高中第三章 函数概念与性质3.1 函数的概念及其表示第四课时教学设计及反思

《函数的概念及其表示（第四课时）》

教学设计

1．了解分段函数是一种应用广泛的函数模型，能用分段函数正确表示一些相关的函数问题，提升数学抽象素养．

2．在解决实际问题时，能确定其中的函数关系并能选择恰当的方法将其表示，提升数学建模素养．

3．能借助函数分析问题解决问题，体会函数的意义．

教学重点：确定实际问题中函数关系并选择恰当的方法将其表示．

教学难点：用适当的方法表示问题中的函数关系．

PPT课件．

一、复习引入

问题1：函数的各种表示法各有什么优点？

师生活动：学生简述，老师总结并提出新要求．

预设的答案：解析法的优点是精确、全面，图象法的优点是直观，表格法的优点是直接．

设计意图：通过复习做好新旧知识衔接．

引语：解析法、表格法和图象法各有千秋，所以如何选取恰当的方法就至关重要．（板书：函数的表示法）

二、新知探究

1．分析实际问题，用数学的语言表达世界，感受函数的意义

例1  表1是某校高一（1）班三名同学在高一学年度六次数学测试的成绩及班级平均分表．

请你对这三位同学在高一学年的数学学习情况做一个分析．

师生活动：学生可以用自然语言评价这三个人的成绩，老师需要引导学生发现其中的函数要素，从数学视角去分析问题．

追问1：表1中是否包含了函数关系？若是，请你指出其中的函数关系；若否，请你说明理由．（包含了四组函数关系，它们分别是三名学生的考试成绩及班级平均分与“测试序号”之间的函数关系．）

追问2：虽然从表1中可以读取出每位同学在每次测试中的成绩，但不太容易分析每位同学的成绩变化情况，你能否用别的方式表示这些数据？（图象法能比较直观地体现变量间的关系，因此可以借助图象表示表格中的信息．）

追问3：请大家观察图象，如何从图象上获取有用信息，为分析每位同学的学习情况提供依据？（横向对比与纵向对比结合，将每位同学在每次测试中的成绩与班级平均分做对比，同时观察每位同学成绩曲线的变化趋势．）

预设的答案：

解：如果将每位同学的“成绩”与“测试序号”之间的函数关系分别用图象（均为6个离散的点）表示出来，如图1，那么就能直观地看到每位同学成绩变化的情况．

从图1可以看到，王伟同学的数学学习成绩始终高于班级平均水平，学习情况比较稳定而且成绩优秀．张城同学的数学学习成绩不稳定，总是在班级平均水平上下波动，而且波动幅度较大．赵磊同学的数学学习成绩低于班级平均水平，但表示他成绩变化的图象呈上升趋势，表明他的数学成绩在稳步提高．

教师点拨：图中的虚线不是函数图象的组成部分，之所以用虚线连接同一个函数的散点图，主要是为了让三个函数的图象具有整体性，这样方便比较．将表格转化为图象是整理信息的一种非常重要的方式，借助图象我们可以更好地解读信息．

设计意图：通过具体例题，让学生看到与表格法相比，用图象法可以直观地看到三名同学成绩变化的情况，加深理解并巩固函数表示法特征．

例2  依法纳税是每个公民应尽的义务，个人取得的所得应依照 《中华人民共和国个人所得税法》向国家缴纳个人所得税 （简称个税）．2019年1月1日起，个税税额根据应纳税所得额、税率和速算扣除数确定，计算公式为

个税税额＝应纳税所得额×税率－速算扣除数．①

应纳税所得额的计算公式为

应纳税所得额＝综合所得收入额－基本减除费用－专项扣除

－专项附加扣除－依法确定的其他扣除．②

其中，“基本减除费用”（免征额）为每年60000元．税率与速算扣除数见表2．

备注：“综合所得”包括工资、薪金，劳务报酬，稿酬，特许权使用费；“专项扣除”包括居民个人按照国家规定的范围和标准缴纳的基本养老保险、基本医疗保险、失业保险等社会保险费和住房公积金等；“专项附加扣除”包括子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等支出；“其他扣除”是指除上述基本减除费用、 专项扣除、专项附加扣除之外，由国务院决定以扣除方式减少纳税的优惠政策规定的费用．

