2023年山东省济宁市兖州区中考数学二模试卷-普通用卷

2023年山东省济宁市兖州区中考数学二模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  我国古代数学家祖冲之推算出的近似值为，它与的误差小于将用科学记数法可以表示为(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列成语所描述的事件属于不可能事件的是(    )

A. 水落石出 B. 水中捞月 C. 水涨船高 D. 水滴石穿

3.  如图是某一几何体的主视图、左视图、俯视图，该几何体是(    )
 

A. 四棱柱
B. 四棱锥
C. 三棱柱
D. 三棱锥

4.  如图，与位似，点为位似中心，相似比为：若的周长为，则的周长是(    )

A.
B.
C.
D.

5.  下列运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

6.  如图，直线，一个三角板的直角顶点在直线上，两直角边均与直线相交，，则(    )

A.
B.
C.
D.

7.  小区新增了一家快递店，第一天揽件件，第三天揽件件，设该快递店揽件日平均增长率为，根据题意，下面所列方程正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

8.  如图，有一个半径为的圆形时钟，其中每个刻度间的弧长均相等，过点和点的位置作一条线段，则钟面中阴影部分的面积为(    )
 

A.
B.
C.
D.

9.  如图，在矩形中，，连接，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，，直线分别交，于点，下列结论：
四边形是菱形；
；
；
若平分，则．
其中正确结论的个数是(    )

A.  B.  C.  D.

10.  在多项式中任意加括号，加括号后仍只有减法运算，然后按给出的运算顺序重新运算，称此为“加算操作”例如：，，．
下列说法：
至少存在一种“加算操作”，使其运算结果与原多项式相等；
不存在任何“加算操作”，使其运算结果与原多项式之和为；
所有可能的“加算操作”共有种不同运算结果．
其中正确的个数是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.  若有意义，则的取值范围是          ．

12.  如图，点，，，在一条直线上，，，要使≌，只需添加一个条件，则这个条件可以是          ．
 

13.  某品牌护眼灯的进价为元，商店以元的价格出售．“五一节”期间，商店为让利于顾客，计划以利润率不低于的价格降价出售，则该护眼灯最多可降价______元．

14.  “做数学”可以帮助我们积累数学活动经验．如图，已知三角形纸片，第次折叠使点落在边上的点处，折痕交于点；第次折叠使点落在点处，折痕交于点若，则          ．

 

15.  如图，在中，，动点从点出发，沿折线匀速运动至点停止．若点的运动速度为，设点的运动时间为，的长度为，与的函数图象如图所示．当恰好平分时的值为______．

 

三、解答题（本大题共7小题，共55.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
求不等式组的解集，并把它的解集表示在数轴上．

17.  本小题分
某中学积极落实国家“双减”教育政策，决定增设“礼仪”“陶艺”“园艺”“厨艺”及“编程”等五门校本课程以提升课后服务质量，促进学生全面健康发展为优化师资配备，学校面向七年级参与课后服务的部分学生开展了“你选修哪门课程要求必须选修一门且只能选修一门？”的随机问卷调查，并根据调查数据绘制了如下两幅不完整的统计图：
请结合上述信息，解答下列问题：
共有______名学生参与了本次问卷调查；“陶艺”在扇形统计图中所对应的圆心角是______度；
补全调查结果条形统计图；
小刚和小强分别从“礼仪”等五门校本课程中任选一门，请用列表法或画树状图法求出两人恰好选到同一门课程的概率．

 

18.  本小题分
如图，一次函数与反比例函数的图像交于点，与轴交于点．
______，______；
连接并延长，与反比例函数的图像交于点，点在轴上，若以、、为顶点的三角形与相似，求点的坐标．
 

19.  本小题分
北京冬奥会期间，某网店直接从工厂购进、两款冰墩墩钥匙扣，进货价和销售价如下表：注：利润销售价进货价

网店第一次用元购进、两款钥匙扣共件，求两款钥匙扣分别购进的件数；
第一次购进的冰墩墩钥匙扣售完后，该网店计划再次购进、两款冰墩墩钥匙扣共件进货价和销售价都不变，且进货总价不高于元．应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？
冬奥会临近结束时，网店打算把款钥匙扣调价销售，如果按照原价销售，平均每天可售件．经调查发现，每降价元，平均每天可多售件，将销售价定为每件多少元时，才能使款钥匙扣平均每天销售利润为元？

