高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第三章 函数概念与性质3.1 函数的概念及其表示第三课时教学设计及反思

《函数的概念及其表示（第三课时）》

教学设计

1．了解函数常见的三种表示法：解析法、列表法和图象法；对比这三种表示法，了解它们各自的特点；能从不同角度全面理解“y＝f(x)”中f的意义．

2．理解分段函数的概念及表示，通过函数的不同表示法的转化和综合使用，加强数形结合观念，提升学生的直观想象素养．

3．通过对max{f(x)，g(x)}这种符号化表示的理解，提升学生的数学抽象素养．

教学重点：了解函数常见的三种表示法及其综合应用．

教学难点：理解分段函数的概念及表示．

PPT课件．

一、复习引入

问题1：你能说说函数有哪些表示法吗？它们各自的特点又是什么？

师生活动：学生结合初中学习经验以及第一课时4个问题一般能回答出三种表示法，但是对各自的特点可能感受不深，叙述不准确，老师借机给出新的例题，导入新课．

预设的答案：我们已经接触过的函数的三种表示法：解析法、列表法和图象法．

解析法，就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系，如3.1.1的问题1、2．

列表法，就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系，如3.1.1的问题4．

图象法，就是用图象表示两个变量之间的对应关系，如3.1.1的问题3．

设计意图：梳理已有知识经验，使学生感受学习函数表示法的必要性．

引语：解析法、列表法和图象法各有特点，而且有的函数只能采取某种表示法，本节课我们专门讨论函数的表示法．（板书：函数的表示法）

二、新知探究

1．感知对比，归纳概括

例1  某种笔记本的单价是5元，买x（x∈{1，2，3，4，5}）个笔记本需要y元．试用函数的三种表示法表示函数 y＝f(x)．

师生活动：学生独立完成本题，可能暴露的问题：定义域疏漏导致将离散的点连成直线，老师针对问题讲解并引导学生思考三种表示方法的特点．

预设的答案：

解：这个函数的定义域是数集{1，2，3，4，5}．

用解析法可将函数y＝f(x)表示为y＝5x，x∈{1，2，3，4，5}．

用列表法可将函数y＝f(x)表示为

用图象法可将函数y＝f(x)表示为图1．

追问1：你能说说这个函数与正比例函数y＝5x，x∈R的异同吗？（解析式相同，定义域、值域都不同，从图象上看，这个函数的图象是由5个离散的点构成的，正比例函数的图象是一条连续的直线．）

追问2：比较函数的三种表示法，它们各自的特点是什么？

（解析法有两个优点：一是简明、全面地概括了变量间的对应关系；二是可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值；图象法的优点是直观形象地表示随着自变量的变化，相应的函数值变化的趋势，有利于我们研究函数的某些性质；列表法的优点就是不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值．）

追问3：所有函数都能用解析法表示吗？列表法与图象法呢？请你举出实例加以说明．（不是所有的函数都能用这三种方法表示，有的函数只能采取某一种表示法．比如课本3.1.1的问题3中的函数只能用图象法表示，不能用解析法和列表法表示；再比如课本第75页给出的狄利克雷函数f(x)＝不能用图象法表示．）

设计意图：介绍了一个可以用三种方法表示的函数．通过这个例子，让学生体会三种表示方法各自的特点．

2．结合实例，理解分段函数的概念

例2  画出函数y＝|x|的图象．

师生活动：老师通过设问，引导学生将新问题转化为熟悉的旧问题，具体而言即将含绝对值的问题转化为不含绝对值的问题．学生在画图时可能忽略定义域，导致错误，教师要及时指出，并示范这道题的画图步骤，讲解分段函数的概念．

追问1：y＝|x|不属于之前学过的任何一类函数，你能将解析式变形，化为不含绝对值的形式吗？（根据绝对值的定义，分类讨论：当x＜0时，y＝|x|＝－x；当x≥0时，y＝|x|＝x．）

追问2：如何画y＝|x|的图象？（在同一直角坐标系中分别画出y＝－x，x＜0和y＝x，x≥0的图象，则y＝|x|的图象就是这两部分图象的组合．）

追问3：函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等．那么判断一个图形是不是函数图象的依据是什么？（任意与x轴垂直的直线与图象至多一个交点．）

