2023年内蒙古呼伦贝尔市阿荣旗阿仑中学中考数学一模试卷（含解析）

2023年内蒙古呼伦贝尔市阿荣旗阿仑中学中考数学一模试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的绝对值是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列计算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  掷一个骰子时，观察上面的点数，点数为奇数的概率是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  如图，在平面直角坐标系中，点、、在轴上，经过变换得到，若点的坐标为，，则这种变换可以是(    )

A. 绕点逆时针旋转，再向下平移
B. 绕点逆时针旋转，再向下平移
C. 绕点顺时针旋转，再向下平移
D. 绕点顺时针旋转，再向下平移
 

5.  一个正方体的平面展开图如图所示，则原正方体上，与“爱”相对面上的汉字是(    )

A. 大
B. 美
C. 阿
D. 荣

6.  如图，在中，，，是高和的交点，则的长是(    )

A.
B.
C.
D.

7.  在中，，若，，则的值为(    )

A.
B.
C.
D.

8.  如图，边长为的正方形的对角线相交于点，正方形绕点旋转，若两个正方形的边长相等，则两个正方形的重合部分的面积(    )

A.
B.
C.
D.

9.  如图，是的切线，切点为，是的直径，交于点，连接若，则的大小为(    )

A.
B.
C.
D.

10.  如图，以正方形的边为一边向外作等边，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

11.  如图，点是反比例函数的图象上的一点，过点作轴，垂足为点为轴上的一点，连接，若的面积为，则的值是(    )

 

A.  B.  C.  D.

12.  有一列数，，，，其中，，，，，当时，的值是(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

13.  函数的自变量的取值范围是______ ．

14.  点坐标是，则点到直线的距离是______ ．

15.  方程的解是          ．

16.  弧长为半径为的扇形，它的圆心角的度数是______．

17.  已知一组数据为，，，，，则这组数据的方差为______．

三、解答题（本大题共9小题，共69.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

18.  本小题分
．

19.  本小题分
先化简，再求值，其中．

20.  本小题分
把一副扑克牌中的四张黑桃牌它们的正面数字分别为、、、洗匀后正面朝下放在桌面先随机抽取一张牌，记下牌面数字作为点的横坐标后放回，洗匀后正面朝下，再随机抽取一张牌，记下牌面数字作为点的纵坐标．
用列表法或树状图法列出所有可能结果；
试求出点在直线上的概率．

21.  本小题分
如图，某高速公路建设中需要确定隧道的长度．当飞机在离地面高度时，测量人员从处测得、两点处的俯角分别为和．
求隧道的长，结果保留整数．

22.  本小题分
如图，已知菱形中，对角线，相交于点，过点作，过点作，与相交于点．
求证：四边形是矩形．
若，，求四边形的周长．
 

23.  本小题分
某中学为了了解在校学生对校本课程的喜爱情况，随机调查了九年级学生对，，，，五类校本课程的喜爱情况，要求每位学生只能选择一类最喜欢的校本课程，根据调查结果绘制了如下的两个统计图．

请根据图中所提供的信息，完成下列问题：
本次被调查的学生的人数为______；
补全条形统计图；
扇形统计图中，类所在扇形的圆心角的度数为______；
若该中学有名学生，请估计该校喜爱，两类校本课程的学生共有多少名．

24.  本小题分
如图，是的直径，点，在上，，点在的延长线上，．
求证：是的切线；
若，，求的半径长．

 

25.  本小题分
浩然文具店新到一种计算器，进价为元，营销时发现：当销售单价定为元时，每天的销售量为件，若销售单价每上涨元，每天的销售量就会减少件．
写出商店销售这种计算器，每天所得的销售利润元与销售单价元之间的函数关系式；
求销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大值是多少？
商店的营销部结合上述情况，提出了、两种营销方案：
方案：为了让利学生，该计算器的销售利润不超过进价的；
方案：为了满足市场需要，每天的销售量不少于件．
请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由．

26.  本小题分
如图，抛物线过点，为线段上一个动点点与点不重合，过点作垂直于轴的直线与直线和抛物线分别交于点、．
求直线的解析式和抛物线的解析式；
如果点是的中点，那么求此时点的坐标；
如果以，，为顶点的三角形与相似，求点的坐标．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的绝对值为．
故选：．
根据绝对值的定义直接计算即可解答．
本题主要考查绝对值的性质．绝对值规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；的绝对值是．
 

