人教A版 (2019)必修 第一册5.7 三角函数的应用第二课时教案设计

《三角函数的应用（第二课时）》教学设计

1．通过分析和解决现实生活中的实际问题，使学生经历利用三角函数近似刻画实际问题的过程，了解利用数学知识解决实际问题的一般思路，提高数形结合能力．

2．通过例题分析和练习巩固，促进学生养成运用几何直观思考问题的习惯，发展学生的直观想象核心素养．

教学重点：通过实例，使学生经历完整的数学建模过程．

教学难点：将实际问题转化为数学问题．

视频、Geogebra软件、PPT课件．

资源引用：【数学探究】画函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象

【情景演示】潮汐运动

（一）整体感知

引导语：匀速圆周运动、简谐运动和交变电流都是理想化的运动变化现象，可以用三角函数模型准确的描述它们的运动变化．在现实生活中也有大量运动变化现象，仅在一定范围内呈现出近似于周期变化特点，这些现象也可以借助三角函数近似的描述．

（二）新知探究

例1  如图1，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数．

（1）求这一天6～14时的最大温差；

（2）写出这段曲线的函数解析式．

问题1：如何根据温度变化曲线得到这一天6～14时的最大温差？

预设的师生活动：学生回答．

预设答案：曲线在自变量为6～14时，图形中的最高点的纵坐标减去最低点的纵坐标就是这一天6～14时的最大温差，观察图形得出这段时间的最大温差为20℃．

设计意图：通过问答形式得到（1）的解答．

问题2：如何求温度随时间的变化满足的函数关系“”中A，ω，，b的值？

★资源名称：【数学探究】画函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象

★使用说明：本资源为“画函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象”知识探究，通过交互式动画的方式，运用了本资源，可以吸引学生的学习兴趣，增加教学效果，提高教学效率．适合教师课堂进行演示讲解．

注：此图片为“动画”缩略图，如需使用资源，请于资源库调用．

预设的师生活动：学生回答，教师补充，之后学生板演解答过程，教师强调要注意自变量的变化范围．

预设答案：A为最大值减去最小值的差的一半，ω可以利用半周期为14-6=8建立方程得解，可以利用特殊值求得．所求解析式为

设计意图：启发学生利用待定系数法解决（2）．

例2  海水受日月的引力，在一定时候发生涨落的现象叫潮．一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐．在通常的情况下，船在涨潮时驶进巷道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋．表1是某港口某天的时刻与水深关系的预报．

（1）选用一个函数来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系，给出整点时的水深的近似值（精确到0.001 m）．

（2）一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4 m，安全条例规定至少要有1.5 m的安全间隙（船底与海底的距离），该船何时能进入港口？在港口能呆多久？

（3）若船的吃水深度为4 m，安全间隙为1.5 m，该船在两点开始卸货，吃水深度以0.3 m/h的速度减少，那么该船在什么时间必修停止卸货，将船驶向较深的水域？

★资源名称：【情景演示】潮汐运动

★使用说明：本资源通过生活中有关海水潮汐运动的展示，激发学生学习的兴趣．也体现数学来源于生活，又服务于生活．适合教师课堂展示播放．

注：此图片为“情景视频”缩略图，如需使用资源，请于资源库调用．

问题3：观察表1中的数据，你发现了什么规律？根据数据做出散点图，观察图形，你可以用怎样的函数模型来刻画其中的规律？请试着完成（1）的解答．

预设的师生活动：教师提出问题，学生观察数据，发现规律．教师引导学生作散点图，根据散点图特点，选择函数模型，学生根据散点图及有关数据，求出这个函数模型的解析式．得出解析式之后，教师让学生根据解析式填写整点时的水深，完成（1）的解答．

预设答案：观察表格中数据可以看出，水深的变化具有周期性，根据表中数据画出散点图如图2．

从散点图的形状可以判断，这个港口的水深y与时间x的关系可以用形如的函数来刻画，从数据和图形可以得出：A=2.5，h=5，T=12.4，φ=0；

由，得ω=．

所以各港口的水深与时间的关系可用函数y=2.5sinx+5近似描述．

将整点对应的自变量代入解析式求出相应的水深，得到表2完成（1）的解答．

设计意图：从所给数据中发现周期性变化规律，引导学生根据散点图特点选择函数模型，并求出函数解析式，并得到（1）的解答．

问题4：（2）中，货船需要的安全深度是多少？从函数的解析式来看，满足怎样的条件时，该船能够进入港口？从图象上看呢？

预设的师生活动：学生回答，教师补充．

预设答案：货船需要的安全水深为4+1.5=5.5 m．从函数的解析式来看，满足y≥5.5，即2.5sinx+5≥5.5，该船能够进入港口；从图象上看，就是函数y=2.5sinx+5的图象在直线y=5.5上方时，该船能够进入港口．

