专题05函数（知识点清单）——高二数学下学期期末专项复习学案+期末模拟卷（人教B版2019）
展开专题05 函数【知识梳理】
一、函数的概念
1.函数的概念
设A，B是两个非空数集，如果按照确定的法则f，对A中的任意数x，都有唯一确定的数y与它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.
2.函数的定义域、值域
(1)函数y＝f(x)自变量取值的范围(数集A)叫做这个函数的定义域；所有函数值构成的集合{y|y＝f(x)，x∈A}叫做这个函数的值域.
(2)如果两个函数的定义域相同，并且对应法则完全一致，则这两个函数为相等函数.
3.函数的表示法
表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法.
4.分段函数
(1)在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值区间，有着不同的对应法则，这种函数称为分段函数.
(2)分段函数是一个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集.
【例题1】下列图形中，不可能是函数图象的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
根据函数的定义，一个自变量对应唯一的函数值，
表现在图像上，用一条垂直于轴的直线交函数图像，至多有一个交点．
所以D不是函数图像．
故选：D
【例题2】已知函数则=（ ）
A． B．9 C． D．
【答案】A
【详解】
,
所以.
故选：A
【跟踪训练1】下列各组函数中，表示同一个函数的是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
【答案】D
【详解】
解析：A选项中定义域不同，的定义域为，而定义域为；
B选项定义域与值域都不相同，的定义域和值域都为，的定义域和值域都为 ；
C选项定义域不同，的定义域为，的定义域为 ；
D选项两个函数的定义域都为，值域都为．
故选：D
【跟踪训练2】已知定义在上的函数满足：，，，且，则（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【详解】
因，，，且，
取x=0，y=1有，则，
取x=y=1有，
所以5.
故选：B
【跟踪训练3】已知函数，若，则实数a的取值范国是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】
因为.
①当时，.
②当时，.
③当时，.
综上所述：.
二、函数的性质
1.函数的单调性
(1)单调函数的定义
| 增函数 | 减函数 |
定义 | 设函数y＝f(x)的定义域为A，区间M⊆A，如果取区间M中任意两个值x1，x2，改变量Δx＝x2－x1>0，则当 | |
Δy＝f(x2)－f(x1)>0时，就称函数y＝f(x)在区间M上是增函数 | Δy＝f(x2)－f(x1)<0时，就称函数y＝f(x)在区间M上是减函数 | |
图象描述 | 自左向右看图象是上升的 | 自左向右看图象是下降的 |
(2)如果一个函数在某个区间M上是增函数或是减函数，就说这个函数在这个区间M上具有单调性，区间M称为单调区间.
2.函数的最值
前提 | 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足 | |
条件 | (1)对于任意x∈I，都有f(x)≤M； (2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M | (3)对于任意x∈I，都有f(x)≥M； (4)存在x0∈I，使得f(x0)＝M |
结论 | M为最大值 | M为最小值 |
3.函数的奇偶性
奇偶性 | 定义 | 图象特点 |
奇函数 | 设函数y＝f(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有－x∈D，且f(－x)＝－f(x)，则这个函数叫做奇函数 | 关于原点对称 |
偶函数 | 设函数y＝g(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有－x∈D，且g(－x)＝g(x)，则这个函数叫做偶函数 | 关于y轴对称 |
4.函数的周期性
(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期.
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.
【例题1】设为奇函数，且当时，，则当时，（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
设，则，
，
设为奇函数，，
即．
故选：D．
【例题2】已知是定义在上的偶函数，且在上是减函数，设，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
因为是定义在上的偶函数，且在上是减函数，所以在上递增，且
，所以．
【跟踪训练1】若存在正数使成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
由题设，知：使成立，令，，
∴时有，而，
∴仅需时，在，使得成立.
【跟踪训练2】已知实数，，，满足，且，，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】
因为，所以且，
令，则，且，所以，
又因为且，所以且，
所以，所以，所以，
当时，，
因为在上单调递减，所以在上单调递增，
当时，，当时，，所以；
当时，，
因为、在上单调递增，所以在上单调递减，
当时，，当时，，所以，
综上可知：，
故选：D.
【跟踪训练3】函数的图像大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】
因为，
所以为奇函数，其图象关于原点对称，排除B，D；
因为，所以排除C，
故选：A.
三、指对幂函数
1.幂函数
(1)幂函数的定义
一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数.
(2)常见的5种幂函数的图象
(3)幂函数的性质
①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；
②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增；
③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减.
2.对数的概念
一般地，对于指数式ab＝N，我们把“以a为底N的对数b”记作logaN，即b＝logaN(a>0，且a≠1).其中，数a叫做对数的底数，N叫做真数，读作“b等于以a为底N的对数”.
3.对数的性质、换底公式与运算性质
(1)对数的性质：①alogaN＝N；②logaab＝b(a>0，且a≠1).
(2)对数的运算法则
如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么
①loga(MN)＝logaM＋logaN；
②loga＝logaM－logaN；
③logaMn＝nlogaM(n∈R)；
④loga mMn＝logaM(m，n∈R，且m≠0).
(3)换底公式：logbN＝(a，b均大于零且不等于1).
4.对数函数及其性质
(1)概念：函数y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞).
