2022-2023学年江苏省扬州市宝应县高二（下）期中数学试卷-普通用卷

2022-2023学年江苏省扬州市宝应县高二（下）期中数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  在四面体中，为中点，，若，，，则(    )

A.  B.
C.  D.

2.  已知直线的方向向量为，平面的法向量为，且，则实数等于(    )

A.  B.  C.  D.

3.  若，，且与的夹角的余弦为，则(    )

A.  B.  C.  D.

4.  已知随机变量服从正态分布，则(    )

A.  B.  C.  D.

5.  用，，，四个数字组成没有重复数字的三位数有个．(    )

A.  B.  C.  D.

6.  某个班级名学生中，有男生名，女生名，男生中有名团员，女生中有名团员在该班随机选取名学生，在选到的是团员的条件下，选到的是男生的概率为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  设某工厂有甲、乙、丙三个车间，它们生产同一种工件，且甲、乙、丙三个车间的产量比为：：，已知取出甲、乙、丙三个车间的产品，次品率依次为、、，现从这批工件中任取一件，则取到次品的概率为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  元宵节是中国传统佳节，放烟花、吃汤圆、观花灯是常见的元宵活动某社区计划举办元宵节找花灯活动，准备在个不同的地方悬挂盏不同的花灯，其中盏是人物灯现要求这个地方都有灯同一地方的花灯不考虑位置的差别，且人物灯不能挂在同一个地方，则不同的悬挂方法种数有(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.  已知向量，，则下列结论中正确的是(    )

A. 若，则
B. 若，则
C. 不存在实数，使得
D. 若，则

10.  对于，，下列排列组合数结论正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

11.  一个口袋中有大小形状完全相同的个红球和个白球，从中取出个球下列命题正确的是(    )

A. 如果是不放回地抽取，那么取出个红球和取出个白球是对立事件
B. 如果是不放回地抽取，那么第次取到红球的概率等于第次取到红球的概率
C. 如果是有放回地抽取，那么取出个红球个白球的概率是
D. 如果是有放回地抽取，那么在至少取出一个红球的条件下，第次取出红球的概率是

12.  的展开式中第项和第项的二项式系数相等，则以下判断正确的是(    )

A. 第项的二项式系数最大 B. 所有奇数项二项式系数的和为
C.  D.

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.  已知点，平面经过原点，且垂直于向量，则点到平面的距离为______．

14.  如图，已知平行六面体中，，，为的中点，则长度为______
 

15.  为了监控某种食品的生产包装过程，检验员每天从生产线上随机抽取包食品，并测量其质量单位：根据长期的生产经验，这条生产线正常状态下每包食品质量服从正态分布假设生产状态正常，记表示每天抽取的包食品中其质量在之外的包数，若的数学期望，则的最小值为______．
附：若随机变量服从正态分布则．

16.  “回文”是古今中外都有的一种修辞手法，如“我为人人，人人为我”等，数学上具有这样特征的一类数称为“回文数”、“回文数”是指从左到右与从右到左读都一样的正整数，如，等，在所有五位正整数中，有且仅有两位数字是奇数的“回文数”共有______ 个用数字作答
 

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
已知展开式中的第项与倒数第项的二项式系数之和为．
求的值；
求展开式中所有的有理项．

18.  本小题分
某个学习小组有个男生，个女生．
从中任选出个学生，要求男生的个数不比女生少的选法有多少种？用数字作答
现安排个男生参加运动会志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪三项工作可以安排，
若每人都安排一项工作，则不同的选法有多少种？用数字作答
若每项工作至少有人参加，则不同的选法有多少种？用数字作答
 

