第一章动量守恒定律——高二物理期末复习章节知识点精讲精练（人教版2019选择性必修第一册）

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第一章 动量守恒定律

第一部分 知识总结

内容1：动　量
1．动量
（1）定义：物体质量与其速度的乘积叫动量，即p＝mv.
（2）单位：国际单位制单位是千克米每秒，符号是kg·m/s.
（3）动量是矢量，其方向跟速度的方向相同．
2．动量的变化量
（1）动量的变化量公式：Δp＝p2－p1＝mv2－mv1＝mΔv.
（2）矢量性：其方向与Δv的方向相同．
（3）如果物体在一条直线上运动，分析计算Δp以及判断Δp的方向时，可选定一个正方向，将矢量运算转化为代数运算．
知识演练
1．(多选)在利用摆球测量小球碰撞前后的速度的实验中，下列说法正确的是(　　)
A．悬挂两球的细绳长度要适当，且等长
B．由静止释放小球以便较准确地计算小球碰撞前的速度
C．两小球必须都是钢性球，且质量相同
D．两小球碰后可以粘在一起共同运动
【解析】ABD　细绳长度适当，便于操作；两绳等长，保证两球对心碰撞，故A正确；由静止释放，初动能为零，可由mgL(1－cos α)＝mv2计算碰前小球速度，方便简单，故B正确；为保证实验的普适性，两球质地是任意的，质量也需考虑各种情况，但大小相同才能正碰，故C错误；碰后分开或共同运动都是实验所要求的，故D正确．
2．(多选)关于动量的概念，下列说法正确的是(　　)
A．动量大的物体，惯性不一定大
B．动量大的物体，运动一定快
C．动量相同的物体，运动方向一定相同
D．动量相同的物体，动能也一定相同
【解析】AC　物体的动量是由速度和质量两个因素决定的，动量大的物体质量不一定大，惯性也不一定大，A对；同样，动量大的物体速度也不一定大，B错；动量相同指的是动量的大小和方向均相同，而动量的方向就是物体运动的方向，故动量相同的物体运动方向一定相同，C对；由动量和动能的关系p＝可知，只有质量相同的物体动量相同时，动能才相同，故D错．
3．一物体从某高处由静止释放，设所受空气阻力恒定，当它下落h时的动量大小为p1，当它下落2h时动量大小为p2，那么p1∶p2等于 (　　)
A．1∶1　　　　 B．1∶
C．1∶2 D．1∶4
【解析】B　物体做初速度为零的匀加速直线运动，则有v＝2ah，v＝2a·2h，则p1＝mv1＝m，p2＝mv2＝m，所以p1∶p2＝1∶，选项B正确．
4．质量为0.5 kg的物体，运动速度为3 m/s，它在一个变力作用下速度变为7 m/s，方向和原来方向相反，则这段时间内动量的变化量为(　　)
A．5 kg·m/s，方向与原运动方向相反
B．5 kg·m/s，方向与原运动方向相同
C．2 kg·m/s，方向与原运动方向相反
D．2 kg·m/s，方向与原运动方向相同
【解析】A　以原来的运动方向为正方向，动量的变化量Δp＝(－7)×0.5 kg·m/s－3×0.5 kg·m/s＝－5 kg·m/s，负号表示Δp的方向与原方向相反．

内容2：动量定理
一、动量定理
1．冲量

2．动量定理
（1）物体在一个过程中所受力的冲量等于它在这个过程始末的动量变化量．
（2）表达式：I＝p′－p或F(t′－t)＝mv′－mv.
冲量的大小与物体是否运动无关．
二、动量定理的应用
　根据动量定理可知：如果物体的动量发生的变化是一定的，那么作用时间短，物体受的力就大；作用时间长，物体受的力就小.
知识演练
1．(多选)恒力F作用在
质量为m的物体上，如图所示，由于地面对物体的摩擦力较大，物体没有被拉动，则经时间t，下列说法正确的是(　　)