2.【答案】 

【解析】解：、，错误，不符合题意；
B、，错误，不符合题意；
C、，正确，符合题意；
D、，错误，不符合题意；
故选：．
根据整式的加减，同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方计算即可．
本题考查了整式的加减，同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方，解题的关键是熟练掌握同底数幂的除法、幂的乘方的运算法则．
 

3.【答案】 

【解析】解：掷一个骰子，观察向上的面的点数，有种情况，则点数为奇数有种情况，
故点数为奇数的概率为，
故选：．
本题考查了概率的简单计算能力，是一道列举法求概率的问题，属于基础题，可以直接应用求概率的公式．
本题主要考查概率公式，如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种结果，那么事件的概率．
 

4.【答案】 

【解析】解：根据图形可以看出，绕点顺时针旋转，再向下平移个单位可以得到．
故选：．
观察图形可以看出，通过变换得到，应先旋转然后平移即可．
本题考查的是坐标与图形变化旋转和平移的知识，掌握旋转和平移的概念和性质是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：根据题意，得与“爱”相对面上的汉字是阿，
故选：．
根据正方体的展开图判断即可．
本题考查了正方体的展开图，熟练掌握展开图是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理的应用．
求出，，证≌，推出，代入求出即可．
【解答】
解：是高和的交点，
，
，，
，
，
，，
，
，
在和中

≌，
，
故选：．  

7.【答案】 

【解析】解：由勾股定理得，
，
，
故选：．
根据勾股定理求出斜边，再根据锐角三角函数的定义求出答案即可．
本题考查锐角三角函数，掌握锐角三角函数的定义以及勾股定理是解决问题的前提．
 

8.【答案】 

【解析】解：如图：交于点，交于点，


四边形和四边形是两个边长相等的正方形，
，，，
，
在与中，
，
≌，
，
四边形的面积等于的面积，即重合部分的面积等于正方形面积的，
两个正方形的重合部分的面积，
故选：．
根据正方形的性质得出，，，推出，证出，可得四边形的面积等于的面积，即重合部分的面积等于正方形面积的，从而可得答案．
本题考查对正方形的性质，全等三角形的性质和判定等知识点的理解和掌握，能推出四边形的面积等于的面积是解此题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：是的切线，
，
，
，
，
．
故选A．
由是的切线，可求得，然后由，求得的度数，再利用圆周角定理，即可求得答案．
此题考查了切线的性质以及圆周角定理．注意掌握切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．
 

10.【答案】 

【解析】解：四边形是正方形，
，，
是等边三角形，
，，
，
，
，
故选：．
根据正方形的性质得出，，根据等边三角形的性质得出，，求出，求出，再求出答案即可．
本题考查了等边三角形的性质和正方形的性质，能熟练掌握正方形的性质和等边三角形的性质是解此题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了反比例函数的比例系数的几何意义，属于基础题．
连接，得到，再根据反比例函数的比例系数的几何意义得到，然后去绝对值即可得到满足条件的的值．
【解答】
解：连接，如图，

轴，，，
而，，
，．
故选：．  

12.【答案】 

【解析】解：，，，，
，
，
解得，
故选：．
根据规律建立方程求解即可．
本题考查了数字类规律探索，一元一次方程的应用，熟练掌握解方程的基本步骤，找到变化规律是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：由题意得，，
解得．
故答案为：．
根据被开方数大于等于，分母不等于列式计算即可得解．
本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：
当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为；
当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
 

14.【答案】 

【解析】解：点的横坐标是，
点到直线的距离是，
故答案为：．
根据点的横坐标是可得答案．
本题考查了点的坐标，解决本题的关键是明确点到直线的距离．
 

15.【答案】， 

【解析】

【分析】
首先把常数移到等号右边，再两边同时加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方公式，再开方，解方程即可．
此题主要考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：把常数项移到等号的右边；把二次项的系数化为；等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为，一次项的系数是的倍数．
【解答】
解：，
移项得：，
配方得：，
，
两边直接开平方得：，
则，．
故答案为：，．  

16.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查的是扇形弧长公式的应用，熟记扇形的弧长公式是解答此题的关键．直接根据扇形的弧长公式即可得出结论．
【解答】
解：扇形的弧长为，半径为，
设它的圆心角的度数是，则，
解得：．
故答案为．  

17.【答案】 

【解析】解：平均数为，
．
故答案为：．
先求出这个数的平均数，然后利用方差公式求解即可．
本题考查了方差的知识，牢记方差的计算公式是解答本题的关键，难度不大．
 

18.【答案】解：

． 

【解析】根据零指数幂，特殊角的三角函数值，二次根式的化简，负整数指数幂，绝对值化简计算求解．
本题考查了零指数幂，特殊角的三角函数值，二次根式的化简，负整数指数幂，绝对值化简，熟练掌握零指数幂，特殊角的三角函数值，二次根式的化简，负整数指数幂是解题的关键．
 

