山东省泰安市泰山国际学校2021届高三10月月考数学试题 Word版含解析

这是一份山东省泰安市泰山国际学校2021届高三10月月考数学试题 Word版含解析，共16页。试卷主要包含了请将答案正确填写在答题卡上， 命题“，”的否定为， 下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2.请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题)
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的）
1. 已知全集，集合，集合，则
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】∵全集U={1，2，3，4，5}，集合，
∴，，
则.
故选：C.
2. 已知集合，，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
计算，再计算交集得到答案.
【详解】，，则.
故选：C.
【点睛】本题考查了解指数不等式，交集运算，属于简单题.
3. 下列函数中是偶函数，且在区间(0，+)上是减函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据函数表达式，判断f(x)和f(-x)的关系，得到奇偶性，再依次判断单调性即可得到结果.
【详解】A.,,函数是偶函数，在上是增函数，故不正确；
B. ,是偶函数，，在区间上是减函数，故正确；
C. ，，是奇函数，故不正确；
D. ，，是偶函数，但是在上是增函数，故不正确；
故答案为B.
【点睛】这个题目考查了函数的奇偶性和单调性，函数奇偶性的判断，先要看定义域是否关于原点对称，接着再按照定义域验证和 的关系，函数的单调性，一般小题直接判断函数在所给区间内是否连续，接着再判断当x变大时y的变化趋势，从而得到单调性.
4. 已知奇函数在区间上是增函数，且最大值为，最小值为，则在区间上的最大值、最小值分别是( )
A. B. C. D. 不确定
【答案】A
【解析】
【分析】
根据奇函数得性质可确定结果.
【详解】因为奇函数关于原点对称，所以当在区间上是增函数，且最大值为，最小值为时, 在区间上的最大值、最小值分别是,选A.
【点睛】本题考查利用奇函数性质求最值,考查基本分析求解能力,属基础题.
5. 已知集合A=，B=，若“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
化简两个集合，分别讨论充分性和必要性，可选出答案.
【详解】由题意，集合，
充分性：
若，则，满足，即“”是“”的充分条件；
必要性：
若，①集合，，此时符合；②集合，此时，解得.
故时，，即“”不是“”的必要条件.
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
【点睛】本题考查充分不必要条件，考查不等式的解法，考查集合的包含关系，考查学生的计算能力与逻辑推理能力，属于基础题.
6. 命题“，”的否定为（ ）
A. “，”B. “，”
C. “，”D. “，”
【答案】A
【解析】
【分析】
直接利用全称命题的否定为特称命题得到答案.
【详解】全称命题的否定为特称命题，
故命题“，”的否定为，.
故选：A.
【点睛】本题考查了全称命题的否定，属于简单题.
7. 已知实数均为正数，满足，，则的最小值是
A. 10B. 9C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
利用基本不等式求得，则，展开后再利用基本不等式可求得的最小值．
【详解】，，，，当且仅当时，取等号．
则，
当且仅当时，且，时，的最小值为9，故选B．
【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数是否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.
8. 函数是偶函数，且函数的图象关于点成中心对称，当时，，则( )
A. B. C. 0D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】
由是偶函数以及图象关于点成中心对称，可得到个关于的等式，将两个等式联立化简，可证明是个周期函数，即可计算的值.
【详解】根据题意，函数是偶函数，则函数的对称轴为，
则有，
又由函数的图象关于点成中心对称，则，
则有，即，
变形可得，则函数是周期为8的周期函数，
；
故选D．
【点睛】本题考查函数的对称性：（1）若，则的对称轴是：；（2）若，则的对称中心是.
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求）
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 若a>b，c>d，则a-c>b-dB. 若，则a>b
C. 若，则D. 若，则
【答案】BC
【解析】
【分析】
取特殊值排除AD，利用不等式性质判断BC正确，得到答案.
【详解】取，，则，A错误；
，，故，则，B正确；
，故，故，C正确；
取，不成立，D错误.
故选：BC.
【点睛】本题考查了不等式性质，意在考查学生的推断能力，取特殊值排除是解题的关键.