19.  本小题分
直三棱柱中，，，为中点，为中点，为中点．
求证：平面；
求直线与平面夹角的正弦值；
求平面与平面夹角的余弦值．

20.  本小题分
企业为了监控某种零件的一条流水生产线的产品质量，检验员从该生产线上随机抽取个零件，测量其尺寸单位：并经过统计分析，得到这个零件的平均尺寸为，标准差为企业规定：若，该零件为一等品，企业获利元；若且，该零件为二等品，企业获利元；否则，该零件为不合格品，企业损失元．
在某一时刻内，依次下线个零件，如果其中出现了不合格品，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查若这个零件的尺寸分别为，，，，，，，，，，则从这一天抽检的结果看，是否需要对当天的生产过程进行检查？
将样本的估计近似地看作总体的估计通过检验发现，该零件的尺寸服从正态分布其中近似为样本平均数，近似为样本方差．
(ⅰ)从下线的零件中随机抽取件，设其中为合格品的个数为，求的数学期望结果保留整数
(ⅱ)试估计生产个零件所获得的利润．
附：若随机变量服从正态分布，则，，．

21.  本小题分
如图，已知三棱柱的侧棱与底面垂直，，，，分别是，的中点，点在直线上，且；
Ⅰ证明：无论取何值，总有；
Ⅱ当取何值时，直线与平面所成的角最大？并求该角取最大值时的正切值；
Ⅲ是否存在点，使得平面与平面所成的二面角为，若存在，试确定点的位置，若不存在，请说明理由．

22.  本小题分
为了拓展学生的知识面，提高学生对航空航天科技的兴趣，培养学生良好的科学素养，某校组织学生参加航空航天科普知识答题竞赛，每位参赛学生答题若干次，答题赋分方法如下：第次答题，答对得分，答错得分：从第次答题开始，答对则获得上一次答题得分的两倍，答错得分学生甲参加答题竞赛，每次答对的概率为，各次答题结果互不影响．
求甲前次答题得分之和为分的概率；
记甲第次答题所得分数的数学期望为
写出与满足的等量关系式直接写出结果，不必证明：
若，求的最小值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】

利用向量的加减法，及线性运算，即可得出结论．
本题考查了平面向量的加减法、线性运算，是基础题．

【解答】

解：由题意，

．

故选：．

2.【答案】 

【解析】解：根据题意，若，则有，
故，解可得．
故选：．
根据题意，由平面法向量的定义可得，由此可得，解可得答案．
本题考查平面的法向量，涉及直线与平面垂直的判断，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：由题意可得：，化为：，
．
故选：．
由题意可得：，化简解出即可得出．
本题考查了数量积运算性质、向量夹角公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：随机变量服从正态分布，，
则．
故选：．
由题意可直接得到，再根据随机变量的方差的性质，即可求出．
本题考查正态分布密度函数的特点，考查方差的性质，是基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：因为已知的个数互不相同，组成没有重复数字的三位数，
所以所求结果为：．
故选：．
直接利用排列数公式求解即可．
本题考查排列的实际应用，注意题目的条件，是否重复是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：记事件为“选到团员”，事件为“选到男生”，
则，，
所以．
故选：．
利用条件概率公式列式计算即可求解．
本题考查条件概率，考查学生的计算能力，确定基本事件的个数是关键．
 

7.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
利用相互独立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公式直接求解．

【解答】

解：设某工厂有甲、乙、丙三个车间，它们生产同一种工件，且甲、乙、丙三个车间的产量比为：：，
已知取出甲、乙、丙三个车间的产品，次品率依次为、、，
现从这批工件中任取一件，则取到次品的概率为：
．
故选C．

8.【答案】 

【解析】解：根据题意，分步分析：
将盏不同的灯分为组，要求两盏人物灯不在同一组，
若分为、、的三组，有种分组方法，
若分为、、的三组，有种分组方法，
则有种分组方法，
将分好的三组全排列，安排到个不同的地方，有种情况，
则有种安排方法，
故选：．
根据题意，分步分析：将盏不同的灯分为组，要求两盏人物灯不在同一组，将分好的三组全排列，安排到个不同的地方，由分步计数原理计算可得答案．
本题考查排列组合的应用，涉及分步、分类计数原理的应用，属于基础题．
 

9.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了空间向量的综合应用，涉及了空间向量垂直的充要条件，空间向量的坐标运算，属于基础题．
利用向量模的定义判断选项A由向量垂直的充要条件判断选项B利用空间向量共线定理判断选项C利用向量数量积的坐标表示判断选项D．

