天津市第一中学2021届高三上学期摸底考（零月考）数学试题 Word版含答案

这是一份天津市第一中学2021届高三上学期摸底考（零月考）数学试题 Word版含答案，共10页。试卷主要包含了已知条件 p 等内容，欢迎下载使用。
天津一中 2020-2021-1 高三年级 数学学零月考试卷

本试卷分为第 I 卷（选择题）、第 II 卷（非选择题）两部分，共 100 分，考试用时
90 分钟。第 I 卷 1 页，第 II 卷 至 2 页。考生务必将答案涂写在规定的位置上，答在 试卷上的无效。

一．选择题

1．已知全集 U = {1, 2, 3, 4, 5} , A = {1, 2, 4} ， B = {2, 5} ，则 (CU A) È B = ( ) A． {3, 4, 5} B． {2, 3, 5} C． {5} D． {3}
x0

2.命题“存在 x0 Î R， 2
£ 0”的否定是 （ ）



A.不存在 x0 Î R,
2x0
>0 B.存在 x0 Î R,
2x0 ³ 0


C.对任意的 x Î R, 2x £ 0 D.对任意的 x Î R, 2x >0



3．已知条件 p : ( x 2 + 1)( x - 5) > 0 .条件 q :
x - 2
x 2 + 1

> 0 ，则 p 是 q 的 （ ）


A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

7 1 1 1

5
4.已知 a = log , b = ( ) 3 , c = log
3
3 2 4 1
，则 a, b, c 的大小关系为 ( )




A． a > b > c
B． b > a > c
C． b > c > a
D． c > a > b



1 = 2 -
1 (n ³ 2, n Î N * ) ，则数列

的第 项为

5.数列 {an } 满足 a1 = 2, a2 = 1 ， a a a
{an }
100


( )

A． 1
100




B． 1
50
n -1



C．
n n +1



1
2100




D． 1
250







uuur

6.在矩形 ABCD 中， AB =
uuur uuur uuur
3, AD = 2 ， P 为矩形内一点，且 | AP |= 1 ，若

AP = lAB + mAD (l,mÎ R ) ，则 3l+ 2m 的最大值为 ( )


A． 6
2
B． 2 C． 3
2
D． 6 + 3 2
4


ìx2 - x + 3, x £ 1,
ï x

7.已知函数 f (x) = í
ïx +
î
2 , x > 1.
x
设 a Î R ，若关于 x的不等式 f ( x) ³|
+ a | 在 R 上恒成
2

立，则 a的取值范围是 （ ）


A． [- 47 , 2]
16
B． [- 47 , 39 ]
16 16
C． [-2 3, 2]
D． [-2 3, 39 ]
16



二．填空题

8． i 是虚数单位，则 | 8 - i |= .
2 + i


9.在 ( x -
2 )5 的展开式中， x2 的系数是 .
x2


10. 为了解学生课外阅读的情况，随机统计了 n 名学生的课外阅读时
间，所得数据都在 [50,150] 中，其频率分布直方图如图所示，已知 在 [50,100) 中的频数为160 ，则 n 的值为 ．




11.现有 6 位机关干部被选调到 4 个贫困自然村进行精准扶贫，要求每位机关干部只能参 加一个自然村的扶贫工作，且每个自然村至少有 1 位机关干部扶贫，则不同的分配方案有
种．。



12.设甲、乙两位同学上学期间，每天 7 : 30 之前到校的概率均为 2 .假定甲、乙两位同学到
3
校情况互不影响，且任一位同学每天到校情况互相独立.用 X 表示甲同学上学期间的三天中
7 : 30 之前到校的天数，则随机变量 X 的数学期望为 ；设 M 为事件“上学期间的 三天中，甲同学在 7 : 30 之前到校的天数比乙同学在 7 : 30 之前到校的天数恰好多 1 ”，则事 件 M 发生的概率为 ．





ì x2 , x ³ t
13. 已知函数 f ( x) = í
î x, x < t
，若存在实数 a ，使得函数 y = f (x) - a 有两个零点，则 t 的

取值范围是 ．

三．解答题


14．在 DABC 中，角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c .已知
a = 2 2, b = 5, c =
13.