20.  本小题分
如图，是的外接圆，是的直径，点为的中点，的切线交的延长线于点．
求证：；
连接交于点，若，，求和的长．

21.  本小题分
【问题呈现】
如图，和都是等边三角形，连接，求证：．
【类比探究】
如图，和都是等腰直角三角形，连接，请直接写出的值．
【拓展提升】
如图，和都是直角三角形，，且连接，．
求的值；
延长交于点，交于点求的值．

 

22.  本小题分
已知二次函数的自变量的部分取值和对应函数值如下表：

求二次函数的表达式；
将二次函数的图像向右平移个单位，得到二次函数的图像，使得当时，随增大而增大；当时，随增大而减小．请写出一个符合条件的二次函数的表达式______，实数的取值范围是______；
、、是二次函数的图像上互不重合的三点．已知点、的横坐标分别是、，点与点关于该函数图像的对称轴对称，求的度数．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：用科学记数法可以表示得：；
故选：．
绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
 

2.【答案】 

【解析】解：、水落石出，是必然事件，不符合题意；
B、水中捞月，是不可能事件，符合题意；
C、水涨船高，是必然事件，不符合题意；
D、水滴石穿，是必然事件，不符合题意．
故选：．
根据事件发生的可能性大小判断．
本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
 

3.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查由三视图判断几何体的形状，掌握常见几何体的三视图是解题的关键．
根据三视图即可判断该几何体．
【解答】
解：由于主视图与左视图是三角形，
俯视图是正方形，故该几何体是四棱锥，
故选：．  

4.【答案】 

【解析】解：与位似，相似比为：．
：：，
的周长为，
的周长是，
故选：．
根据位似图形是相似图形，相似三角形的周长比等于相似比，可以求得的周长．
本题考查位似变换，解答本题的关键是明确相似三角形的周长比等于相似比．
 

5.【答案】 

【解析】解：、不是同类项不能计算，故A不正确；
B、，故B不正确；
C、，故C不正确；
D、，正确；
故选：．
根据积的乘方、平方差公式、完全平方公式运算法则判断即可．
本题考查了积的乘方、平方差公式、完全平方公式运算法则的应用，熟练的运用法则是解题关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：如图：

，，，
，
直线，
．
故选：．
先由已知直角三角板得，然后由，求出的度数，再由直线，根据平行线的性质，得出．
此题考查了平行线性质，解题的关键是熟练掌握平行线性质：两直线平行，同位角相等．
 

7.【答案】 

【解析】解：根据题意，可列方程：，
故选：．
设该快递店揽件日平均增长率为，关系式为：第三天揽件数第一天揽件数揽件日平均增长率，把相关数值代入即可．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找到关键描述语，就能找到等量关系，是解决问题的关键．同时要注意增长率问题的一般规律．
 

8.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查扇形面积，熟练应用面积公式，其中作出辅助线是解题关键．
连接、，过点作，根据等边三角形的判定得出为等边三角形，再根据扇形面积公式求出，再根据三角形面积公式求出，进而求出阴影部分的面积．
【解答】
解：连接、，过点作，

由题意可知：，
，
为等边三角形，

，
，
，，
，
，
阴影部分的面积为：，
故选：．  

9.【答案】 

【解析】解：根据题意知，垂直平分，

在和中，

≌，
，
，
即四边形是菱形，
故结论正确；
，，
，
，
故结论正确；
，
故结论不正确；
若平分，则，
，
，
，
故结论正确；
故选：．
根据题意分别证明各个结论来判断即可．
本题主要考查矩形的综合题，熟练掌握矩形的性质，基本作图，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：，与原式相等，
故正确；
在多项式中，可通过加括号改变，，的符号，无法改变，的符号，
故不存在任何“加算操作”，使其运算结果与原多项式之和为；
故正确；
在多项式中，可通过加括号改变，，的符号，加括号后只有加减两种运算，
种，
所有可能的加括号的方法最多能得到种不同的结果．
故选：．
根据“加算操作”的定义可知，当只给加括号时，和原式相等；因为不改变，的运算符号，故不存在任何“加算操作”，使其运算结果与原多项式之和为在多项式中，可通过加括号改变，，的符号，因为，，中只有加减两种运算，求出即可．
本题属于新定义问题，涉及整式的加减运算，加法原理与乘法原理的知识点和对加法原理的理解能力，利用原式中只有加减两种运算求解是解题关键．
 