【解答】

解：向量，．
若，则，解得，故选项A正确；
若，则，解得，故选项B错误；
假设存在实数，使得，则，方程组无解，
故不存在实数，使得，故选项C正确；
若，则，解得，
所以，故选项D错误．
故选AC．

10.【答案】 

【解析】解：由题意利用组合数的性质，可得B正确．
，故A正确，
，，故C不对；
，
，故D不对；
故选：．
根据题意，利用排列、组合数公式及性质，依次判断选项是否正确，即可得答案．
本题考查排列、组合数公式的性质，涉及组合数公式的应用，属于中档题．
 

11.【答案】 

【解析】解：对于：如果是不放回地抽取，那么取出两个红球和取出两个白球是既不是互斥事件，也不是对立事件，故A错误；
对于：如果是不放回地抽取，那么第次取到红球的概率为或，第次取到红球的概率为，故B错误；
对于：如果是有放回地抽取，那么取出个红球个白球的概率是，故C正确；
对于：至少取出一个红球的概率为，
至少取出一个红球且第二次取出红球的概率两红第一次白第二次红，
故，故D正确．
故选：．
直接利用对立事件和互斥事件及条件概率的应用判断、、、的结论．
本题考查的知识要点：对立事件和互斥事件，条件概率，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
 

12.【答案】 

【解析】解：二项式展开式的通项公式为，
由题意可得，解得，
所以展开式共有项，第项的二项式系数最大，选项正确；
所有奇数项二项式系数的和为，选项错误；
，，选项正确；
，即，
令，可得，故D选项错误．
故选：．
根据已知条件求出，利用二项式系数的特征和展开式系数的性质逐个判断选项是否正确．
本题主要考查二项式定理的应用，考查了二项式系数的性质，通过赋值求展开式相关的系数和，属于基础题．
 

13.【答案】 

【解析】解：由题意，，，
故，
所以点到平面的距离为．
故答案为：．
根据点到平面距离的向量求法求解即可．
本题考查利用空间向量求点到平面的距离，考查运算求解能力，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：，
，
，，，
，，，，
，
，即．
故答案为：．
用，，表示出，计算得出的长度．
本题考查两点间的距离计算，考查空间向量在求空间距离中的应用，属于中档题．
 

15.【答案】 

【解析】解：由已知可得，，
每天从生产线上随机抽取包食品中其质量在之外的包数为，
而每天抽取的包食品中其质量在之外的概率为，
所以，
故E，
解得，即的最小值为．
故答案为：．
由已知可得每天抽取的包食品中其质量在之外的概率为，则，再由期望公式求解可得最小值．
本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查运算求解能力，是基础题．
 

16.【答案】． 

【解析】解：依题意，五位正整数中的“回文数”具有：万位与个位数字相同，且不能为；
千位与十位数字相同，求有且仅有两位数字是奇数的“回文数”的个数有两类办法：
最多个，取奇数字有种，取能重复的偶数字有种，它们排入数位有种，取偶数字占百位有种，
不同“回文数”的个数是个；
最少个，取奇数字有种，占万位和个位，两个占位有种，取偶数字占百位有种，
不同“回文数”的个数是个；
由分类加法计算原理知，在所有五位正整数中，有且仅有两位数字是奇数的“回文数”共有个．
故答案为：．
根据给定的信息，确定五位正整数中的“回文数”特征，再由出现的次数分类求解作答．
本题考查分类加法计数原理、分步乘法计数原理的综合运用，是基础题．
 

17.【答案】解：因为展开式中的第项与倒数第项的二项式系数之和为，
即，
所以，
整理得，
解得或舍去，
所以的值为．
展开式的通项是，，，，，，
要为有理项，则必须为的倍数，于是或，
所以有理项是，
，
所以展开式中的有理项为和． 

【解析】由二项展开式中的二项式系数列方程求出的值．
根据二项展开式的通项公式，求解即可．
本题考查了二项式定理的应用问题，以及二项式系数和二项式展开式的通项公式，是基础题．
 