A．拉力F对物体的冲量大小为零
B．拉力F对物体的冲量大小为Ft
C．拉力F对物体的冲量大小是Ftcos θ
D．合力对物体的冲量大小为零
【解析】BD　对冲量的计算一定要分清求的是哪个力的冲量，是某一个力的冲量、是合力的冲量、是分力的冲量还是某一个方向上力的冲量，某一个力的冲量与另一个力的冲量无关，故拉力F的冲量为Ft，A、C错误，B正确；物体处于静止状态，合力为零，合力的冲量为零，D正确．
2．同一人以相同的力量跳远时，跳在沙坑里比跳在水泥地上安全，这是由于(　　)
A．人跳在沙坑的动量比跳在水泥地上的小
B．人跳在沙坑的动量变化比跳在水泥地上的小
C．人跳在沙坑受到的冲量比跳在水泥地上的小
D．人跳在沙坑受到的冲力比跳在水泥地上的小
【解析】D　落地前的速度是一定的，初动量是一定的，所以选项A错误；落地后静止，末动量一定，人的动量变化是一定的，选项B错误；由动量定理可知人受到的冲量等于人的动量变化，所以两种情况下人受到的冲量相等，选项C错误；落在沙坑里力作用的时间长，落在水泥地上力作用的时间短，根据动量定理，在动量变化一定的情况下，时间t越长，则受到的冲力F越小，故选项D正确．
3．如图所示，将一杯水放在桌边，杯下压一张纸条．若缓慢拉动纸条(此过程中杯子相对纸条滑动)，发现杯子会滑落；当快速拉动纸条时，发现杯子并没有滑落．对于这个实验，下列说法正确的是(　　)

A．缓慢拉动纸条时，摩擦力对杯子的冲量较小
B．快速拉动纸条时，摩擦力对杯子的冲量较大
C．为使杯子不滑落，杯子与纸条间的动摩擦因数应尽量大一些
D．为使杯子不滑落，杯子与桌面间的动摩擦因数应尽量大一些
【解析】D　在缓慢拉动和快速拉动纸条的过程中，杯子受到的摩擦力均为滑动摩擦力，大小相等，但快速拉动时，纸条与杯子作用时间短，此时摩擦力对杯子的冲量小，由I＝Δp可知，杯子增加的动量较小，因此杯子没有滑落，缓慢拉动时，摩擦力对杯子的冲量大，杯子增加的动量大，杯子会滑落，选项A、B错误；为使杯子不滑落，摩擦力对杯子的冲量应尽量小一些，杯子与纸条间的动摩擦因数应尽量小一些，选项C错误；杯子与桌面间的动摩擦因数较大时，杯子在桌面上做减速运动的加速度较大，则滑动的距离较小，杯子不容易滑落，选项D正确．
4．人们常说“滴水穿石”，请你根据下面所提供的信息，估算水对石头的冲击力的大小．一瀑布落差为h＝20 m，水流量为Q＝0.10 m3/s，水的密度ρ＝1.0×103 kg/m3，水在最高点和落至石头上后的速度都认为是零．(落在石头上的水立即流走，在讨论石头对水的作用时可以不考虑水的重力，g取10 m/s2)
【解析】设水滴下落与石头碰前速度为v，则有
mgh＝mv2
设时间Δt内有质量为Δm的水冲到石头上，石头对水的作用力大小为F，方向向上，由动量定理(取向上为正方向)得：
－FΔt＝0－Δmv
又因Δm＝ρQΔt
联立得：F＝2×103 N
由牛顿第三定律知，水对石头的作用力：F′＝F＝2×103 N，方向竖直向下．

内容3：动量守恒定律
一、系统、内力、外力
1．系统
由两个(或多个)相互作用的物体构成的整体叫作一个力学系统，简称系统。
2．内力
系统中物体间的作用力．
3．外力
系统以外的物体施加给系统内的物体的力．

系统的内力与外力
二、动量守恒定律
1．内容
如果一个系统不受外力，或者所受外力的矢量和为0，这个系统的总动量保持不变．
2．表达式
对两个物体组成的系统，常写成：p1＋p2＝p1′＋p2′或m1v1＋m2v2＝m1v1′＋m2v2′.
3．适用条件
系统不受外力或者所受外力的矢量和为零．