预设的答案：

解：由绝对值的概念，我们有y＝

所以，函数y＝|x|的图象如图2所示．

教师点拨：像例2中y＝这样的函数称为分段函数．

分段函数的特点：在它的定义域中，对于自变量x的不同取值范围，对应关系不同．

追问4：你能举出生活中可以用分段函数描述的实际问题吗？（如出租车的计费、天然气的计费、银行的利率等．）

设计意图：前3个追问引导学生分析问题，培养学生通过将新问题转化为旧问题，进而分析问题、解决问题的能力．追问4以实例的方式帮助学生理解分段函数的概念与表示．

例3  给定函数f(x)＝x＋1，g(x)＝(x＋1)2，x∈R，

（1）在同一直角坐标系中画出函数f(x)，g(x)的图象；

（2）∀x∈R，用M(x)表示f(x)，g(x)中的较大者，记为M(x)＝max{f(x)，g(x)}．

例如，当x＝2时，M(2)＝max{f(2)，g(2)}＝max{3，9}＝9．

请分别用图象法和解析法表示函数M(x)．

师生活动：第（1）问学生独立完成．第（2）问比较抽象，在完成第（1）问之后，老师通过问题引导学生完成．

追问1：如图3，你能说说f(x)＞g(x)对应图象上的什么特征吗？（当自变量x的取值相同时，函数f(x)对应的点比函数g(x)对应的点高．）

追问2：你能从图象上观察并回答M(x)的取值情况吗？（当x＜－1时，g(x)＝(x＋1)2的图象位于f(x)＝x＋1的上方，g(x)＝(x＋1)2为较大者，此时M(x)＝(x＋1)2；当－1＜x＜0时，f(x)＝x＋1的图象位于g(x)＝(x＋1)2的上方，f(x)＝x＋1为较大者，此时M(x)＝x＋1；当x＞0时，g(x)＝(x＋1)2的图象位于f(x)＝x＋1的上方，g(x)＝(x＋1)2为较大者，此时M(x)＝(x＋1)2；当x＝－1或x＝0时，g(x)＝(x＋1)2的图象与f(x)＝x＋1相交，f(x)与g(x)相等，M(x)＝f(x)＝g(x)．）

追问3：你能用代数方法求出M(x)的表达式吗？（令f(x)＞g(x)，即x＋1＞(x＋1)2，解得：－1＜x＜0；令g(x)＞f(x)，即(x＋1)2＞x＋1，解得：x＜－1或x＞0；令f(x)＝g(x)，即x＋1＝(x＋1)2，解得：x＝－1或x＝0．综上可得：M(x)＝）

预设的答案：

解：（1）在同一直角坐标系中画出函数f(x)，g(x)的图象（图3）．

（2）由图3中函数取值的情况，结合函数M(x)的定义，可得函数M(x)的图象（图4）．

由(x＋1)2＝x＋1，得x(x＋1)＝0．

解得x＝－1，或x＝0．

结合图4，得出函数M(x)的解析式为M(x)＝

教师点拨：在例2中，我们的分析过程是从数到形，例3则是从形到数，这两个例子充分说明，函数的不同表示方法之间可以相互转化，我们可以根据题目要求选取恰当的表达方式解决问题．

设计意图：加深学生对分段函数的理解，提升学生的直观想象能力和抽象思维能力．

三、归纳小结，布置作业

问题2：请同学们回顾本节课的内容，回答下列问题：

（1）函数常用的表示法有哪些？它们各自的特点是什么？

（2）结合本节课的学习，你对如何学习函数又有什么体会？

师生活动：学生先独立思考，再由学生代表回答，其他学生依次补充，老师最后总结．

预设的答案：（1）解析法、表格法和图象法，其中解析式是精确的、图象是直观的、表格是直接的；（2）解析式、表格、图象是对应关系f的不同的表现形式，但实质相同，为了更好地分析和解决问题，有时需要进行不同表示法的转化和综合使用．

设计意图：引导学生构建知识体系，全面理解函数的内涵．

作业布置：教科书习题3.1第6，7，10，11，13，18题．

四、目标检测设计

1．如图5，把直截面半径为25 cm的圆形木头锯成矩形木料，如果矩形的一边长为x（单位：cm），面积为y（单位：cm2），把y表示为x的函数．

设计意图：考查函数的解析法，强化定义域的重要性．

2．画出函数y＝|x－2|的图象．

设计意图：考查对分段函数的理解．

3．给定函数f(x)＝－x＋1，g(x)＝(x－1)2，x∈R，

（1）在同一直角坐标系中画出函数f(x)，g(x)的图象；

（2）∀x∈R，用m(x)表示f(x)，g(x)中的较小者，记为m(x)＝min{f(x)，g(x)}，请分别用图象法和解析法表示函数m(x)．

设计意图：考查对抽象符号的理解和对分段函数的理解．

参考答案：

1．y＝x，x∈(0，50)．

2．图象如图6．

3．（1）f(x)，g(x)的图象如图7；

（2）由图7得出函数m(x)的图象8，由图8得到函数m(x)的解析式为

m(x)＝