18.【答案】解：从人中任选出个学生，男生的个数不比女生少的选法有种情况，
个男生，个女生，有种；
个男生，个女生，有种；
个男生，个女生，有种；
故男生的个数不比女生少的选法有种．
每人都安排一项工作，则不同的选法有种．
每项工作至少有人参加，则不同的选法有种． 

【解析】男生的个数不比女生少的选法有种情况，分别计算每种情况的选法，再利用分类加法计数原理计算即可；
利用分步乘法计数原理列式计算即可；
先将个男生分为组，再分配到项工作中，利用排列组合公式求解即可．
本题考查了排列组合的混合问题，先选后排是最基本的指导思想，属于中档题．
 

19.【答案】解：证明：在直三棱柱中，平面，且，则，
以A、、所在直线分别为、、轴，建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、、
、、、、，
，易知平面的一个法向量为，
，故，平面，故EF平面；
由知，，，
设平面的法向量为，
则，取，
，
直线与平面夹角的正弦值为；
由知，，
设平面的法向量为，
则，取，
，
平面与平面夹角的余弦值为． 

【解析】以点为坐标原点，A、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可证得结论成立；
利用空间向量法可求得直线与平面夹角的正弦值；
利用空间向量法可求得平面与平面夹角的余弦值．
本题考查向量法证明线面平行，向量法求解线面角问题，向量法求解面面角问题，属中档题．
 

20.【答案】解：由于这个零件的尺寸都在内．所以不需要对当天的生产过程进行检查．
因为合格品的尺寸范围为所以抽取个零件为合格品的概率为．
由题意．得所以．
个零件中，一等品约为个，
二等品约为个，
不合格品约为个．
生产个零件，估计所获得的利润为元． 

【解析】判断这个零件的尺寸所在的范围，即可得到结论．
判断然后求解期望．
个零件中，一等品的个数，二等品个数，不合格品个数，然后求解生产个零件，估计所获得的利润．
本题考查离散型随机变量的期望的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题．
 

21.【答案】证明：如图，以为原点建立空间直角坐标系，则，
，，，，，
解：，
无论取何值，
解：是平面的一个法向量．

而，当最大时，最大，最大，除外，
当时，取得最大值，此时，，
假设存在，则，设是平面的一个法向量．
则得令，得，

化简得

方程无解
不存在点使得平面与平面所成的二面角为 

【解析】以，，分别为，，轴，建立空间直角坐标系，求出各点的坐标及对应向量的坐标，易判断，即；
设出平面的一个法向量，表达出，利用正弦函数的单调性及正切函数的单调性的关系，求出满足条件的值，进而求出此时的正切值；
假设存在，利用平面与平面所成的二面角为，则平面与平面法向量的夹角为，代入向量夹角公式，可以构造一个关于的方程，研究方程根的情况，即可得到结论．
利用向量知识解决立体几何问题的优点在于用代数化的方法解决立体几何，解题的关键在于用坐标表示空间向量，熟练掌握向量夹角公式．
 

22.【答案】解：甲前次答题得分之和为分的事件是：甲前次答题中仅只答对一次的事件，
所以甲前次答题得分之和为分的概率．
甲第次答题得分、分的概率分别为，则，
甲第次答题得分、分、分的概率分别为，
则，显然，，，
甲第次答题所得分数的数学期望为，
因此第次答对题所得分数为，答错题所得分数为分，其概率分别为，
于是甲第次答题所得分数的数学期望为，
所以与满足的等量关系式是：；
由知，，当，时，，而，
因此数列以为首项，为公比的等比数列，，
于是，由得：，显然数列是递增数列，
而，则有正整数，
所以的最小值是． 

【解析】甲前次答题得分之和为分的事件是甲前次答题中恰答对一次的事件，再利用相互独立事件概率的乘法公式计算作答．
求出，再分析、写出与满足的等量关系式作答；利用构造法求出的通项，列出不等式并结合单调性作答．
本题主要考查离散型随机变量的期望和方差，属于中档题．