利用信息技术绘出两个函数的图象如图3．

求得交点的横坐标分别为：

xA≈0.3975，xB≈5.8025，xC≈12.7975，xD≈18.2025．

问题5：可以将A，B，C，D点的横坐标作为进出港时间吗？为什么？

预设的师生活动：教师请学生们自由回答，答案不唯一．

预设答案：事实上为了安全，进港时间要比算出的时间推后一些，出港时间要比算出的时间提前一些，这样才能保证货船始终在安全水域．

因此，货船可以在零时30分左右进港，早晨5时45分左右出港；或在下午13时左右进港，下午18时左右出港．每次可以在港口停留5小时左右．

设计意图：启发学生数形结合得到（2）的解答．

问题6：（3）中，设在x h时货船的安全水深为y m，y与时间x满足怎样的函数关系？从解析式来看，满足怎样的条件时，该船必须停止卸货？从图象上看呢？

预设的师生活动：学生回答，教师补充．

预设答案：设在x h时货船的安全水深为y m，那么y=5.5-0.3(x-2)(x≥2)．

从函数的解析式来看，满足y≥5.5-0.3(x-2)，即2.5sinx+5≥5.5-0.3(x-2)时，该船能够进入港口；从图象上看，就是函数y=2.5sinx+5的图象在直线y=5.5-0.3(x-2)上方时，该船能够进入港口．

利用信息技术绘出两个函数的图象如图4．

可以看到在6～8时之间两个函数只有一个交点P，求得P点的横坐标为

问题7：在船的安全水深正好等于港口水深时停止卸货可以吗？

预设的师生活动：教师请学生们自由回答，答案不唯一．

预设答案：为了安全，船停止卸货驶向安全水域的时间要比算出的时间提前一些．

因此为了安全，货船最好在6.6时停止卸货，将船驶向较深的水域．

设计意图：让学生感受利用数学模型得到的答案要根据实际情况进行检验和调整。

问题8：通过本题的研究，你能概括出建立三角函数模型解决实际问题的基本步骤和需要注意的问题吗？

预设的师生活动：教师引导学生经过讨论交流之后回答问题．

预设答案：建立三角函数模型解决实际问题的基本步骤：①搜集数据，做出散点图；②观察散点图并进行函数拟合，获得具体的函数模型；③利用这个函数模型解决相应的实际问题。需要注意的是，从数学模型中得到的答案还要根据实际情况检验它是否可行．

设计意图：总结提炼，让学生根据具体问题的解答过程抽象出解决这一类问题的基本步骤和方法．

巩固练习

练习1：图5为一向右传播的绳波在某一时刻绳子各店的位置图，经过周期后，乙点的位置将移至何处？

预设的师生活动：学生自主解答，教师请学生展示答案．

预设答案：乙点的位置将移至它关于x轴的对称点处．

练习2：从出生之日起，人的情绪、体力、智力等状况就呈周期性变化，根据心理学统计，人体节律分为体力节律，情绪节律，智力节律三种，这些节律的时间周期分别为23天，28天，33天。每个节律周期又分为高潮期，临界日，低潮期三个阶段．节律周期的半数为临界日，临界日的前半期为高潮期，后半期为低潮期．生日前一天是起始位置（平衡位置），请根据自己的出生日期，绘制自己的体力，情绪，智力曲线，并预测本学期期末考试期间，你在体力，情绪，智力方面会有怎样的表现，需要注意哪些问题？

预设的师生活动：学生利用信息技术画出三个生物节律曲线，然后计算出从自己的出生日到本学期期末考试的天数，以此为自变量找到相应区间段的节律曲线图，根据图象分析预测本学期期末考试会有怎样的体力，情绪，智力方面的表现，在全班进行展示交流．

预设答案：由题可知，三个节律曲线的函数模型为“y=Asin ωt”的形式，为了研究的方便，我们可以统一设A=10，由节律的时间周期分别为23天，28天，33天可得相应解析式中的ω值分别为，，．以出生日为自变量1，计算从出生日到本学期期末考试三天的天数得到三个自变量，观察相应变量区间的三个节律曲线的函数图象进行分析．

设计意图：让学生在课堂上以自己为对象来运用所学数学知识进行研究，激发探究热情，提高学习数学的兴趣．

（三）归纳小结

问题9：生活中哪类问题可以利用三角函数模型解决？利用三角函数解决实际问题的一般步骤是怎样的？你能够将本节课所学内容画出一个知识结构图吗？其中涉及到哪些数学思想？通过本节课的学习，你还有哪些收获？

预设的师生活动：教师让学生畅所欲言，充分表达自己在这节课的收获和体会．引导学生从数学知识、思想方法、核心素养等各个方面全面进行总结．

预设答案：知识结构图如下：

设计意图：在回顾本节课所经历的学习过程，总结所学知识和思想方法的基础上谈收获，进一步使学生的学习体验得到升华．

（四）布置作业

教科书习题5.7第3，4题．

（五）目标检测设计

某“海之旅”表演队在一海滨区域进行集训，该海滨区域的海浪高度y（m）随着时间t（0≤t≤24，单位：h）周期性变化．为了了解其变化规律，该队观察若干天后，得到每天各时刻t的浪高数据的平均值如下表：

（1）试画出散点图；

（2）观察散点图，从y=at+b，y=Asin(ωt+φ)+b，y=Acos(ωt+φ)+b中选择一个合适的函数模型，并求出该拟合模型的解析式；

（3）如果确定当浪高不低于0.8 m 时才进行训练，试安排合适的训练时间段．

预设答案：（1）散点图如图所示：

（2）由散点图可知，选择 y=Asin(ωt+φ)+b函数模型较为合适．

由图可知，

把t=0代入，得

（3）由  得

即，得

故在11 h～19 h进行训练较为合适．

设计意图：考查学生利用三角函数模型来解决实际问题．