知识演练
1．(多选)关于动量守恒的条件，下面说法正确的是(　　)
A．只要系统内有摩擦力，动量就不可能守恒
B．只要系统所受合外力为零，系统动量就守恒
C．系统加速度为零，系统动量一定守恒
D．只要系统所受合外力不为零，则系统在任何方向上动量都不可能守恒
【解析】BC　动量守恒的条件是系统所受合外力为零，与系统内有无摩擦力无关，选项A错误，B正确；系统加速度为零时，根据牛顿第二定律可得系统所受合外力为零，所以此时系统动量守恒，选项C正确；系统合外力不为零时，在某方向上合外力可能为零，此时在该方向上系统动量守恒，选项D错误．
2．一颗子弹水平射入置于光滑水平面上的木块A并留在其中，木块A、B用一根弹性良好的轻质弹簧连在一起，如图所示．则在子弹射入木块A及弹簧被压缩的过程中，对子弹、两木块和弹簧组成的系统，下列说法正确的是 (　　)

A．动量守恒，机械能守恒
B．动量不守恒，机械能守恒
C．动量守恒，机械能不守恒
D．无法判定动量、机械能是否守恒
【解析】C　动量守恒的条件是系统不受外力或所受外力的合力为零，本题中子弹、两木块、弹簧组成的系统，水平方向上不受外力，竖直方向上所受外力的合力为零，所以动量守恒．机械能守恒的条件是除重力、弹力对系统做功外，其他力对系统不做功，本题中子弹射入木块过程中克服摩擦力做功，有部分机械能转化为内能(发热)，所以系统的机械能不守恒，故C正确，A、B、D错误．
3．甲、乙两人站在光滑的水平冰面上，他们的质量都是M，甲手持一个质量为m的球，现甲把球以对地为v的速度传给乙，乙接球后又以对地为2v的速度把球传回甲，甲接到球后，甲、乙两人的速度大小之比为(忽略空气阻力) (　　)
A.　　　　　　 B.
C. D.
【解析】D　甲、乙之间传递球的过程中，不必考虑过程中的细节，只考虑初状态和末状态的情况．研究对象是由甲、乙二人和球组成的系统，开始时的总动量为零，在任意时刻系统的总动量都为零．设甲的速度大小为v甲，乙的速度大小为v乙，二者方向相反，根据动量守恒得(M＋m)v甲－Mv乙＝0，则＝，选项D正确．
4．一辆质量m1＝3.0×103 kg的小货车因故障停在车道上，后面一辆质量m2＝1.5×103 kg的轿车来不及刹车，直接撞入货车尾部失去动力．相撞后两车一起沿轿车运动方向滑行了s＝6.75 m停下．已知车轮与路面间的动摩擦因数μ＝0.6，求碰撞前轿车的速度大小．(重力加速度取g＝10 m/s2)
【解析】两车一起运动时，由牛顿第二定律得a＝＝μg＝6 m/s2
v＝＝9 m/s
两车碰撞前后，由动量守恒定律(取轿车滑行方向为正方向)得m2v0＝(m1＋m2)v
v0＝v＝27 m/s.

内容4：弹性碰撞和非弹性碰撞
一、弹性碰撞和非弹性碰撞
1．碰撞的特点：物体碰撞时，相互作用时间很短，相互作用的内力很大，故碰撞过程满足动量守恒．
2．碰撞的分类：
(1)弹性碰撞：如果系统在碰撞前后动能不变，这类碰撞叫作弹性碰撞．
(2)非弹性碰撞：如果系统在碰撞前后动能减少，这类碰撞叫作非弹性碰撞．
二、弹性碰撞的实例分析
　两个小球相碰，碰撞之前球的运动速度与两球心的连线在同一条直线上，碰撞之后两球的速度仍会沿着这条直线．这种碰撞称为正碰，也叫作对心碰撞或一维碰撞．如图所示．

