高中数学5.4 三角函数的图象与性质教学设计及反思

《三角函数的图象与性质习题》教学设计

1．通过习题训练，加深理解和掌握三角函数的图象与性质．

2．通过对三角函数的图象与性质的应用，不断地提高学生分析问题、解决问题的能力，发展逻辑推理、直观想象、数学运算等核心素养．

教学重点：三角函数的图象与性质的应用．

教学难点：三角函数的图象与性质的应用．

PPT课件．

（一）新知探究

引导语：前面我们研究了三角函数的图象与性质，接下来我们研究三角函数的综合应用．

例1　定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是π，且当x∈[0，]时，f(x)＝sin x，求f()的值．

预设的师生活动：学生独立思考，并叫个别学生回答下列的问题．

追问：如何利用已知条件来求函数值？

预设答案：利用周期性与奇偶性将化到[0，]内再求值．

解：∵f(x)的最小正周期为π，∴f()＝f(＋π)＝f()＝f(π－)＝f(－)．

又f(x)是偶函数．

∴f(－)＝f()＝sin ＝．

设计意图：通过此题，应让学生掌握以下两点：第一，解答此类题目的关键是利用化归的思想，借助于周期函数的定义把待求问题转化到已知区间上，代入求解即可；第二，如果一个函数是周期函数，若要研究该函数的有关性质，结合周期函数的定义可知，完全可以只研究该函数在一个周期上的特征，加以推广便可以得到该函数在其它义域内的有关性质．

例2　定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是π，且当x∈[0，]时，f(x)＝sin x．

（1）求当x∈[－π，0]时，f(x)的解析式；

（2）画出函数f(x)在[－π，π]上的简图；

（3）求当f(x)≥时x的取值范围．

预设的师生活动：学生独立思考，并叫个别学生回答下列的问题．

解：（1）∵f(x)是偶函数，∴f(－x)＝f(x)．

∵当x∈[0，]时，f(x)＝sin x，

∴当x∈[－，0]时，f(x)＝f(－x)＝sin(－x)＝－sin x．

又∵当x∈[－π，－]时，x＋π∈[0，]，f(x)的周期为π，

∴f(x)＝f(π＋x)＝sin(π＋x)＝－sin x．

∴当x∈[－π，0]时，f(x)＝－sin x．

（2）如右图．

（3）∵在[0，π]内，当f(x)＝时，x＝或，

∴在[0，π]内，f(x)≥时，x∈[，]．

又∵f(x)的周期为π，

∴当f(x)≥时，x∈[kπ＋，kπ＋]，k∈Z．

设计意图：此题是一道涉及性质、图象以及利用图象解三角不等式等综合性的问题，通过此题，学会合理地利用三角函数的性质求解析式，并准确地画出函数图象，能依据图象写出不等式的解集，在此过程中，熟悉三角函数的图象与性质，逐步积累解题经验，提升学习数学的能力．

例3　求下列函数的值域：

（1）y＝3－2cos 2x，x∈R；

（2）y＝cos2x＋2sin x－2，x∈R．

预设的师生活动：学生思考后，小组讨论并给出解题思路，若需要，教师可以进行诱导启发，然后学生回答．

追问1：对于第一小题，如何借助于余弦函数的值域来求？

预设答案：将2x看成一个整体，利用余弦函数的值域求得．

追问2：对于第二小题，能不能通过恒等变换将函数表达式转化为正弦型（或余弦型）函数？

预设答案：不能．

追问3：如何求该函数的值域？

预设答案：把sin x看成一个整体，利用换元法转化为求二次函数的值域．

解：（1）∵－1≤cos 2x≤1，∴－2≤－2cos 2x≤2．

∴1≤3－2cos 2x≤5，即1≤y≤5．

∴函数y＝3－2cos 2x，x∈R的值域为[1，5]．

（2）y＝cos2x＋2sin x－2＝－sin2x＋2sin x－1＝－(sin x－1)2．

∵－1≤sin x≤1，∴函数y＝cos2x＋2sin x－2，x∈R的值域为[－4，0]．

设计意图：通过此题，让学生对两种常见三角函数值域的求解过程进行归纳总结，其中一种是正弦型（或余弦型）函数，另一种是三角函数与二次函数的复合函数．注意第（2）小题需要结合二次函数求值域（或最值）的方法进行解决．