(2)对数函数的图象与性质
| a>1 | 0<a<1 |
图象 | ||
性质 | 定义域：(0，＋∞) | |
值域：R | ||
当x＝1时，y＝0，即过定点(1，0) | ||
当x>1时，y>0； 当0<x<1时，y<0 | 当x>1时，y<0； 当0<x<1时，y>0 | |
在(0，＋∞)上是增函数 | 在(0，＋∞)上是减函数 | |
5.分数指数幂
(1)规定：正数的正分数指数幂的意义是a＝(a>0，m，n∈N+，且n>1)；正数的负分数指数幂的意义是a－＝(a>0，m，n∈N+，且n>1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义.
(2)有理指数幂的运算性质：aras＝ar＋s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr，其中a>0，b>0，r，s∈Q.
6.指数函数及其性质
(1)概念：函数y＝ax(a>0且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R，a是底数.
(2)指数函数的图象与性质
| a>1 | 0<a<1 |
图象 | ||
定义域 | R | |
值域 | (0，＋∞) | |
性质 | 过定点(0，1)，即x＝0时，y＝1 | |
当x>0时，y>1； 当x<0时，0<y<1 | 当x<0时，y>1； 当x>0时，0<y<1 | |
在(－∞，＋∞)上是增函数 | 在(－∞，＋∞)上是减函数 | |
【例题1】已知实数，，满足，，，则（ ）
A．2 B．1 C． D．
【答案】C
【详解】
∵，，，
∴，，，
∴，，，
∴ ．
【例题2】已知，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
因为，函数是单调增函数，
所以比较a，b，c的大小，只需比较当时的大小即可.
用特殊值法，取，容易知，
再对其均平方得，
显然，
所以，所以
【跟踪训练1】设，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】
因为，
，，
所以，即
所以
【跟踪训练2】已知函数，若对于任意一个正数，不等式在上都有解，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】
当时，，得，，不能满足都有解；
当时，，得或，
如图，当或时，只需满足或，满足条件.
所以，时，满足条件.
【跟踪训练3】函数，则使得成立的的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】
由得：或，定义域为；
，为偶函数；
当时，，
又在上单调递增，在上单调递增，
又在上单调递减，在上单调递增，
为偶函数，在上单调递减；
由得：，解得：；
又，，
或，
即使得成立的的取值范围为.
四、函数的应用
1.函数的零点
(1)函数零点的概念
如果函数y＝f(x)在实数α处的值等于零，即f(α)＝0，则α叫做这个函数的零点.
(2)函数零点与方程根的关系
方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点.
(3)零点存在性定理
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象不间断，并且在它的两个端点处的函数值异号，即f(a)f(b)<0，则这个函数在这个区间上，至少有一个零点，即存在一点x0∈(a，b)，使f(x0)＝0.
2.二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系
Δ＝b2－4ac | Δ>0 | Δ＝0 | Δ<0 |
二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象 | |||
与x轴的交点 | (x1，0)，(x2，0) | (x1，0) | 无交点 |
零点个数 | 2 | 1 | 0 |
3.指数、对数、幂函数模型性质比较
函数 性质 | y＝ax (a>1) | y＝logax (a>1) | y＝xn (n>0) |
在(0，＋∞) 上的增减性 | 单调递增 | 单调递增 | 单调递增 |
增长速度 | 越来越快 | 越来越慢 | 相对平稳 |
图象的变化 | 随x的增大逐渐表现为与y轴平行 | 随x的增大逐渐表现为与x轴平行 | 随n值变化 而各有不同 |
4.几种常见的函数模型
函数模型 | 函数解析式 |
一次函数模型 | f(x)＝ax＋b(a、b为常数，a≠0) |
二次函数模型 | f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) |
与指数函数 相关模型 | f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0) |
与对数函数 相关模型 | f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0) |
与幂函数 相关模型 | f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0) |
【例题1】函数，则函数的零点所在区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
因为函数的图象在上连续，且函数在上单调递增，
因为，
，所以，，
，因此，函数的零点所在的区间为.
故选：C.
【例题2】已知，函数，则方程的实根个数最多有（ ）
A．6个 B．7个 C．8个 D．9个
【答案】C
【详解】
由基本不等式可得
或，
作出函数，的图像，如下：
且，
①当时，，
故方程的实数根个数为2；
②当时，或，
故方程的实数根个数为；
③当时，或或，
故方程的实数根个数为6；
④当时，或或，
故方程的实数根个数为5；
⑤当时，或，
故方程的实数根个数为；
⑥当时，或，
故方程的实数根个数为；
⑦当时，或，
故方程的实数根个数为4；
综上可知，则方程的实根个数最多有6个，
【跟踪训练1】若函数有三个零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
由题意知，当时，.当时，
设，则函数的图象与直线有两个不同的交点.当时，，当时，，函数在上单调递增，
当时，，函数在上单调递减，且，当时，，作出函数的大致图象如图所示.
数形结合可知，实数的取值范围是.
【跟踪训练2】已知函数的图象关于直线对称，则下面不是的零点为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
由题意得，
所以
代入选项验证可知.都是函数的零点，不是函数的零点，
故选：C.
【跟踪训练3】设是常数，若函数不可能有两个零点，则b的取值情况不可能为（ ）
A．或 B．
C．1 D．
【答案】D
【详解】
令，即或.
显然是的一个零点.
下面讨论的根的情况：
（1）b=0时，.不符合题意.
（2）b≠0时，
①若时，有或，此时没有实数根，符合题意；
②若时，有或，
若，的根为，所以有一个零点，符合题意；
若，的根为，所以有两个零点，不符合题意；
③若时，有或，此时有实数根，要使函数不可能有两个零点，只需不是的根，所以，即， 符合题意；
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