2023年黑龙江省九年级数学中考模拟题分项选编：勾股定理

这是一份2023年黑龙江省九年级数学中考模拟题分项选编：勾股定理，共29页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年黑龙江省九年级数学中考模拟题分项选编：勾股定理

一、单选题
1．（2023·黑龙江大庆·大庆一中校考模拟预测）如图是某几何体的展开图，则该几何体的体积为（   ）
  
A． B． C． D．
2．（2023·黑龙江牡丹江·校考模拟预测）如图，直角三角形的三边上分别有一个正方形，其中两个正方形的面积分别是和，则字母B所代表的正方形的面积是(  )

A． B． C． D．
3．（2023·黑龙江大庆·大庆外国语学校校考模拟预测）如图，将两个完全相同的Rt△ACB和Rt△A'C′B′拼在一起，其中点A′与点B重合，点C'在边AB上，连接B′C，若∠ABC＝∠A′B′C′＝30°，AC＝A′C′＝2，则B′C的长为（　　）

A．2 B．4 C．2 D．4
4．（2023·黑龙江佳木斯·校联考一模）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，以Rt△ABC各边为斜边分别向外作等腰Rt△ADB、等腰Rt△AFC、等腰Rt△BEC，然后将等腰Rt△ADB和等腰Rt△AFC按如图方式叠放到等腰Rt△BEC中，其中BH＝BA，CI＝CA，已知，S四边形GKJE＝1，S四边形KHCJ＝8，则AC的长为（　　）

A．2 B． C．4 D．6
5．（2023·黑龙江牡丹江·校考模拟预测）三角形的两边长分别为2，7，要使这个三角形是直角三角形，则第三条边长是（  ）
A． B． C．或 D．或
6．（2023·黑龙江牡丹江·校考模拟预测）下列四组数据不能作为直角三角形的三边长的是（    ）
A．、、 B．、、 C．、、 D．、、

二、填空题
7．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨德强学校校考模拟预测）如图，在中，为中线，交于点，若，则线段的长为____________．
  
8．（2023·黑龙江哈尔滨·统考二模）如图，四边形中，，，，（表示的面积，表示的面积），则的长为______．
  
9．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市萧红中学校考二模）在中，为边上的高，，的面积为12，边的长为_______．
10．（2023·黑龙江哈尔滨·统考一模）已知在中，，，，则的长是___________．
11．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨德强学校校考模拟预测）已知为等边三角形，且边长为，点为边上一点，连接，当的长为时，则的长为______
12．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第六十九中学校校考模拟预测）中，，，边上的高为12，则边的长为______．
13．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第六十九中学校校考模拟预测）如图，在四边形中，，，对角线，则线段的长为______．

14．（2023·黑龙江牡丹江·校考模拟预测）下图是“毕达哥拉斯树”的“生长”过程：如图，一个边长为的正方形，经过第一次“生长”后在它的上侧长出两个小正方形，且三个正方形所围成的三角形是直角三角形；再经过一次“生长”后变成了图；如此继续“生长”下去，则第次“生长”后，这棵“毕达哥拉斯树”上所有正方形的面积和为________．

15．（2023·黑龙江绥化·校考模拟预测）爱好阅读的小茗同学在课外阅读时发现自然界中许多地方都存在优美的螺旋曲线（图1，图2），小茗联想到课本中也有螺旋曲线（图3），于是小茗突发奇想，用若干含30°角的直角三角形组成螺旋曲线（图4），，当小茗告诉数学老师这一情况之后，数学老师说：如果Rt△OLM的直角边OM的长是，则OA的长为______．

16．（2023·黑龙江绥化·校考模拟预测）等边ABC的边长为3，在边AC上取点A1，使AA1＝1，连接A1B，以A1B为一边作等边A1BC1，则线段AC1的长为_____．
17．（2023·黑龙江绥化·校考一模）已知正方形的边长为6，点是直线上一点，且，连接，作线段的垂直平分线交直线于点，则线段的长为__________．
18．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨德强学校校考模拟预测）在△ABC中，AD是△ABC的高，若AB=，tan∠B=，且BD=2CD，则BC=____．

三、解答题
19．（2023·黑龙江哈尔滨·统考二模）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1个单位长度，的顶点和线段的端点均在小正方形的顶点上．
  
(1)在方格纸中将向上平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度后得到（点A的对应点是点D，点B的对应点是点E，点C的对应点是点F），请画出；
(2)在方格纸中画出以为腰的等腰三角形（点N在小正方形的顶点上），使的正切值为．连接，请直接写出线段的长．
20．（2023·黑龙江哈尔滨·统考一模）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1个单位长度，线段、的端点均在小正方形的顶点上．