（1）设全年应纳税所得额为t，应缴纳个税税额为y，求y＝f(t)，并画出图象；

（2）小王全年综合所得收入额为189600元，假定缴纳的基本养老保险、基本医疗保险、失业保险等社会保险费和住房公积金占综合所得收入额的比例分别是8％，2％，1％，9％，专项附加扣除是52800元，依法确定的其他扣除是4560元，那么他全年应缴纳多少综合所得个税？

师生活动：求解析式时，关键在于引导学生将文字、图表信息都转化为符号语言，面对大段的文字阅读，要引导学生将任务拆解，先将表格“翻译”为代数表达式，从而更容易地识别分段函数，然后再规范书写；画函数图象时，涉及的点的坐标数值很大，老师可以先示范前三段的处理方式，然后在学案上留下后几段让学生完成．

追问1：由表2可知，不同的级数下纳税规则是不一样的，即应缴纳个税税额y与全年应纳税所得额t的关系不同，依据①式你能分别写出它们的关系式吗？

（依据①式及表2可得：

当0≤t≤36000时，y＝0.03t，

当36000＜t≤144000时，y＝0.1t－2520，

当144000＜t≤300000时，y＝0.2t－16920，

当300000＜t≤420000时，y＝0.25t－31920，

当420000＜t≤660000时，y＝0.3t－52920，

当660000＜t≤960000时，y＝0.35t－85920，

当t＞960000时，y＝0.45t－181920．）

追问2：上述结果是不是意味着本题涉及了7个函数？（不是，本题只涉及一个函数，但是该函数在自变量的不同取值范围内对应关系不同，所以是分段函数．）

追问3：当已知全年综合所得收入时，如何计算应缴纳的个税额？（第一步，根据②计算出应纳税所得额t；第二步，将t的值代入③，此时注意根据t的取值，正确选择将之代入函数的哪一段中．）

预设的答案：

解：（1）根据表2，可得函数y＝f(t)的解析式为

y＝③

函数图象如图2所示．

（2）根据②，小王全年应纳税所得额为

t＝189600－60000－189600(8%＋2%＋1%＋9%)－52800－4560

 ＝0.8×189600－117360

 ＝34320．

将t的值代入③，得y＝0.03×34320＝1029.6．

所以，小王应缴纳的综合所得个税税额为1029.6元．

追问4：你能说说如何求这个函数的定义域和值域吗？（从图象上观察可得定义域、值域均为[0，+∞)；从代数角度分析，因为分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集．）

此处为图片资源

设计意图：4个追问是按照教学中学生思考问题的进程自然提出的，其功能分两类．追问1和3引导学生将复杂问题拆分成一些简单问题，其中还注重让学生将文字图表语言转化为符号语言，进而培养学生分析问题、解决问题的能力．追问1和4是进一步帮助学生理解分段函数的概念．

三、归纳小结，布置作业

问题2：至此，3.1节的内容我们全部学习完毕，请大家再次浏览课本60页到72页的内容，总结这一小节的知识．你能画一个知识结构图梳理一下吗？

师生活动：学生先独立思考，自己绘制，之后展示交流，补充完善．

预设的答案：如图3．

设计意图：引导学生构建知识体系，提升学生的数学抽象素养．

作业布置：教科书习题3.1第8，9，12，14题．

四、目标检测设计

1．请你选择与下面的三件事匹配的图象，并为剩下的那个图象写出一件事．

（1）我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是返回家里找到了作业本再上学；

（2）我骑着车离开家后一路匀速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间；

（3）我从家出发后，心情轻松，一路缓缓加速行进．

设计意图：训练学生的读图能力，加深对函数意义的理解．

2．某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定：

（1）5 km以内（含5 km），票价2元；

（2）5 km以上，每增加5 km，票价增加1元（不足5 km的按5 km计算）．

如果某条路线的总里程为20 km，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象．

设计意图：考查对分段函数的应用．

参考答案：

1．（1）题与D图，（2）题与A图，（3）题与B图吻合得最好．剩下与C图相符得一件事可能为：我离家出发后感到时间充裕，于是放慢了速度行进．

2．设票价为y元，里程为x km，由题意可知，自变量x的取值范围是(0，20]．函数解析式为y＝据此可画出其函数图象．