：a≥0，b≥0.

(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号.

(3)其中称为正数a，b的算术平均数，称为正数a，b的几何平均数.

2.两个重要的不等式

(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号.

(2)ab≤(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号.

3.利用均值不等式求最值

已知x≥0，y≥0，则

(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2(简记：积定和最小).

(2)如果和x＋y是定值s，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是(简记：和定积最大).

【例题1】下列关于实数a､b的不等式中，不恒成立的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【详解】

由重要不等式和基本不等式可知A、B、C恒成立

当时不成立，

故选：D

【例题2】已知，，，则下列各式中正确的是（    ）

A． B．1 C．2 D．1

【答案】C

【详解】

当时，，所以AB选项错误，

同时，所以D选项错误.

对于C选项，由基本不等式得，

当且仅当时等号成立.

所以C选项正确.

故选：C

【跟踪训练1】若，则下列不正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】

对于A，因为，所以，

，故A正确；

对于B，由均值不等式可知B正确；

对于C，，故C正确；

对于D，取，而，D不正确.

故选：D.

【跟踪训练2】已知正实数满足，则的最小值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】

，因为，

所以，

因为，所以，

因此，

因为是正实数，所以，（当且仅当时取等号，即时取等号，即时取等号），

故选：A

【跟踪训练3】已知实数，满足，则的最小值是（    ）

A．  B． C． D．

【答案】D

【详解】

由，令，

因此，因为，所以，

因此的最小值是，

故选：D

三、从函数的观点看一元二次方程和一元二次不等式

1.一元二次不等式

只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式不等式叫作一元二次不等式.

2.三个“二次”间的关系

3.(x－a)(x－b)>0或(x－a)(x－b)<0型不等式的解集

4.分式不等式与整式不等式

(1)>0(<0)⇔f(x)·g(x)>0(<0).

(2)≥0(≤0)⇔f(x)·g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.

【例题1】已知是方程的两根，则（    ）

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】D

【详解】

是方程的两根，

，，

故选：D.

【例题2】已知关于的方程有两个实数根，则的取值范围为（    ）

A． B．或

C．或 D．

【答案】C

【详解】

由题意知：，解之得或，

故选：C

【跟踪训练1】已知函数，则不等式的解集为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】

由得

即

整理得：.

所以，，解得

【跟踪训练2】已知函数，若关于的方程有四个不同的实数根，则实数的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【详解】

设，该直线恒过点，方程有四个不同的实数根

如图作出函数的图像，结合函数图象，则，

所以直线与曲线有两个不同的公共点，

所以在有两个不等实根，

令，

实数满足，解得，

所以实数的取值范围是.

【跟踪训练3】若关于的不等式的解集为，则（    ）

A．5 B． C．6 D．

【答案】C

【详解】

∵，∴，

而的解集为，

即的解集为，

∴，，

∴，，

∴.

故选：C.