19.【答案】解：，
当时，
． 

【解析】因式分解，约分化简，后代入求值即可．
本题考查了分式的化简求值，二次根式的分母有理化，掌握因式分解，约分是解题的关键．
 

20.【答案】解：画树状图如下：
，
故坐标有，，，，，，，，共种等可能性．
当时，，
点在直线上；
当时，，
点在直线上；
当时，，
点在直线上；
有个点在直线上，
点在直线上的概率． 

【解析】画树状图计算说明即可．
先确定直线上的点的个数，后用概率公式计算即可．
本题考查了画树状图计算概率，公式法计算概率，熟练掌握画树状图法，理解一次函数图象过点的意义是解题的额关键．
 

21.【答案】解：根据题意，可知，，
在中，，即，
    
在中，，
即，
      
，
答：隧道的长约为 

【解析】首先利用，求出的长，再利用，进而得出的长，进而求出的长即可．
此题主要考查了解直角三角形中俯角问题的应用，根据锐角三角函数的关系得出与的长是解题关键．
 

22.【答案】证明：，，
四边形为平行四边形，
四边形为菱形，
，
，
平行四边形是矩形；
解：四边形为菱形，
，，，
在中，由勾股定理得，
，
，
四边形的周长． 

【解析】本题主要考查矩形、菱形的判定和性质，掌握矩形的判定方法及菱形的对角线互相垂直平分是解题的关键．
由条件可证得四边形为平行四边形，再由菱形的性质可求得，则可证得四边形为矩形；
由菱形的性质可求得和，在中可求得，则可求得的长，则可求得答案．
 

23.【答案】   
喜欢类校本课程的人数为人，
补全条形图如下：

 
，
估计该校喜爱，两类校本课程的学生共有名． 

【解析】

解：本次被调查的学生的人数为人，
故答案为：；
见答案
扇形统计图中，类所在扇形的圆心角的度数为，
故答案为：；
见答案
【分析】
根据种类人数及其占总人数百分比可得答案；
用总人数乘以的百分比得出其人数，即可补全条形图；
用乘以类人数占总人数的比例可得；
总人数乘以、两类人数占样本的比例可得答案．
本题考查的是条形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．  

24.【答案】证明：连接，
则，又，
，
，，
∽
，
又是直径，
，
与相切；
解：连接，则，
，
，
在和中，
，，
∽，
，
，
，
，
，，
，
．
 

【解析】本题考查了切线的判定，以及相似三角形的判定与性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
连接，首先得出∽，进而推出，即可得到结论；
连接，得出∽，再利用相似三角形的性质得出的长，即可得到结论．
 

25.【答案】解：由题意得，销售量，
则
；

，
，
函数图象开口向下，有最大值，
当时，元，
故当单价为元时，该计算器每天的利润最大；

方案利润高．理由如下：
方案中：，
此时元，
方案中：每天的销售量为件，单价为元，
最大利润是元，
此时元，
，
方案利润更高． 

【解析】本题考查了二次函数的应用，难度较大，最大销售利润的问题常利用函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值或最小值，也就是说二次函数的最值不一定在时取得．
根据利润单价进价销售量，列出函数关系式即可；
根据式列出的函数关系式，运用配方法求最大值；
分别求出方案、中的取值，然后分别求出、方案的最大利润，然后进行比较．
 

26.【答案】解：设直线的解析式为，
把，代入得，解得，
直线的解析式为；
把，代入得，解得，
抛物线解析式为；
，轴，
，，
，，
而，
，解得舍去，，
点坐标为；
，，，
，，
而，
，
，
当时，∽，则∽，即：：，
整理得，解得舍去，，
此时点的坐标为；
当时，∽，则∽，即：：，
整理得，解得舍去，，
此时点的坐标为；
综上所述，点的坐标为或． 

【解析】利用待定系数法求直线和抛物线解析式；
先表示出，，则计算出，，则利用得到，然后解方程求出即可得到点坐标；
利用两点间的距离公式计算出，，，由于，利用相似三角形的判定方法，当时，∽，则∽，即：：；当时，∽，则∽，即：：，然后分别解关于的方程即可得到对应的点的坐标．
本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和相似三角形的判定与性质；会利用待定系数法求函数解析式；灵活应用相似比表示线段之间的关系；理解坐标与图形的性质；会利用分类讨论的思想解决数学问题．