四川省内江市第六中学2021届高三上学期第三次月考数学（文）试题 PDF版含答案

内江市第六中学第三次月考（文科）

1．若，则的虚部是

A．3      B．       C．     D．

1．B【解析】因为，所以的虚部是.故选B．

2．已知集合,，则

A．        B．      

C．        D．

2．D 【解析】因为,,所以,,故选D．

3.已知，且，则（  ）

A. B. C.-2 D.2

3.B  【解析】由，得，

即，又，所以，

从而，即.故选B.

4．已知等比数列中，是其前项和，且，则

A．   B． C．     D．

4．B 【解析】设等比数列的公比为，则由，得，即，即，所以，则，故选B．

5．在中，已知，，若以为基底，则可表示为

A． B． C． D．

5．B 【解析】由，得D为BC的中点，由，得，所以 ，故选B．

6.某中学高三文科班从甲、乙两个班各选出7名学生参加文史知识竞赛，他们取得的成绩的茎叶图如图，其中甲班学生成绩的平均分是85，乙班学生成绩的中位数是83，则的值为

A. 9 B. 7 C. 8 D. 6

C

7.若曲线与曲线在它们的公共点处具有公共切线，则实数的值为

A.       B.       C.       D.

A

8．函数的大致图象为

8．A 【解析】因为，所以函数是偶函数，排除B、D，

又，排除C，故选A．

9．已知双曲线的右顶点为，为坐标原点，为的中点，若的渐近线与以为直径的圆相切，则双曲线的离心率等于

A． B． C． D．

9．A 【解析】由题意，双曲线的右顶点为，渐近线方程为，即．由为的中点，可知．故以为直径的圆的圆心坐标为，半径．由题意知双曲线的渐近线与圆相切，所以圆心到渐近线的距离等于圆的半径，即，整理得，即，，解得，所以．故选A．

10.如图，在正四棱锥S－ABCD中，E，M，N分别是BC，CD，SC的中点，动点P在线段MN上运动时，下列四个结论：①EP⊥AC；②EP∥BD；③EP∥平面SBD；④EP⊥平面SAC，其中恒成立的为(             )

A．①③    B．③④    C．①②    D．②③④

【答案】A

【解析】在①中：由题意得 AC⊥平面SBD，从而平面EMN∥平面SBD，由此得到AC⊥EP；在②中：由异面直线的定义可知：EP与BD是异面直线；在③中：由平面EMN∥平面SBD，从而得到EP∥平面SBD；在④中：由已知得EM⊥平面SAC，从而得到EP与平面SAC不垂直．

【详解】如图所示，连接AC、BD相交于点O，连接EM，EN．

在①中：由正四棱锥S﹣ABCD，可得SO⊥底面ABCD，AC⊥BD，∴SO⊥AC．

∵SO∩BD＝O，∴AC⊥平面SBD，∵E，M，N分别是BC，CD，SC的中点，

∴EM∥BD，MN∥SD，而EM∩MN＝M，∴平面EMN∥平面SBD，

∴AC⊥平面EMN，∴AC⊥EP．故正确．

在②中：由异面直线的定义可知：EP与BD是异面直线，不可能EP∥BD，因此不正确；

在③中：由①可知平面EMN∥平面SBD，∴EP∥平面SBD，因此正确．

在④中：由①同理可得：EM⊥平面SAC，

若EP⊥平面SAC，则EP∥EM，与EP∩EM＝E相矛盾，

因此当P与M不重合时，EP与平面SAC不垂直．即不正确．

∴恒成立的结论是：①③．

故选：A．

【点睛】本题考查了命题的真假判断与应用，考查空间线面、面面的位置关系判定，考查空间想象能力和思维能力，属于中档题．

11．将函数的图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象.对于下列四种说法，正确的是

①函数的图象关于点成中心对称;         

②函数在上有8个极值点

③函数在区间上的最大值为，最小值为

④函数在区间上单调递增

A．①②          B．②③          C．②③④    D．①③④

11．B 【解析】，将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到的图象.对于①，，故函数的图象不关于点成中心对称，所以①错误；对于②，由得，结合函数图象可得在上有8个极值点，所以②正确；对于③，由，得，则，所以的最大值为，最小值为，所以③正确；对于④，当时，，故函数在区间上不单调， 所以④错误.故选B．

12.已知定义在上的函数满足：函数的图象关于直线对称，且当时，（是函数的导函数）成立．若，，，则，，的大小关系是（   ）

A．              B．              C．              D．

【答案】A

【解析】易知关于轴对称,设,当时,,

在上为递减函数,且为奇函数,在上是递减函数.

,即,故选A.

