2022-2023学年河北省承德市双滦重点中学高二（下）期中数学试卷及答案解析

2022-2023学年河北省承德市双滦重点中学高二（下）期中数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的展开式的第项的系数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  盒中装有个乒乓球，其中个新球，个旧球，不放回地依次取出个球使用，在第一次取到新球的条件下，第二次也取到新球的概率为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  在个村庄中，有个村庄交通不太方便，现从中任意选个村庄，用表示这个村庄中交通不方便的村庄数，下列概率等于的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  已知函数的导函数为，若，则(    )

A.  B.  C.  D.

5.  已知，则，，的大小关系为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  若多项式，则(    )

A.  B.  C.  D.

7.  设函数在上可导，其导函数为，且函数在处取得极小值，则函数的图象可能是(    )

A.  B.
C.  D.

8.  已知函数，且，若函数有个不同的零点，则实数的取值范围为(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.  下列求导不正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

10.  对任意实数，有则下列结论成立的是(    )

A.  B.
C.  D.

11.  某企业生产的个产品中有个一等品，个二等品，现从这批产品中任意抽取个，则其中恰好有个二等品的概率为(    )

A.  B.  C.  D.

12.  已知函数的定义域为，其导函数的图象如图所示，则对于任意，，下列结论正确的是．(    )

A.
B.
C.
D.

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.  设，则曲线在点处的切线的倾斜角是______ ．

14.  除以，所得余数为______ ．

15.  已知随机变量的分布列如下：

若随机变量满足，则的数学期望为______ ．

16.  为了推动农业高质量发展，实施一二三五计划，枣阳市政府将枣阳市划分成湖垱生态农业区，桐柏山生态农业区，数字农业区，生态走廊区和大洪山生态农业区五个发展板块如图，现用四种颜色给各个板块着色，要求有公共边界的两个板块不能用同一种颜色，则不同的着色方法有______ 种
 

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
甲、乙、丙台车床加工同一型号的零件，甲加工的次品率为，乙、丙加工的次品率均为，加工出来的零件混放在一起已知甲、乙、丙加工的零件数分别占总数的，，．
任取一个零件，求它是次品的概率；
如果取到的零件是次品，求它是丙车床加工的概率．

18.  本小题分
已知展开式的二项式系数和为，且．
求的值；
求展开式中二项式系数最大的项；
求的值．

19.  本小题分
假定某射手每次射击命中目标的概率为现有发子弹，该射手一旦射中目标，就停止射击，否则就一直独立地射击到子弹用完设耗用子弹数为．
求的概率分布；
分别求均值和方差．

20.  本小题分
给定函数．
判断函数的单调性，并求出的极值；
画出函数的大致图象；
求出方程的解的个数．
 

21.  本小题分
已知函数，，
若，求函数的极值；
设函数，求函数的单调区间．

22.  本小题分
本着健康低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费；超过两小时的部分，每小时收费元不足小时的部分按小时计算现有甲、乙两人相互独立来该租车点租车骑游各租一车一次设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为，；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为，；两人租车时间都不会超过四小时．
求甲、乙两人所付的租车费用相同的概率；
设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量，求的分布列及均值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的展开式的第项
的系数是．
故选：．
利用通项公式即可得出．
本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：设第一次取到新球为事件，第二次取到新球为事件，
则，，
故．
故选：．
根据已知条件，结合条件概率公式，即可求解．
本题主要考查条件概率公式，考查转化能力，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】

【分析】 
本题考查超几何分布问题，即选出的个村庄中交通不方便的村庄数为，由公式计算概率即可，属于基础题．
【解答】
解：因为有个村庄不太方便，所以从个不方便的村庄中选取了个，
所以．
故选C．  

4.【答案】 

【解析】解：因为，
所以，
所以，解得．
故选：．
求出函数的导函数，再令计算可得．
本题主要考查导数的运算，属于基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：设，则，
当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，
故当时，函数取得最大值，
因为，，
所以，，
因为，
所以，
所以．
故选：．
令，对函数求导，结合导数分析函数的单调性，利用单调性即可比较函数值大小．
本题主要考查了单调性在函数值大小比较中的应用，解题的关键是根据已知合理的构造函数．
 

6.【答案】 

【解析】解：，
题中只是展开式中的系数，
故．
故选：．
先凑成二项式，再利用二项展开式的通项公式求出的系数．
本题考查二项展开式系数的性质以及多项恒等式系数相等的性质，属于基础题．
 

7.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查利用导数研究函数的极值的应用，解题时要认真审题，注意导数性质和函数极值的性质的合理运用，属于基础题．
由题设条件知：当时，；当时，；当时，由此观察四个选项能够得到正确结果．

【解答】

解：函数在上可导，其导函数，
且函数在处取得极小值，
当时，；
当时，；
当时，．
当时，；
当时，；
当时，．
故选：．

8.【答案】 

【解析】解：函数，
当时，，它的图象可以看成是由的图象向右平移个单位得到的，
当时，，它的图象是一个对称轴为，开口向下的抛物线，
作出函数的图象如图所示，
函数有个不同的零点，即函数的图象与直线有个不同的交点，
当时，函数有极小值，
当时，函数有极大值，
所以实数的取值范围为．
故选：．
将函数有个不同的零点，转化为函数的图象与直线有个不同的交点，作出两个函数的图象，由图象分析即可．
本题考查了函数的零点与方程的根的综合应用，解决函数零点或方程根的问题，常用的方法有：方程法直接解方程得到函数的零点；图象法直接画出函数的图象分析得解；方程图象法令函数为零，再重新构造两个函数，数形结合分析得解属于中档题．
 