11.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了二次根式有意义的条件，利用被开方数是非负数得出不等式是解题关键．
根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式即可求得的取值范围．
【解答】
解：根据题意得，
解得．
故答案为：．  

12.【答案】答案不唯一 

【解析】

【分析】
本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
根据平行线的性质可得，，然后再利用全等三角形的判定方法即可解答．
【解答】
解：，
，
，
，
，
≌，
故答案为：答案不唯一．  

13.【答案】 

【解析】解：设该护眼灯可降价元，
根据题意，得，
解得，
故答案为：．
设该护眼灯可降价元，根据“以利润率不低于的价格降价出售”列一元一次不等式，求解即可．
本题考查了一元一次不等式的应用，理解题意并根据题意建立一元一次不等式是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了三角形的中位线定理，折叠的性质，把图形补全证明是的中位线是解本题的关键．
先把图补全，由折叠得：，，，证明是的中位线，得，可得答案．
【解答】
解：如图，由折叠得：，，，

，
，
是的中位线，
，
，
．
故答案为：．  

15.【答案】 

【解析】解：如图，连接，

由图可得，
，，
，
平分，
，
，，
，
，，
∽，
，
，
，负值舍去，
，
故答案为：．
由图象可得，通过证明∽，可求的长，即可求解．
本题是动点问题的函数图象，考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，证明三角形相似是解题的关键．
 

16.【答案】解：，
由得：，
由得：，
不等式组的解集为：，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：
 

【解析】分别求出每一个不等式的解集，再求出其公共部分即可．
本题考查了解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，掌握“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解题的关键．
 

17.【答案】；；
条形统计图中，选修“厨艺”的学生人数为：名，
则选修“园艺”的学生人数为：名，
补全条形统计图如下：

把“礼仪”“陶艺”“园艺”“厨艺”及“编程”等五门校本课程分别记为、、、、，
画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中小刚和小强两人恰好选到同一门课程的结果有种，
小刚和小强两人恰好选到同一门课程的概率为． 

【解析】解：参与了本次问卷调查的学生人数为：名，
则“陶艺”在扇形统计图中所对应的圆心角为：，
故答案为：，；
条形统计图中，选修“厨艺”的学生人数为：名，
则选修“园艺”的学生人数为：名，
补全条形统计图如下：

把“礼仪”“陶艺”“园艺”“厨艺”及“编程”等五门校本课程分别记为、、、、，
画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中小刚和小强两人恰好选到同一门课程的结果有种，
小刚和小强两人恰好选到同一门课程的概率为．
由选修“礼仪”的学生人数除以所占百分比得出参与了本次问卷调查的学生人数，即可解决问题；
求出选修“厨艺”和“园艺”的学生人数，即可解决问题；
画树状图，共有种等可能的结果，其中小刚和小强两人恰好选到同一门课程的结果有种，再由概率公式求解即可．
本题考查的是用树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

18.【答案】解：；．
当点落在轴的正半轴上，
则，
与不可能相似．
当点落在轴的负半轴上，
若∽，
，，
．
若∽，则：：，
，，
，
，
综上所述：点的坐标为， 

【解析】

【分析】
本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的系数，相似三角形的判定和性质，解题的关键根据相似三角形的性质进行分类讨论．
将点分别代入反比例函数和一次函数的解析式中，求解即可；
根据题意，需要分类讨论：当点落在轴的正半轴上，当点落在轴的负半轴上，∽或∽，依次根据比例关系，求解即可．
【解答】
解：将点代入反比例函数的解析式中，
；
将代入一次函数，
，解得．
故答案为：；．
见答案．  