知识演练
1．(多选)在两个物体碰撞前后，下列说法中可以成立的是(　　)
A．作用后的总机械能比作用前小，但总动量守恒
B．作用前后总动量均为零，但总动能守恒
C．作用前后总动能为零，而总动量不为零
D．作用前后总动量守恒，而系统内各物体的动量增量的总和不为零
【解析】AB　选项A为非弹性碰撞，成立；选项B为弹性碰撞，成立；总动能为零时，其总动量一定为零，故选项C不成立；总动量守恒，则系统内各物体动量的增量的总和一定为零，选项D错误．
2．A、B两物体发生正碰，碰撞前后物体A、B都在同一直线上运动，其位移—时间图像如图所示．由图可知，物体A、B的质量之比为 (　　)

A．1∶1　 B．1∶2
C．1∶3 D．3∶1
【解析】C　由图像知，碰撞前vA＝4 m/s，vB＝0，碰撞后vA′＝vB′＝1 m/s，由动量守恒定律可知mAvA＋0＝mAvA′＋mBvB′，解得mB＝3mA，选项C正确．
3．如图所示，光滑水平面上有大小相同的A、B两球在同一直线上运动．两球质量关系为mB＝2mA，规定向右为正方向，A、B两球的动量均为6 kg·m/s，运动中两球发生碰撞，碰撞后A球的动量增量为－4 kg·m/s.则(　　)

A．左方是A球，碰撞后A、B两球速度大小之比为2∶5
B．左方是A球，碰撞后A、B两球速度大小之比为1∶10
C．右方是A球，碰撞后A、B两球速度大小之比为2∶5
D．右方是A球，碰撞后A、B两球速度大小之比为1∶10
【解析】A　碰撞后A球的动量增量为－4 kg·m/s，则B球的动量增量为4 kg·m/s，所以碰后A球的动量为2 kg·m/s，B球的动量为10 kg·m/s，即mAvA＝2 kg·m/s，mBvB＝10 kg·m/s，且mB＝2mA，vA∶vB＝2∶5，所以，选项A正确．
4．如图所示，两质量分别为m1和m2的弹性小球叠放在一起，从高度为h处自由落下，且h远大于两小球半径，所有的碰撞都是弹性碰撞，且都发生在竖直方向．已知m2＝3m1，则小球m1反弹后能达到的高度为(　　)

A．h B．2h
C．3h D．4h
【解析】D　下降过程为自由落体运动，触地时两球速度相同，v＝，m2碰撞地面之后，速度瞬间反向，且大小相等，选m1与m2碰撞过程为研究过程，碰撞前后动量守恒，设碰后m1与m2速度大小分别为v1、v2，选向上方向为正方向，则m2v－m1v＝m1v1＋m2v2，由能量守恒定律得(m1＋m2)v2＝m1v＋m2v，且m2＝3m1，联立解得v1＝2，v2＝0，反弹后高度H＝＝4h，选项D正确．

内容6：反冲现象　火箭
一、反冲现象
1．定义
根据动量守恒定律，如果一个静止的物体在内力的作用下分裂为两个部分，一部分向某个方向运动，另一部分必然向相反的方向运动，这个现象叫作反冲．
2．反冲原理
反冲运动的基本原理是动量守恒定律，如果系统的一部分获得了某一方向的动量，系统的其他部分就会在这一方向的反方向上获得同样大小的动量．
3．公式
若系统的初始动量为零，则动量守恒定律的形式变为0＝m1v1＋m2v2，此式表明，做反冲运动的两部分的动量大小相等、方向相反，而它们的速率与质量成反比．
利用动量守恒定律解决反冲问题时，速度通常是以地面为参考系的速度，而不是系统内两物体的相对速度．
二、火箭
1．原理
火箭的飞行应用了反冲的原理，靠喷出气流的反冲作用来获得巨大速度．
2．影响火箭获得速度大小的因素
一是喷气速度，二是火箭喷出物质的质量与火箭本身质量之比．喷气速度越大，质量比越大，火箭获得的速度越大．


知识演练
1．下列图片所描述的事例或应用中，没有利用反冲运动原理的是(　　)