(1)在图中画出以为底的等腰三角形，且的面积为，点C在小正方形的顶点上；
(2)在图中画出以为一边的等腰三角形，且的面积为5，点F在小正方形的顶点上，连接，请直接写出的长度．
21．（2023·黑龙江绥化·统考一模）如图，中，．

(1)用直尺和圆规在线段上找一点，使点D到和的距离相等；
(2)在（1）的条件下，若，，求点D到的距离．
22．（2023·黑龙江哈尔滨·统考模拟预测）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，点A、B、C均在小正方形的顶点上，请按要求画出图形并计算：

(1)画出四边形点在小正方形的顶点上，此四边形是轴对称图形，且面积为20；
(2)画出，使得此三角形是钝角等腰三角形；
(3)连接，请直接写出线段的长．
23．（2023·黑龙江绥化·校联考一模）已知，，，．

(1)试用直尺和圆规作的中垂线．（不写作法，保留痕迹）
(2)的中垂线交于点，求的面积．
24．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第六十九中学校校考二模）如图1，点D是△ABC的边BC的中点，DE⊥AC于E，DF⊥AB于F，且BF＝CE．
（1）求证：AE＝AF；
（2）如图2，连接AD交EF于M，连接BM、CM，若∠BAC＝60°，△ABD的面积为4，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中所有面积为1的三角形．

25．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第六十九中学校校考模拟预测）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，线段和的端点A、B、D、E均在小正方形的顶点上．

(1)画出以为一边且面积为2的，顶点C在小正方形的顶点上；
(2)画出一个以斜边的等腰，顶点F在小正方形的顶点上；
(3)在（1）和（2）的条件下，连接，请直接写出线段的长．
26．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨德强学校校考一模）如图，网格中每个小正方形的边长均为1个单位长度，的顶点和线段的端点均在格点上．

(1)将先向下平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度后，得到（点的对应点是，点的对应点是，点的对应点是），请画出；
(2)在（1）画出后，在网格中画出（点在格点上），使，的面积为；
(3)连接，并直接写出线段的长．
27．（2023·黑龙江哈尔滨·统考一模）如图，在每个小正方形的边长均为1的方格纸中有线段AB和CD，点A、B、C、D均在小正方形的顶点上．

（1）画出一个以AB为一边的△ABE，点E在小正方形的顶点上，且∠BAE＝45°，△ABE的面积为；
（2）画出以CD为一腰的等腰△CDF，点F在小正方形的顶点上，且△CDF的面积为；
（3）在（1）、（2）的条件下，连接EF，请直接写出线段EF的长．

参考答案：
1．D
【分析】由题意知，该几何体为圆锥，如图，则 ，，，在中，由勾股定理得，，则几何体的体积，计算求解即可．
【详解】解：由题意知，该几何体为圆锥，如图，则，，，
  
在中，由勾股定理得，，
∴几何体的体积，
故选：D．
【点睛】本题考查了根据圆锥的展开图求圆锥体积，勾股定理．解题的关键在于确定几何体的形状．
2．A
【分析】根据勾股定理和正方形的面积公式，得字母B所代表的正方形的面积等于其它两个正方形的面积差．
【详解】解：由勾股定理得：字母B所代表的正方形的面积为．
故选：A．
【点睛】本题考查了勾股定理、正方形的性质；熟记：以直角三角形的两条直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积．
3．A
【分析】先根据直角三角形的性质可得，再根据勾股定理和角的和差可得，最后在中，利用勾股定理即可得．
【详解】解：∵，
∴，
∴，，
则在中，，
故选：A．
【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形的性质、勾股定理等知识点，熟练掌握含30度角的直角三角形的性质是解题关键．
4．D
【分析】设AD＝DB＝a，AF＝CF＝b，BE＝CE＝c，由勾股定理可求a2+b2＝c2，由S四边形GHCE＝S四边形GKJE+S四边形KHCJ＝9，可求b＝3，即可求解．
【详解】解：设AD＝DB＝a，AF＝CF＝b，BE＝CE＝c，
∴ABa，ACb，BCc，
∵∠BAC＝90°，
∴AB2+AC2＝BC2，
∴2a2+2b2＝2c2，
∴a2+b2＝c2，
∵将等腰Rt△ADB和等腰Rt△AFC按如图方式叠放到等腰Rt△BEC，
∴BG＝GH＝a，
∵S四边形GHCE＝S四边形GKJE+S四边形KHCJ＝9，
∴（a+c）（c﹣a）＝9，
∴c2﹣a2＝18，
∴b2＝18，
∴b＝3，
∴ACb＝6，
故选：D．
【点睛】本题考查了勾股定理，折叠的性质，利用整体思想解决问题是本题的关键．
5．C
【分析】根据勾股定理的逆定理，设第三条边的长为x，分两种情况列方程解题即可.
【详解】设第三条边长为x，
当22+72=x2或22+x2=72时，三角形是直角三角形，
解得x=或x=．
故选C．
【点睛】本题考查勾股定理的逆定理．分两种情况列方程是解题的关键.
6．C
【分析】根据勾股定理的逆定理，可以判断各个选项中的三条线段是否能构成直角三角形，从而可以解答本题．
【详解】A、，、、能作为直角三角形的三边长，故本选项不符合题意．
B、，、、能作为直角三角形的三边长，故本选项符合题意．
C、，、、不能作为直角三角形的三边长，故本选项不符合题意．
D、，、、能作为直角三角形的三边长，故本选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查勾股定理的逆定理，解答本题的关键是明确题意，利用勾股定理的逆定理解答．
7．
【分析】由等腰三角形的性质和余角的定义，先求出，过点E作于H，过点C作于F，然后证明≌，从而得到，再根据勾股定理，求出，从而进一步求出的长．
【详解】解：∵，
∴，
设，
∵，
∴，，，
∵，
∴，
∵，
∴；
过点E作于H，过点C作于F，如图：
  