（1）求角 C 的大小；

（2）求 sin A 的值；


（3）求 sin(2 A +
p
) 的值.
4



















15. 如图，在底面是直角梯形的四棱锥 P - ABCD 中， AD / / BC ， ÐABC = 90o ， PA ^ 平
面 ABCD ， PA = AB = BC = 2, AD = 1 若 M 为 PC 的中点，

（1）求证： DM / / 平面 PAB ；

（2）求直线 MD 与平面 PBD 成角的正弦值大小；

（3）求二面角 P - BD - M 的余弦值大小.

16.已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn , 数列 {bn } 为等差数列， b1 = -1, bn > 0(n ³ 2) ，
b2 Sn + an = 2 且 3a2 = 2a3 + a1 .

（1）求 {an } ， {bn } 的通项公式；


（2）设 cn =
1
,Tn = b1c1 + b2c2 + L + bn cn ，求 Tn .
an

























17．已知函数 f ( x) = (ax 2 + x - 1)e x + f ¢(0) .

（1）求 f ¢(0) 的值；

（2）讨论函数 f ( x) 的单调性；

（3）若 g ( x) = e- x f ( x) + ln x, h( x) = e x ，过原点 (0, 0) 分别作曲线 y = g (x) 与 y = h(x) 的切线


l1 , l2 ，且 l1 , l2 关于 x 轴对称，求证： -
(e + 1)3
2e2

< a < -
e + 2 .
2

18．已知函数 f ( x) = ln x - ax + 1, g ( x) = x(e x - x) ，
（1）若直线 y = 2x 与函数 f ( x) 的图像相切，求实数 a 的值；
（2）若存在 x1 Î (0, +¥), x2 Î (-¥, +¥) ，使得 f ( x1 ) = g ( x2 ) = 0 ，且 x1 - x2 > 1, 求实数 a 的取 值范围；
（3）当 a = -1 时，求证： f ( x) £ g ( x) + x 2

参考答案：

1.B 2.D 3.A 4.D 5.B 6.B 7.A

8. 13

9.-10

10. 400

11. 1560

58

12. 2

243

13.t∈(0,1)∪(-∞,0)

14.


（1） cosC=
a 2 + b2 + c 2 8 + 25 - 13 2
= =


C = p
4
2ab
20 2 2


（2）sin A= a sin C
c
= 2 2 × 2 = 2 13 = 2

13

a < c
2 13 13

Q A为锐角
cosA= 3
13
sin 2 A = 2 sin A × cos A = 12
13
cos 2 A = 2 cos 2 A -1 = 5
13
p


sin(2 A + ) =
2 (sin 2 A + cos 2 A)

4 2
= 2 ´ 17 = 17 2
2 13 26

uuur
（1）MD =（0，-1，-1）
r
平面PBD的法向量为u = (2,1,1)

设直线D与平面PBD
或因为a


uur r
sina|cos=
ur r
2



=
3
2 ×

6

3

u
D × u
r r |=
| D | × | u |
r

(3)平面MBD的法向量为t = (2, +1, -1)
平面P - BD - M 所成角为b，且b 为锐角


r r
cos b =| cos < u × t >|=

uur
PB = (0, 2, -2)
uuur
PD = (1, 0, -2)
r r
r
u × t
r
| u | × | t |

= 4 = 2
6 3


ì y - z = 0
í
î x - 2z = 0
uuur
ì x = 2
í
ï
Þ ï y = 1
î z = 1

BD = (1, -2, 0)
uuur
MD = (0, -1, -1)