10. 已知函数满足，且是奇函数，则下列说法正确是（ ）
A. 是奇函数B. 是周期函数
C. D. 是奇函数
【答案】BCD
【解析】
【分析】
根据奇函数和周期函数的性质进行判断.
【详解】, 关于点对称，
令, 有，且是由向左平移1个单位得到，
关于对称，所以是奇函数；
又是奇函数，所以关于对称，
所以 则,
所以, 即是以4为一个周期的函数，
综上，选项BCD正确，A错误.
故选：BCD.
【点睛】本题考查周期函数和奇函数的性质，属于基础题.
11. 定义：若函数在区间上的值域为，则称区间是函数的“完美区间”，另外，定义区间的“复区间长度”为，已知函数，则（ ）
A. 是一个“完美区间”
B. 是的一个“完美区间”
C. 的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为
D. 的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为
【答案】AC
【解析】
【分析】
根据定义，当时求得的值域，即可判断A；对于B，结合函数值域特点即可判断；对于C、D，讨论与两种情况，分别结合定义求得“复区间长度”，即可判断选项.
【详解】对于A，当时，，则其值域为，满足定义域与值域的范围相同，因而满足“完美区间”定义，所以A正确；
对于B，因为函数，所以其值域为，而，所以不存在定义域与值域范围相同情况，所以B错误；
对于C，由定义域为，可知，
当时，，此时，所以在内单调递减，
则满足，化简可得，
即，所以或，
解得（舍）或，
由解得或（舍），
所以，经检验满足原方程组，所以此时完美区间为，则“复区间长度”为；
当时，①若，则，此时.当在的值域为，则，因为 ，所以，即满足，解得，（舍）.所以此时完美区间为，则“复区间长度”为；
②若，则，，此时在内单调递增，若的值域为，则，则为方程的两个不等式实数根，
解得，， 所以，与矛盾，所以此时不存在完美区间.
综上可知，函数的“复区间长度”的和为，所以C正确，D错误；
故选：AC.
【点睛】本题考查了函数新定义综合应用，由函数单调性判断函数的值域，函数与方程的综合应用，分类讨论思想的综合应用，属于难题.
12. 已知函数，若直线与交于三个不同的点（其中），则的可能值为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】BC
【解析】
【分析】
根据导数的几何意义求出曲线在时切线的斜率，然后根据题意分别求出的取值范围，进而选出正确答案.
【详解】在时，，，设切点的坐标为：，，
因此有，所以切线方程为：，当该切线过原点时，
，所以切点的坐标为：，
因为直线与交于三个不同点，
所以有，
当切线与直线相交时，解方程组：，
因此有，于是有，
所以，显然选项BC符合，
故选：BC
【点睛】本题考查好已知两曲线交点的个数求参数的到值范围，考查了导数的几何意义，考查了数学运算能力.
第II卷（非选择题)
三、填空题
13. 方程的解是_____________.
【答案】
【解析】
【分析】
化简方程得到，设，解方程考虑对数函数定义域得到答案.
【详解】，即，
，即，
设，，，，即，则，
解得或（舍去），即，.
故答案为：.
【点睛】本题考查了解对数，指数方程，意在考查学生的计算能力和转化能力，忽略定义域是容易发生的错误.
14. 已知定义在上的奇函数，若，则实数的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】
先根据奇函数求出的值，然后分析 单调性并由函数值之间的关系转变为自变量之间的关系，最后求出的范围.
【详解】因为是定义在上的奇函数，所以，则；
又因为与在上递增，所以由可得： ，故，即.
【点睛】（1）奇函数在处有定义时，必定有；
（2）通过函数的单调性，可以将函数值之间的关系转为自变量之间的关系（注意定义域），从而完成对自变量范围的求解.
15. 当时，恒成立，求实数的取值范围是___________.
【答案】
【解析】
【分析】
变换得到，再利用均值不等式计算最值得到答案.
【详解】，则，，故，当时等号成立.
故，故.
故答案为：.
【点睛】本题考查了二次不等式恒成立问题，意在考查学生的计算能力和转化能力，参数分离结合均值不等式是解题的关键.
16. 给出下列结论：
①；②，y的值域是；
③函数的图像过定点；④若恒成立，则的取值范围是；
其中正确的序号是__________.