∴，，
∵，
∴≌，
∴，，
∵，
∴
∵，
∴，
∴，
∴；
∵，
即；
∴，
∴，
∴；
故答案为：；
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确的作出辅助线，从而进行解题．
8．
【分析】将沿折叠得到，即可得到，，，结合，即可得到，即可得到，得到，可得，，根据可得，结合即可得到答案.
【详解】解：将沿折叠得到，
∵沿折叠得到，
∴，，，
∵，
∴  
∴，
∵，
∴，
∴，，，
∵，
∴，即：，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
故答案为：；
  
【点睛】本题考查折叠的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，平行线的性质，解题的关键是作出辅助线找到段关系根据面积关系列等式．
9．5或/或5
【分析】先根据三角形面积公式求出，再分当点D在上时，当点D不在上时，分别求出对应的的长即可求出边的长．
【详解】解：∵为边上的高，，的面积为12，
∴，
∴；
如图所示，当点D在上时，
在中，由勾股定理得，
∴，
在中，由勾股定理得；

如图所示，当点D不在上时，
同理可得，
∴，
∴在中，由勾股定理得；
综上所述，边的长为5或
故答案为：5或．

【点睛】本题主要考查了勾股定理，三角形面积，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．
10．1或
【分析】分是锐角和钝角两种情况，分别画出图形，根据三角形的面积公式求得，再求出,再根据图形求得，最后运用勾股定理即可解答．
【详解】解：①如图：当是锐角时，当过C作的垂线交于D
∵
∴,即，解得：，
∴
∴
∴

②如图：如图：当是钝角时，当过C作的垂线交的延长线于D

∵
∴,即，即
∴
∴
∴
故答案是：1或．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，根据三角形的面积公式和勾股定理求得的长是解答本题的关键．
11．或
【分析】过点作于点，根据题意画出图形，勾股定理即可求解，然后根据点在点的左边和右边，分类讨论即可求解．
【详解】解：如图所示，过点作于点，

依题意，，则，
∴，
在中，，
∴或，
故答案为：或．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．
12．25或7
【分析】根据勾股定理可直接进行求解．
【详解】解：①当B、C在点D异侧时，如图，

∵，，，，
∴，，
∴
②当B、C在点D同侧时，如图所示：

∵，，，，
∴，，
∴；
故答案为25或7．
【点睛】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
13．
【分析】作，由，，证，根据勾股定理，，即可求解；
【详解】解：如图，作，

∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
根据勾股定理，，
∵，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查三角形的全等证明、勾股定理，掌握相关知识并正确画出辅助线是解题的关键．
14．
【分析】运用归纳的方法，根据勾股定理，先求出前几次的这棵“毕达哥拉斯树”上所有正方形的面积和，然后找到变化的规律，猜测第n次的这棵“毕达哥拉斯树”上所有正方形的面积和，从而获解．
【详解】解：生长之前面积设为，第n次“生长”后的面积为，
，
，
，
……，
，
当时，；
故答案为：．
【点睛】此题考查图形的变化规律、勾股定理，正确理解题中图形的变化规律、准确用代数式表示规律是解答此题的关键．
15．
【分析】由可得 则 同理：可得再建立方程求解即可．
【详解】解：在Rt中，
∴
∴
同理：