19.【答案】解：设购进款钥匙扣件，款钥匙扣件，
依题意得：，
解得：．
答：购进款钥匙扣件，款钥匙扣件．
设购进件款钥匙扣，则购进件款钥匙扣，
依题意得：，
解得：．
设再次购进的、两款冰墩墩钥匙扣全部售出后获得的总利润为元，则．
，
随的增大而增大，
当时，取得最大值，最大值，此时．
答：当购进件款钥匙扣，件款钥匙扣时，才能获得最大销售利润，最大销售利润是元．
设款钥匙扣的售价定为元，则每件的销售利润为元，平均每天可售出件，
依题意得：，
整理得：，
解得：，．
答：将销售价定为每件元或元时，才能使款钥匙扣平均每天销售利润为元． 

【解析】设购进款钥匙扣件，款钥匙扣件，利用总价单价数量，结合该网店第一次用元购进、两款钥匙扣共件，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
设购进件款钥匙扣，则购进件款钥匙扣，利用总价单价数量，结合总价不超过元，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围，设再次购进的、两款冰墩墩钥匙扣全部售出后获得的总利润为元，利用总利润每件的销售利润销售数量，即可得出关于的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题；
设款钥匙扣的售价定为元，则每件的销售利润为元，平均每天可售出件，利用平均每天销售款钥匙扣获得的总利润每件的销售利润平均每天的销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用、一元二次方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，找出关于的函数关系式；找准等量关系，正确列出一元二次方程．
 

20.【答案】证明：连接，

与相切于点，
，
点为的中点，
，
；
解：连接与交于点，连接，

是直径，
，
，
，
点为的中点，
，，
，
，
，
，
为直径，
，
，
，
∽，
，即，
，
，
∽，
，即，
． 

【解析】本题是圆的综合题，主要考查了垂径定理的推论，相似三角形的性质与判定，勾股定理，关键是运用相似三角形的知识解题．
连接，根据切线的性质得，根据垂径定理的推论得，便可得；
连接与交于点，连接，在中，解直角三角形得，进而由勾股定理求得，再由中位线定理求得，在中由勾股定理求得，在中由勾股定理求得，最后由∽求得，由∽求得．
 

21.【答案】【问题呈现】证明：和都是等边三角形，
，，，
，
，
在和中

≌，
；
【类比探究】解：；
【拓展提升】解：，，
∽，
，，
，
∽，
；
由得：∽，
，
，
，
． 

【解析】【问题呈现】证明≌，从而得出结论；
【类比探究】证明∽，进而得出结果；
解：；
证明过程如下：
和都是等腰直角三角形，
，，
，
，
∽，
；
【拓展提升】先证明∽，再证得∽，进而得出结果；
在的基础上得出，进而，进一步得出结果．
本题考查了等腰三角形性质，全等三角形判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握“手拉手”模型及其变形．
 

22.【答案】解：将，代入得：
，解得，
二次函数的表达式为；
答案不唯一，；
当在左侧时，如图：
点、的横坐标分别是、，
，，
，，
点与点关于该函数图像的对称轴对称，而抛物线对称轴为直线，
，轴，
，
，
过作于，
，，
，
是等腰直角三角形，
，即，

当在右侧时，如图：
同理可得是等腰直角三角形，
，


综上所述，的度数是或． 

【解析】

【分析】
本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，抛物线的平移变换，等腰直角三角形的判定等知识，解题的关键是数形结合思想的应用．
用待定系数法可得二次函数的表达式为；
将二次函数的图像向右平移个单位得的图象，新图象的对称轴为直线，根据当时，随增大而增大；当时，随增大而减小，且抛物线开口向下，知，得，即可得到答案；
对与的左右位置分类讨论，然后结合二次函数的对称性可求．
【解答】
见答案；
将二次函数的图像向右平移个单位得的图象，新图象的对称轴为直线，根据当时，随增大而增大；当时，随增大而减小，且抛物线开口向下，知，得，即可得到答案；

见答案．