9.【答案】 

【解析】解：对于项，，故A项错误；
对于项，，故B项错误；
对于项，，故C项正确；
对于项，，故D项正确．
故选：．
根据基本初等函数的导数，以及导数的运算法则求导，即可得出答案．
本题主要考查导数的运算，属于基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：由，
当时，，，选项错误；
当时，，即，选项正确；
当时，，即，选项正确；
，由二项式定理，，选项正确．
故选：．
由二项式定理，采用赋值法判断选项ACD，转化法求指定项的系数判断选项B．
本题主要考查二项式定理，考查转化能力，属于基础题．
 

11.【答案】 

【解析】解：任意抽取个产品有种不同的抽取方法，其中恰好有个二等品的抽取方法有，
故所求事件的概率为，故D正确；
“恰好有个二等品“的对立事件为“没有二等品或有个二等品“；
没有二等品或有个二等品取法有，故没有二等品或有个二等品的概率为，
所以恰好有个二等品的概率为，故A正确；
故选：．
直接求恰好有个二等品的概率，可判断D正确，运用对立可件的概率可知A正确．
本题考查古典概型的概率求法，以及对立事件的概率的关系，属基础题．
 

12.【答案】 

【解析】解：由题图可知，导函数图象在轴上方，
所以，且其绝对值越来越小，
所以过此函数图象上任意一点的切线的斜率为正，
而且从左到右的倾斜角是越来越小的锐角，
所以可得的大致图象：

对于、：图象的割线的斜率为正，
所以，故A错误，B正确；
对于、：表示对应的函数值，
即图中点的纵坐标表示当和时所对应的函数值的平均值，
即图中点的纵坐标，
所以，故C正确，D错误，
故选：．
利用导函数的图象和性质，进而可得的大致图象，即可得出答案．
本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：因为，
则，
则，所以曲线在点处切线的斜率为，
则倾斜角为，
故答案为：．
将已知关系式化为，由此求出斜率，进而可以求解．
本题考查了导数的几何意义的应用，考查了学生的运算能力，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：因为，
又因为可以被整除，所以整除的余数为．
故答案为：．
利用二项式定理可得，然后根据整除的性质即可求解．
本题考查了二项式定理的应用，涉及到整除的性质，属于基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：由题意可知，，解得，
故E．
故答案为：．
根据已知条件，先求出，再结合期望公式，即可求解．
本题主要考查离散型随机变量期望的求解，属于基础题．
 

16.【答案】 

【解析】解：先涂区域，有种选择，接下来涂区域，有种选择，
接下来涂区域，涂区域有种选择，涂区域有种选择，
最后涂区域，有种选择，
由分步计数原理可知，不同的着色方法种数为种．
故答案为：．
按先后顺序分别涂区域，确定每个区域的涂色方法种数，结合分步乘法计数原理可得结果．
本题考查排列组合相关知识，属于中档题．
 

17.【答案】解：任取一个零件，它是次品的概率为．
记事件为“取到的零件是次品”，事件为“丙车床加工的”，
． 

【解析】利用相互独立事件的乘法公式即可求得任取一个零件是次品的概率；
利用条件概率公式即可求得如果取到的零件是次品则它是丙车床加工的概率．
本题考查相互独立事件的乘法公式，考查条件概率公式，是基础题．
 

18.【答案】解：的展开式的所有项的二项式系数和为，
，
故展开式中第三项为：，
所以；
，
第四项的二项式系数最大，
所以展开式中二项式系数最大的项；
因为，
，
令，可得． 

【解析】由题可得，然后根据二项展开式的通项即得；
由题可知第四项的二项式系数最大，然后根据展开式的通项即得；
由题可得，然后利用赋值法即得．
本题主要考查二项式定理，属于基础题．
 

19.【答案】解：，，．
的分布列为：

．
． 

【解析】利用相互独立事件概率计算公式即可得出．
利用期望计算公式即可得出．
利用方差计算公式即可得出．
本题考查了相互独立事件概率计算公式、期望与方差及其标准差计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
 

20.【答案】解：，
易得，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，
所以在上单调递增，在上单调递减，
故当时，函数取得极小值，没有极小值；
因为，，当时，，当时，，
当时，，当时，，，
函数的大致图象如图所示，
结合图象可知，当或时，有一个解；
当时，有两个解；
当时，没有解． 

【解析】先对函数求导，然后结合导数与单调性及极值关系可求；
结合导数分析函数的性质，寻求函数的特征，即可；
转化为与的图象交点个数问题，结合函数图象可求．
本题主要考查了导数与单调性及极值关系的应用，还考查了函数图象交点个数的判断，体现了转化思想及数形结合思想的应用，属于中档题．
 

21.【答案】解：Ⅰ函数的定义域是，
当时，，，

在处取得极小值；
Ⅱ，
，
当时，即时，在上，，
在上，，
在递减，在递增；
当，即时，在上，
在上递增． 

【解析】Ⅰ先求出函数的导数，得到函数的单调区间，从而求出函数的极小值；Ⅱ先求出函数的导数，通过讨论的范围，从而得到函数的单调性．
本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用，分类讨论思想，是一道中档题．
 

22.【答案】解：甲乙两人租车时间超过三小时的概率分别为，
甲乙两人所付的租车费用相同的概率，
随机变量的所有取值为，，，，，
，
，
，
，
，
分布列：

故数学期望． 

【解析】首先求出两个人租车时间超过三小时的概率，甲乙两人所付的租车费用相同即租车时间相同：都不超过两小时、都在两小时以上且不超过三小时和都超过三小时三类求解即可．
随机变量的所有取值为，，，，，由独立事件的概率分别求概率，列出分布列，再由期望的公式求期望即可．
本题考查独立事件、互斥事件的概率、离散型随机变量的分布列和数学期望，考查利用所学知识解决问题的能力．