∴
∵
∴
解得：
故答案为：
【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，含的直角三角形的性质，二次根式的乘法运算，线段长度的规律探究，掌握“从具体到一般的探究方法，再归纳总结规律并运用规律”是解本题的关键．
16．2或
【分析】分两种情况：①当C1在A1B的上方时，如图1，证明△A1BC≌△ABC1，则A1C=AC1=2；②当C1在A1B的下方时，如图2，作辅助线，构建全等三角形和直角三角形，同理得：△ABA1≌△CBC1，则C1C=A1A=1，∠C1CB=∠BAC=60°，得到30°的Rt△C1CD，根据性质求得CD=，C1D=，最后利用勾股定理可得结论．
【详解】解：分两种情况：
①当C1在A1B的上方时，如图1，

∵AB=3，AA1=1，
∴A1C=3-1=2，
∵△ABC和△A1BC1是等边三角形，
∴AB=BC，A1B=BC1，∠ABC=∠A1BC1=60°，
∴∠A1BC=∠ABC1，
在△A1BC和△ABC1中，
∵，
∴△A1BC≌△ABC1（SAS），
∴A1C=AC1=2；
②当C1在A1B的下方时，如图2，连接C1C，过C1作C1D⊥AC于D，

同理得：△ABA1≌△CBC1，
∴C1C=A1A=1，∠C1CB=∠BAC=60°，
∵∠ACB=60°，
∴∠C1CD=60°，
Rt△C1CD中，∠CC1D=30°，
∴CD=C1C=，，
Rt△AC1D中，AD=3+=，
由勾股定理得：，
综上所述，则线段A1C的长为2或．
故答案为：2或．
【点睛】本题考查了三角形全等的性质和判定、勾股定理、等边三角形，采用分类讨论的思想，利用等边三角形的性质证明三角形全等是关键．
17．4或16
【分析】分为两种情况：P在DA的延长线上时，P在AD的延长线上时，连接BE，根据线段垂直平分线求出PE=BE，根据勾股定理求出BE，根据全等求出BQ=PE，即可得出答案．
【详解】∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，AD=BC=AB=6，
∵3AP=AD，
∴AP=2，
分为两种情况：
①如图1所示：P在DA的延长线上时，QE交直线AD于E，与BP交于O，

连接BE，
∵QE是BP的垂直平分线，
∴PE=BE，，
设PE=BE=x，则AE=x-2，
在Rt△AEB中，由勾股定理得：AE2+AB2=BE2，
(x-2)2+62=x2，
解得：x=10，
即PE=BE=10，
∵AD∥BC，
∴∠P=∠QBO，
在△PEO和△BQO中，
，
∴△PEO≌△BQO（ASA），
∴BQ=PE=10，
∵CD=6，
∴CQ=6+10=16；
②如图2所示：P在AD的延长线上时，

同理：BQ=10，
此时CQ=10-6=4；
故答案为：4或16．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线性质，勾股定理，全等三角形的性质和判定的应用，能求出符合的所有情况是解此题的关键．
18．3或1/1或3
【分析】分点D在线段AB上和点D在线段AB延长线上两种情况求BC的长，即可.
【详解】解：∵tan∠B==，
∴设AD=x，则BD=2x，
∵AB2=AD2+BD2，
∴（）2=（x）2+（2x）2，
解得：x=1或x=﹣1（舍），
即BD=2，
又∵BD=2CD，
∴CD=1，
当点D在线段AB上时，如图1，
则BC=BD+CD=3；
当点D在线段AB延长线上时，如图2，
则BC=BD﹣CD=1；

【点睛】本题考查解直角三角形．勾股定理，熟练掌握锐角三角函数的定义，分类讨论思想是关键.
19．(1)画图见解析；
(2)画图见解析，．

【分析】（1）由平移方向找到对应点的位置，连线画图即可；
（2）先通过平移找到满足的点N所在的射线，再通过等腰三角形构造，找到在格点上的点N，画出图形，由平移量采用勾股定理计算出即可．
【详解】（1）  
（2）将点向左移动3个单位，向上移动4个单位，找到点，得到点在射线上，
，
为等腰的腰，
在射线上取点，使，或，
  
又点N在小正方形的顶点上，
只有一个点在格点上，且在射线上，
此时，为等腰三角形，满足条件，
画图如下：
  
点向左移2个单位，向下移1个单位到达点，
．
【点睛】本题考查网格图中点及图形的平移问题，等腰三角形的构造，在网格中线段长度的计算（采用勾股定理），在网格中满足正切值角的构造，需要充分利用网格小正方形边长相等的特点，找准位置画图．
20．(1)见解析
(2)见解析，

