广东省广州科学城中学2022-2023学年高二下学期3月月考数学试卷及答案

这是一份广东省广州科学城中学2022-2023学年高二下学期3月月考数学试卷及答案，共18页。试卷主要包含了请将答案正确填写在答题卡上，在等差数列中，若， 则，函数的图象大致为，下列求导错误的是等内容，欢迎下载使用。
2022学年第二学期广州科学城中学高二数学3月月考卷问卷考试范围：函数与导数；考试时间：120分钟；命题人：刘芸祺                                          审题人：李健康注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）请点击修改第I卷的文字说明 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。 1．已知函数的定义域为，若，则（       ）A． B． C． D． 2．若函数对于任意x有，，则此函数的解析式为（       ）A． B．C． D． 3．已知函数的导函数的图象如图所示，则函数在区间内的极小值点的个数为（       ）A． B． C． D． 4．已知双曲线的一条渐近线与直线平行，则该双曲线的离心率是（       ）A． B． C．2 D． 5．在等差数列中，若， 则（       ）A．68 B．78 C．156 D．136 6．函数的图象大致为（       ）A． B．C． D．7．若函数h(x)＝2x－在(1，＋∞)上是增函数，则实数k的取值范围是（       ）A． B．(2，＋∞) C． D．(－∞，2) 8．已知函数有两个极值点，则实数a的取值范围为（       ）A． B． C． D． 二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题意，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分。9．下列求导错误的是（       ）．A． B．C． D． 10．已知函数f(x)＝ln x，g(x)＝＋mx(m∈R)，若函数f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线与函数g(x)的图象相切，则m的值为（     ）A．1 B．－1 C．3 D．－3 11．设函数，若恒成立，则实数的可能取值是（       ）A．1 B．2 C．e D．3 12．若定义在R上的函数，对任意两个不相等的实数，，都有，则称函数为“H函数”，则下列函数是“H函数”的有（       ）A． B．C． D．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．如图所示，直线是曲线在点处的切线，则__________.14．曲线y=ex在处的切线与坐标轴围成的三角形面积为___________. 15．已知函数，若，则实数a的取值范围是__________． 16．定义在上的函数满足，且对任意都有，则不等式的解集为__________.第II卷（非选择题）四、解答题：本题共6小题，共70分，解答过程应写出文字说明、证明过程或演算过程。17．（10分）已知曲线 y = x3 + x－2 在点 P0 处的切线 平行于直线4x－y－1=0，且点 P0 在第三象限,⑴求P0的坐标;⑵若直线 , 且 l 也过切点P0 ,求直线l的方程.18．（12分）已知函数在点处的切线斜率为4，且在处取得极值.(1)求函数的解析式；       (2)当时，求函数的最大值. 19．（12分）已知是公差不为零的等差数列，，且成等比数列.（1）求数列的通项公式；       （2）求数列的前n项和. 20．（12分）已知函数．（1）求函数的单调区间．（2）若对恒成立，求实数的取值范围.  21．（12分）已知椭圆C：的短轴长为2，且点在C上．(1)求椭圆C的标准方程；(2)设、为椭圆的左、右焦点，过的直线l交椭圆C与A、B两点，若的面积是，求直线l的方程．  22．（12分）已知函数.（1）若曲线在点处的切线平行于直线，求函数的单调区间；（2）是否存在实数，使函数在上有最小值1？若存在，求出的值，若不存在，说明理由.
参考答案：1．D【解析】【分析】利用导数的定义可求得的值.【详解】由导数的定义可得.故选：D.2．B【解析】【分析】可设，结合求出的值，即可得解.【详解】因为，可设，则，解得，因此，.故选：B.3．A【解析】【分析】结合导函数图象确定正确选项.【详解】函数的极小值点需满足左减右增，即且左侧，右侧，由图可知，一共有个点符合.故选：A4．D【解析】【分析】写出渐近线，再利用斜率相等，进而得到离心率【详解】双曲线的渐近线为，易知与直线平行，所以.故选：D.5．B【解析】【分析】设等差数列的公差为，解方程求出即得解.【详解】解：设等差数列的公差为，由题得所以.故选：B6．C【解析】【分析】求导判断出函数的单调区间即可做出选择.【详解】∵，∴.令，得.则函数在区间，上单调递减，在区间上单调递增.选项A：违背函数在区间上单调递减.判断错误；选项B：违背函数在区间上单调递减. 判断错误；选项C：函数在区间，上单调递减，在区间上单调递增.判断正确；选项D：违背函数在区间上单调递减. 判断错误.故选：C7．C【解析】【分析】h(x)在(1，＋∞)上是增函数，等价于其导数在(1，＋∞)上恒大于或等于0.【详解】，，∵函数在上是增函数，∴在上恒成立，即在上恒成立，∵在上，.故选：C.8．B【解析】【分析】将函数有两个极值点转化为其导数有两个零点进行求解即可.【详解】对原函数求导得，，因为函数有两个极值点，所以有两个不等实根，即有两个不等实根，亦即有两个不等实根.