【解析】D　喷灌装置是利用水流喷出时的反冲作用而运动的，章鱼在水中前行和转向利用了喷出的水的反冲作用，火箭发射是利用喷气的方式而获得动力的，利用了反冲运动，故A、B、C不符合题意；码头边轮胎的作用是延长碰撞时间，从而减小作用力，没有利用反冲作用，故D符合题意．
2．质量相等的甲和乙都静止在光滑的水平冰面上．现在，其中一人向另一个人抛出一个篮球，另一人接球后再抛回．如此反复进行几次后，甲和乙最后的速率关系是 (　　)
A．若甲最先抛球，则一定是v甲>v乙
B．若乙最后接球，则一定是v甲>v乙
C．只有甲先抛球，乙最后接球，才有v甲>v乙
D．无论怎样抛球和接球，都是v甲>v乙
【解析】B　因甲、乙及篮球组成的系统动量守恒，故最终甲、乙以及篮球的动量之和必为零．根据动量守恒定律有m1v1＝(m2＋m球)v2，因此最终谁接球谁的速度小，故B正确，A、C、D错误．
3．如图所示，装有炮弹的火炮总质量为m1，炮弹的质量为m2，炮弹射出炮口时对地的速率为v0，若炮管与水平地面的夹角为θ，则火炮后退的速度大小为(设水平地面光滑) (　　)

A.v0　　　　　　　 B.
C. D.
【解析】C　炮弹和火炮组成的系统水平方向动量守恒，0＝m2v0cos θ－(m1－m2)v，得v＝，选项C正确．
4．(多选)质量为m的人在质量为M的小车上从左端走到右端，如图所示，当车与地面摩擦不计时，那么(　　)

A．人在车上行走，若人相对车突然停止，则车也突然停止
B．人在车上行走的平均速度越大，则车在地面上移动的距离也越大
C．人在车上行走的平均速度越小，则车在地面上移动的距离就越大
D．不管人以什么样的平均速度行走，车在地面上移动的距离相同
【解析】AD　由于地面光滑，则人与车组成的系统动量守恒得：mv人＝Mv车，可知A正确；设车长为L，由m(L－x车)＝Mx车得，x车＝L，车在地面上移动的位移大小与人的平均速度大小无关，故D正确，B、C均错误．

第二部分 专题讲解
专题1：动量定理及其应用
1.冲量的计算
(1)恒力的冲量：公式I＝Ft适用于
计算恒力的冲量．

(2)变力的冲量：
①通常利用动量定理I＝Δp求解．
②可用图像法计算．在F­t图像中阴影部分(如图)的面积就表示力在时间Δt＝t2－t1内的冲量．
2．动量定理Ft＝mv2－mv1的应用
(1)它说明的是力对时间的累积效应．应用动量定理解题时，只考虑物体的初、末状态的动量，而不必考虑中间的运动过程．
(2)应用动量定理求解的问题
①求解曲线运动的动量变化量．
②求变力的冲量问题及平均力问题．
③求相互作用时间．
④利用动量定理定性分析现象．
【例1】　一个铁球，从静止状态由10 m高处自由下落，然后陷入泥潭中，从进入泥潭到静止用时0.4 s，该铁球的质量为336 g，求：
(1)从开始下落到进入泥潭前，重力对小球的冲量为多少？
(2)从进入泥潭到静止，泥潭对小球的冲量为多少？
(3)泥潭对小球的平均作用力为多少？(保留两位小数，g取10 m/s2)
【解析】　(1)小球自由下落10 m所用的时间是t1＝＝ s＝ s，重力的冲量IG＝mgt1＝0.336×10× N·s≈4.75 N·s，方向竖直向下．
(2)设向下为正方向，对小球从静止开始运动至停在泥潭中的全过程运用动量定理得
mg(t1＋t2)－Ft2＝0
泥潭的阻力F对小球的冲量
Ft2＝mg(t1＋t2)＝0.336×10×(＋0.4) N·s≈6.10 N·s，方向竖直向上．
(3)由Ft2＝6.10 N·s得F＝15.25 N.