【分析】（1）利用数形结合的思想解决问题即可；
（2）根据等腰三角形的定义画出图形即可，利用勾股定理求出即可．
【详解】（1）解：如图：即为所求，

，，
，
以为底的等腰三角形，且面积为：；
（2）解：如图：即为所求，连接，

，
．
【点睛】本题考查了作图−复杂作图，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，三角形面积，解决本题的关键是掌握等腰三角形的判定与性质．
21．(1)见解析
(2)

【分析】（1）作的角平分线交于点，根据角平分线的性质即可求解；
（2）根据勾股定理求得，根据角平分线的性质，设，根据等面积法即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求．

（2）由，得．
．
如图，过点D作于点E．
设．
．
解得：．
，即点D到的距离等于．
【点睛】本题考查了作角平分线，角平分线的性质，勾股定理，熟练掌握基本作图，角平分线的性质是解题的关键．
22．(1)见解析
(2)见解析
(3)

【分析】（1）根据要求作出图形即可；
（2）作一个腰为5的顶角是钝角的等腰三角形即可；
（3）利用勾股定理求解．
【详解】（1）如图，四边形即为所求；

（2）如图，即为所求；
（3）．
【点睛】本题考查作图的轴对称变换，轴对称图形，等腰三角形等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题．
23．(1)见解析
(2)6

【分析】（1）根据线段垂直平分线的尺规作图方法作图即可；
（2）由线段垂直平分线的性质得到，设，则，利用勾股定理求出的长即可得到答案．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；

（2）解：如图所示，连接，则，
设，则，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的尺规作图，线段垂直平分线的性质，勾股定理，灵活运用所学知识是解题的关键．
24．（1）证明见解析；（2）、、和．
【分析】（1）根据题意利用“HL”，易证，即得出．再次利用“HL”即可证明，即得出．
（2）根据（1）可证明．再根据，即推出是等边三角形．设，则．根据，即可求出．在中，，即得出，，最后利用三角形面积公式即可求出．由全等的性质可知．再由同底等高的三角形面积相等即可最后确定、、和面积相等．
【详解】解：（1）如图，连接AD．

∵，
∴．
∵点D是BC的中点，
∴．
∴在和中，，
∴，
∴，
∴在和中，，
∴，
∴．
（2）∵，
∴，即．
∵，
∴是等边三角形，三角形AEF为等边三角形；
∴∠AFE=∠ABC=60°
∴EF//BC
设，则，
∴，
∴．
∵在中，，
∴，，
∴．
∵，
∴．
又∵和、和同底等高，
∴、、和面积相等．
【点睛】本题考查三角形全等的判定和性质，等边三角形的判定和性质，含角的直角三角形的性质以及勾股定理．利用数形结合的思想是解答本题的关键．
25．(1)图见详解
(2)图见详解
(3)

【分析】（1）利用数形结合的思想解决问题即可；
（2）根据等腰直角三角形的性质可进行求解；
（3）由（1）（2）及勾股定理可进行求解．
【详解】（1）解：所作面积为2的如图所示：

（2）解：所作以斜边的等腰如图所示：

（3）解：连接，如图所示：

∴由勾股定理得：．
【点睛】本题主要考查等腰直角三角形的性质、勾股定理，熟练掌握等腰直角三角形的性质、勾股定理是解题的关键．
26．(1)见解析
(2)见解析
(3)

【分析】（1）根据平移规则，画出即可；
（2）根据题意，取格点F，如详解图，画出即可；
（3）利用勾股定理求出的长即可．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；

（2）解：如图所示，即为所求；

由图可知：，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴；
∴即为所求；
（3）解，连接，

由勾股定理，可得：．
【点睛】本题考查平移作图，勾股定理与网格问题，以及利用勾股定理逆定理判定直角三角形．熟练掌握平移的性质和勾股定理，是解题的关键．
27．(1)详见解析；(2)详见解析；(3)
【分析】（1）以AB为斜边作以等腰直角三角形即可得；
（2）以点C为圆心、CD长为半径作圆，根据面积确定点F即可得；
（3）由勾股定理可得答案．
【详解】（1）如图，

∵AE＝BE＝＝，AB＝＝，
∴AE2+BE2＝AB2，
∴△ABE是以AE、BE为腰的等腰直角三角形，且S△ABE＝××＝，
（2）如图：

CD＝CF＝5，且S△CDF＝×5×3＝，
（3）EF＝＝．
【点睛】考查了作图-应用与设计作图，解题的关键是熟练掌握勾股定理及其逆定理、等腰三角形的判定．