13．已知函数，则     ．

14．已知实数满足约束条件，则的最小值为______．

14．-3

15.函数f (x)＝4cos2cos－2sinx－|ln(x＋1)|的零点个数为________。

15. 【解析】f (x)＝4cos2sinx－2sinx－|ln(x＋1)|＝2sinx·－|ln(x＋1)|＝sin2x－|ln(x＋1)|，令f (x)＝0，得sin2x＝|ln(x＋1)|。在同一坐标系中作出两个函数y＝sin2x与函数y＝|ln(x＋1)|的大致图象如图所示。令ln(x＋1)＝1，则x＝e－1。观察图象可知，两函数图象有2个交点，故函数f (x)有2个零点。

16.已知一个四面体的每个顶点都在表面积为的球的表面上，且，，则         ．

17．（本小题满分12分）

在中，内角的对边分别为.已知.

（1）求的值；

（2）若，求的面积.

【答案】（1）   （2）

（2）由，得，

由余弦定理及，得，解得，从而．

又因为，且，所以．

因此.

18．（12分）

已知数列的前项和为，，且

（1）求数列的通项公式；

（2）若，数列的前项和为，求证：．

18．（12分）

【解析】（1）∵   ①

                        ②

①-②得：........................(3分）

∴数列是首项和公比都为的等比数列，

于是，．（6分）

（2）由（1）得，

∴，（9分）

∴．

又易知函数在上是增函数，且，而，所以．（12分）

19.已知函数f(x)＝x3－3ax2－9a2x＋a3.

(1)设a＝1，求函数f(x)的单调区间；

(2)若a>，且当x∈[1,4a]时，f(x)≥a3－12a恒成立，试确定a的取值范围．

考点　导数的综合应用

题点　导数的综合应用

解　(1)当a＝1时，f(x)＝x3－3x2－9x＋1，

则f′(x)＝3x2－6x－9，

由f′(x)＝0，得x＝－1或x＝3.

当x<－1时，f′(x)>0；当－1<x<3时，f′(x)<0；

当x>3时，f′(x)>0.

所以f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)，(3，＋∞)，

单调递减区间为(－1,3)．

(2)因为f′(x)＝3x2－6ax－9a2

＝3(x＋a)(x－3a)，a>，

所以当1≤x<3a时，f′(x)<0；

当3a<x≤4a时，f′(x)>0.

所以当x∈[1,4a]时，f(x)的最小值为f(3a)＝－26a3.

由f(x)≥a3－12a在[1,4a]上恒成立得

－26a3≥a3－12a，

解得a≤－或0≤a≤.

又a>，所以<a≤.

即a的取值范围为.

20．高中生在被问及“家，朋友聚集的地方，个人空间”三个场所中“感到最幸福的场所在哪里？”这个问题时，从中国某城市的高中生中，随机抽取了55人，从美国某城市的高中生中随机抽取了45人进行答题.中国高中生答题情况是：选择家的占、朋友聚集的地方占、个人空间占.美国高中生答题情况是：朋友聚集的地方占、家占、个人空间占.如下表：

（1）请将列联表补充完整；试判断能否有的把握认为“恋家”与否与国别有关；

（2）从被调查的不“恋家”的美国学生中，用分层抽样的方法选出4人接受进一步调查，再从4人中随机抽取2人到中国交流学习，求2人中含有在“个人空间”感到幸福的学生的概率.

附：，其中.

【答案】（1）见解析（2）.

【解析】（1）由已知得

21.（本小题满分12分）

已知函数.

（1）已知在上单调递减 ，求的最大值。

（2）若，求证：.

21．（本小题满分12分）

【解析】（1），（1分）

在上，因为是减函数，所以恒成立，

即恒成立，只需.（3分）

令，，则，因为，所以.

所以在上是增函数，所以，

所以，解得.（4分）

所以实数的最大值为.（5分）

（2），.

令，则，

根据题意知，所以在上是增函数.（7分）

又因为，

当从正方向趋近于0时，趋近于，趋近于1，所以，

所以存在，使，

即，，（9分）

所以对任意，，即，所以在上是减函数；

对任意，，即，所以在上是增函数，

所以当时，取得最小值，最小值为.（10分）

由于，，

则

，当且仅当，即时取等号，

所以当时，．（12分）

22.[选修4-4：坐标系与参数方程]

在平面直角坐标系中，已知倾斜角为的直线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为（为参数），点的坐标为.

（1）当时，设直线与曲线交于，两点，求的值；

（2）若点在曲线上运动，点在线段上运动，且，求动点的轨迹方程.

23.[选修4-5：不等式选讲]

已知函数.

①在给出的平面直角坐标系中作出函数的图象，并解不等式；

②若不等式对任意的恒成立，求证：.

22.解：（1）曲线的普通方程为.

当时，直线的参数方程为（为参数），

代入曲线的普通方程，得.

由于，

故可设点对应的参数分别为，，则，

所以.

（2）设，，则由,得

，

即

消去，得，

此即为点的轨迹方程.

23.（1）解：，

其图像如下图所示

令，得或，

由的图像可知，不等式的解集为.

（2）证明：因为，所以.

因为，

又由，得，，

所以，即.