专题2：动量守恒定律应用中的临界问题
解决相互作用物体系统的临界问题时，应处理好下面两个方面的问题：
1．寻找临界状态
题设情景中看是否有相互作用的两物体相距最近、恰好滑离、避免相碰和物体开始反向运动等临界状态．
2．挖掘临界条件
在与动量相关的临界问题中，临界条件常常表现为两物体的相对速度关系与相对位移关系．
3．常见类型
(1)涉及弹簧类的临界问题
对于由弹簧组成的系统，在物体间发生相互作用的过程中，当弹簧被压缩到最短或拉伸到最长时，弹簧两端的两个物体的速度必然相等．
(2)涉及相互作用边界的临界问题
在物体滑上斜面(斜面放在光滑水平面上)的过程中，由于物体间弹力的作用，斜面在水平方向上将做加速运动，物体滑到斜面上最高点的临界条件是物体与斜面沿水平方向具有共同的速度，物体到达斜面上最高点时，在竖直方向上的分速度等于零．
(3)子弹打木块类的临界问题：子弹刚好击穿木块的临界条件为子弹穿出时的速度与木块的速度相同，子弹位移为木块位移与木块厚度之和．
【例2】　在光滑水平面上，一质量为m、速度大小为v的A球与质量为2m、静止的B球碰撞后，A球的速度方向与碰撞前相反，则碰撞后B球的速度大小可能是(　　)
A．0.2v　　　　　　 B．0.3v
C．0.4v D．0.6v
【解析】D　A、B两球在水平方向上所受合外力为零，A球和B球碰撞的过程中动量守恒，碰撞后A球反弹，设A、B两球碰撞后的速度大小分别为v1、v2，
选A原来的运动方向为正方向，由动量守恒定律有
mv＝－mv1＋2mv2 ①
分析①式可知v2＞ ②
A、B两球碰撞过程能量可能有损失，由能量关系有
mv2≥mv＋×2mv ③
①③两式联立得v2≤v ④
由②④两式可得＜v2≤v
符合条件的只有0.6v，所以选项D正确，A、B、C错误．

专题3：动量守恒和能量守恒的综合应用
1.解决该类问题用到的规律
动量守恒定律，机械能守恒定律，能量守恒定律，功能关系等．
2．解决该类问题的基本思路
(1)认真审题，明确题目所述的物理情景，确定研究对象．
(2)如果物体间涉及多过程，要把整个过程分解为几个小的过程．
(3)对所选取的对象进行受力分析，判定系统是否符合动量守恒的条件．
(4)对所选系统进行能量转化的分析，比如：系统是否满足机械能守恒，如果系统内有摩擦则机械能不守恒，有机械能转化为内能．
(5)选取所需要的方程列式并求解．
【例3】　如图所示，AOB是光滑水平轨道，BC是半径为R的光滑的固定圆弧轨道，两轨道恰好相切于B点．质量为M的小木块静止在O点，一颗质量为m的子弹以某一初速度水平向右射入小木块内，并留在其中和小木块一起运动，且恰能到达圆弧轨道的最高点C(木块和子弹均看成质点)．

(1)求子弹射入木块前的速度；
(2)若每当小木块返回到O点或停止在O点时，立即有一颗相同的子弹射入小木块，并留在其中，则当第9颗子弹射入小木块后，小木块沿圆弧轨道能上升的最大高度为多少？
【解析】　(1)第一颗子弹射入木块的过程，系统动量守恒，以子弹的初速度方向为正方向，由动量守恒定律得：mv0＝(m＋M)v1
系统由O到C的运动过程中机械能守恒，由机械能守恒定律得：
(m＋M)v＝(m＋M)gR
由以上两式解得：v0＝.
(2)由动量守恒定律可知，第2、4、6…颗子弹射入木块后，木块的速度为0，第1、3、5…颗子弹射入后，木块运动．当第9颗子弹射入木块时，以子弹初速度方向为正方向，由动量守恒定律得：mv0＝(9m＋M)v9
设此后木块沿圆弧上升的最大高度为H，由机械能守恒得：
(9m＋M)v＝(9m＋M)gH
由以上各式可得：H＝2R.