【答案】③
【解析】
【分析】
依次判断每个选项：计算知①错误；取得到②错误，带入数据计算知③正确，，④错误，得到答案.
【详解】，①错误；取，，②错误；
当时，，③正确；，则，④错误.
故答案为：③
【点睛】本题考查了指数幂的计算，二次函数值域，指数函数过定点问题，解对数不等式，意在考查学生对于函数知识的综合应用能力，忽略定义域是容易发生的错误.
四、解答题
17. 已知集合，.当时，求实数a的取值范围.
【答案】
【解析】
【分析】
先解一元二次不等式求得集合，对对应的一元二次不等式的解集分为空集和不是空集两种情况，结合二次函数零点分布以及子集的知识列不等式组，解不等式组求得的取值范围.
【详解】依题意可知
当时，，即，得.
当时，设，则.
综上所述，实数的取值范围是.
【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查一元二次不等式和对应二次函数的关系，考查二次函数零点分布问题，考查集合子集的概念和知识的运用，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.
18. 讨论函数(a>0)在的单调性并证明.
【答案】答案见解析
【解析】
【分析】
根据定义法证明函数单调性,即在函数的定义域内任取,且,可通过作差法比较和大小,即可得到单调性
【详解】在函数的定义域内任取,且
则
故

故在上是单调增函数.
【点睛】本题考查了用定义法证明函数单调性.在用定义法证明函数单调时要注意在所给定义内要任取两个自变量,化简表达式, 时单调递增, 时单调递减.
19. 求下列最值：
（1）当时，求函数的最大值；
（2）设求函数的最大值.
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）变换，再利用均值不等式计算得到答案.
（2）变换，再利用均值不等式计算得到答案.
【详解】（1），则，
，
当，即时等号成立.
（2），
当，即时等号成立.
【点睛】本题考查了利用均值不等式求最值，意在考查学生的转化能力，合理变形是解题的关键.
20. 已知定义域为的函数，是奇函数.
（1）求，的值；
（2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）先由求出，然后由求出
（2）由得在上为减函数，然后将不等式化为即可.
【详解】（1）因为是上的奇函数，
所以，即，解得.
从而有.又由知，解得.
经检验，当时，，满足题意
（2）由（1）知，
由上式易知在上为减函数，又因为是奇函数，从而不等式等价于.
因为是上的减函数，由上式推得.
即对一切有，从而，解得.
【点睛】本题主要考查的是利用函数的奇偶性和单调性解不等式，较为典型.
21. 已知函数.
（1）若 ，试求函数的最小值；
（2）对于任意的，不等式成立，试求a的取值范围.
【答案】（1）最小值为；（2）.
【解析】
【分析】
（1）由．利用基本不等式即可求得函数的最小值；
（2）由题意可得不等式成立”只要“在恒成立”．不妨设，则只要在[0，2]恒成立．结合二次函数的图象列出不等式解得即可．
【详解】解：（1）依题意得.
因为x>0，所以 .
当且仅当，即时，等号成立.
所以.
故当时，的最小值为 .
（2）因为，所以要使得“任意的，不等式成立”，只要“在上恒成立”.
不妨设，
则只要在上恒成立.
所以 即
解得.
所以a的取值范围是.
【点睛】本题主要考查了基本不等式的应用，以及恒成立问题等，考查学生的运算求解能力，属于中档题．
22. 若定义在R上的函数f(x)同时满足下列三个条件：①对任意实数均有成立；②；③当x>0时，都有f(x)>0成立.
（1）求f(0)，f(8)的值；
（2）求证：f(x)为R上的增函数；
（3）求解关于x的不等式.
【答案】（1），；（2）证明见解析；（3）
【解析】
【分析】
（1）分别取，带入计算得到答案.
（2）取，得到，得到证明.
（3）化简得到，再利用函数单调性解得答案.
【详解】（1）取，则，；取，则.
（2）取，
则，
，故，即，函数单调递增.
（3），即，
即，函数单调递增，故，解得.
故解集为.
【点睛】本题考查了求函数值，证明抽象函数单调性，利用函数单调性解不等式，意在考查学生对于函数性质的综合应用能力.