令，则可知在上单调递增，在上单调递减，所以，又因为当时，，当时，，所以，解得，即a的范围是.故选：B9．AB【解析】【分析】根据导数的计算公式分别计算.【详解】，A错误；，B错误；，C正确；，D正确．故选：AB．10．BC【解析】【分析】利用导数求出f(x)在(1，f(1))处的切线方程，设该切线与g(x)相切于P(，)，根据P的坐标满足切线方程和g(x)函数解析式，以及切线斜率等于切点处导数值即可列出方程组求解m.【详解】易知f(1)＝0，＝，从而得到＝1，函数f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程为y＝x－1.设直线y＝x－1与g(x)＝＋mx(m∈R)的图象相切于点P(，)，从而可得＝1，g()＝－1.又(x)＝2x＋m，因此有，得＝1，解得或.故选：BC.11．ABD【解析】【分析】由确定的单调性，结合恒成立确定正确选项.【详解】，令解得，所以在递减，在递增，在取得极小值也即是最小值，依题意恒成立，即，时，符合，时，符合，时，符合，由于，所以C选项不符合.故选：ABD12．BC【解析】【分析】由题意可知是R上的增函数，进而结合导数判断函数的单调性即可得出结果.【详解】由题意可知是R上的增函数.对于A，由，得，所以在区间上为增函数，故A中函数不是“H函数”；对于B，，又，所以恒成立，故B中函数是“H函数”；对于C，恒成立，故C中函数是“H函数”；对于D，易知为偶函数，所以它不可能为R上的增函数，故D中函数不是“H函数”.故选：BC.13．##【解析】【分析】利用直线所过点求得直线的斜率，从而求得.【详解】由图象可知直线过，所以直线的斜率为，所以.故答案为：14．【解析】【分析】先求导数，得出切线斜率，写出切线方程，然后可求三角形的面积.【详解】，当时，，所以切线方程为，即；令可得，令可得；所以切线与坐标轴围成的三角形面积为.故答案为：.15．【解析】【分析】根据的奇偶性和单调性，结合导数的使用，求解不等式即可.【详解】因为的定义域为，且，故为奇函数；又，故为单调增函数；则，即，也即，整理得，解得.故答案为：.16．【解析】【分析】利用构造函数法，结合导数来求得不等式的解集.【详解】构造函数，，所以在上递减，由，得，即，所以，即等式的解集为.故答案为：17．（1）（2）【解析】【详解】本试题主要是考查了导数的几何意义，两条直线的位置关系，平行和垂直的运用．以及直线方程的求解的综合运用．首先根据已知条件，利用导数定义，得到点P0的坐标，然后利用，设出方程为x+4y+c=0,根据直线过点P0得到结论．解：（1）由y=x3+x-2，得y′=3x2+1，由已知得3x2+1=4，解之得x=±1．当x=1时，y=0；当x=-1时，y=-4．又∵点P0在第三象限，∴切点P0的坐标为（-1，-4）；（2）∵直线 l⊥l1，l1的斜率为4，∴直线l的斜率为-1/ 4 ，∵l过切点P0，点P0的坐标为（-1，-4）∴直线l的方程为y+4=（x+1）即x+4y+17=0．18．(1)；(2)11.【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义，结合极值的性质进行求解即可；（2）根据导数的性质进行求解即可.(1)，由题意得即解得，，.所以，，令，得或.＋0－0＋↗2↘↗ 符合题意；(2)由（1）可知：，而，所以.19．（1），（2）【解析】【分析】（1）根据等比数列和等差数列的通项公式建立方程即可求出等差数列的公差，从而可求出数列的通项公式；（2）由（1）求出，利用裂项相消求和法可求出【详解】解：（1）设等差数列的公差为（），因为，且成等比数列，所以，即，解得（舍去）或，所以，（2）由（1）可得，所以【点睛】此题考查等差数列基本量计算，考查等比中项的应用，考查裂项相消求和法，属于基础题20．（1）单调增区间 单调减区间 （2） 【解析】【详解】试题分析：（1）对函数求导，令，解不等式，即得到递增区间，令，解不等式，即得递减区间；（2）若对恒成立，即对恒成立，所以问题转化为求成立即可，即求函数在区间上的最小值，根据第（1）问单调性，易求出函数在上的最小值，于是可以求出的取值范围．试题解析：（1）令，解得或， 令，解得：.        故函数的单调增区间为，单调减区间为.   （2）由（1）知在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，又，，，∴，                                             ∵对恒成立，∴，即，∴21．(1)；(2)或.【解析】【分析】(1)根据短轴长求出b，根据M在C上求出a；(2)根据题意设直线l为，与椭圆方程联立得根与系数关系，根据＝即可求出m的值.(1)∵短轴长为2，∴，∴，又∵点在C上，∴，∴，∴椭圆C的标准方程为；(2)由(1)知，∵当直线l斜率为0时，不符合题意，∴设直线l的方程为：，联立，消x得：，∵，∴设，，则，∵，∴，∴，即，解得，∴直线l的方程为：或.22．（1）的单调增区间为，单调减区间为；（2）存在，使函数在上有最小值.【解析】【详解】试题分析：（1）先对函数求导，由题意知导函数在处的导数为可解得；利用导数与函数单调的关系可求得的单调区间，另要注意函数的定义域；（2）首先对函数求导，分析不成立，得，分类讨论得存在，使函数在上有最小值.试题解析：（1）∵，∴，又∵曲线在点处的切线平行于直线，∴.∴,∴的单调增区间为，单调减区间为.（2）∵，∴，（ⅰ）当时，恒成立，即在上单调递增，无最值，与题意矛盾，（ⅱ）当时，令，，，则函数在上单调递增，在上单调递减，①若，如图甲所示，则在上的最小值是，由，得，矛盾；②若，如图乙所示，则在上的最小值是，由，得，符合题意.综上可知，存在，使函数在上有最小值1.考点：导数的几何意义、分类讨论思想.