ìb2 Sn + an = 2 ①
当n ³ 2时 í + =

îb2 Sn -1
an -1 2 ②

由①-②可得：b2 × an + an - an -1 = 0

(b2 + 1) × an = an -1
(b2 > 0)

an = 1 = 1 = 1 = 1

an -1
1 + b2
b2 - (-1)
b2 - b1 d

\{an }GP, 且公比为q > 0
Q 3a2 = 2a3 + a1

3a q = 2a q 2 + a
(a ¹ 0)

1 1 1 1
2q2 - 3q + 1 = 0


ìq = 1

ï
ìq = 1

í 或 í 2

îd = 1（舍）
ïîd = 2


Q an
= ( 1 )n -1
2

bn = 2n - 3

(2)Cn
= 2n -1

b × C
= (2n - 3) × 2n -1

n n


bnCn


\Tn
= (n - 3 ) × 2n
2
= (n - 5 ) × 2n +1 + 5 (n Î N * )
2


（1）f / ( x) = (ax2 + 2ax + x)e x
f / (0) = 0
(2) f / ( x) = x × (ax + 2a +1)e x × x Î R

1°当a = 0时

f / ( x) = x × e x

x (-¥0) (0 + ¥)





2°当a = - 1 时

f / ( x)

f ( x)
f / ( x) = - 1 x 2e x £ 0

- +
¯ ­

f ( x) 在(-¥, +¥) ¯

2 2

3°当a < - 1 时
2
x (-¥, -2 1 ) (-2 - 1 , 0) (0, +¥)
a a

f / ( x)

f ( x)
- + -
¯ ­ ¯

4° 当 - 1 < a < 0时 x
2

(-¥, 0)
(0, -2 × 1 ) (-2 - 1 , +¥)
a R

f / ( x)

f ( x)
- + -
¯ ­ ¯


5°当a > 0时 x
(-¥, -2 - 1) (-2 - 1 , 0) (0, +¥)
a a

f / ( x)

f ( x)
+ - +
­ ¯ ­


2
(3) g ( x) = ax 2 + x -1 + ln x 过(0, 0)作h( x) = e x 切线l : y = ex Q l1与l2关于x轴对称
ì y = -ex
\ l1 : í
î g ( x) = ax 2 + x -1 + ln x
设切点P（x0 ,g (x0 )）

ì2ax
+1 + 1

= -e( x

> 0) ①

í
ï 0 x2 0

ïax2 + x
- 1+ ln x
= -a x0 ②

î 0 0 0

由①可知 : a =
1 - e +1由①②可知x

- 3 + 2 ln x

= -ex

2 x2 2x
0 0 0

0 0

(e + 1) x0 + 2 ln x0 - 3 = 0
t ( x0 ) = (e + 1) x0 + 2 ln x0 - 3
t ( x0 )在(0, +10) ­
t (1) = e + 1 - 3 > 0

t ( e
) = e - 3 + ln e < 0

e + 1 2
x Î ( e ,1)
0 e + 1
1 Î (1,1 + 1 )
e + 1

x0 e
a = - 1 ( 1 )2 - e +1 ( 1 )

2 x2
2 x0

在(1,1+ 1 ) ¯
e
-(e + 1)3




-e - 2

a Î ( , )
2e2 2


18.

（1）f / ( x) = 1 - a( x > 0)
x
设切点P（x0 2x0）

\ 切线方程为：y = ( 1 - a)x x0








0 + ln x0

ì 1
ï
í x0

- a = 2

ìa = -1
Þ í =

ïln x = 0
î x0 1

î 0


（2）g(x )=x
(ex2 - x ) = 0 (e x > x)


\ x2 = 0
2 2 2

欲想$x1 > 1, f (x1 ) = 0
只需 : ax1 = ln x1 +1
只需 : a = ln x1 +1
x1
h( x) = ln x + 1 ( x > 1)
x
h/ ( x) = - ln x < 0
x2
且h(1) = 1 lim h( x) = 0
只需：0 < a < 1