例4　设函数f(x)＝cos(x＋)，则下列结论错误的是（　　）

A．f(x)的一个周期为－2π

B．y＝f(x)的图象关于直线x＝对称

C．f(x＋π)的一个零点为x＝

D．f(x)在(，π)单调递减

预设的师生活动：学生独立思考并回答问题．

预设答案：对于A项，因为f(x)＝cos(x＋)的周期为2kπ(k∈Z)，所以f(x)的一个周期为－2π，A正确．

对于B项，因为f(x)＝cos(x＋)图象的对称轴为直线x＝kπ－(k∈Z)，所以y＝f(x)的图象关于直线x＝对称，B项正确．

对于C项，f(x＋π)＝cos(x＋)．令x＋＝kπ＋(k∈Z)，得x＝kπ－π，当k＝1时，x＝，所以f(x＋π)的一个零点为x＝，C项正确．

对于D项，因为f(x)＝cos(x＋)的递减区间为[2kπ－，2kπ＋](k∈Z)，递增区间为[2kπ＋，2kπ＋](k∈Z)，所以(，)是减区间，[，π)是增区间，D项错误．

设计意图：本题涉及到三角函数的几个重要性质，其中包括周期性、单调性、对称性、零点等，具体要会根据所给解析式求出这些基本的性质，并且还要知道每一种解法的依据是什么，以此加深理解三角函数的性质．

（二）归纳小结

问题：通过本节的习题课，你觉得在应用三角函数的图象和性质时需要注意哪些问题？还有哪些收获？

预设的师生活动：小组先讨论、交流，然后选代表分享交流结果．

预设答案：（1）解决这类问题时，要以三角函数图象与性质为基础，因此首先一定要熟悉并理解三角函数的图象与性质；（2）要合理地运用三角函数的图象与性质；（3）在解决问题时，要重视数形结合、转化与化归等数学思想方法的应用．

设计意图：通过梳理小结，一方面使学生清楚解决问题的基础知识是三角函数的图象与性质；另一方面，在解决问题的过程中要综合应用思想方法，从而不断地提高学生分析问题、解决问题的能力．

（三）布置作业

1．若f(x)是以为周期的奇函数，且f()＝1，求f(－)的值．

2．已知f(x)是以π为周期的偶函数，且x∈[0，]时，f(x)＝1－sin x，求当x∈[π，3π]时f(x)的解析式．

3．已知函数y＝sin x＋|sin x|．

（1）画出函数的简图；

（2）这个函数是周期函数吗？如果是，求出它的最小正周期．

4．求下列函数的值域．

（1）y＝3－2sin 2x；（2）y＝|sin x|＋sin x．

预设答案：1．∵f(x)为以为周期的奇函数，

∴f(－π)＝－f(π)＝－f(＋)＝－f()＝－1．

2．x∈[π，3π]时，3π－x∈[0，]，

因为x∈[0，]时，f(x)＝1－sin x，所以f(3π－x)＝1－sin(3π－x)＝1－sin x．

又f(x)是以π为周期的偶函数，所以f(3π－x)＝f(－x)＝f(x)，

所以f(x)＝1－sin x，x∈[π，3π]．

3．（1）y＝sin x＋|sin x|＝

函数图象如图所示．

（2）由图象知该函数是周期函数，其图象每隔2π重复一次，则函数的周期是2π．

4．（1）∵－1≤sin 2x≤1，∴1≤y≤5．∴y∈[1，5]．

（2）当sin x≥0时，y＝2sin x≤2，这时0≤y≤2；

当sin x＜0时，y＝0．∴函数的值域为y∈[0，2]．

（四）单元检测设计

1．设f(x)是以1为一个周期的奇函数，且当x∈(－，0)时，f(x)＝4x－1，求f(－)的值．

2．函数y＝的减区间为____________________．

预设答案：∵f(x)的周期为1，f(－)＝f(－4＋)＝f()．

又当x∈(－1，0)时，f(x)＝2x＋1，∴f(－)＝4×(－)－1＝－，

又∵f(x)是奇函数，∴f(－)＝－f()，∴f()＝．故f(－)＝．

2．由已知得1－2cos x≥0，∴cos x≤，因此y＝的减区间即为y＝cos x的增区间且cos x≤，所以所求区间为：[2kπ－π，2kπ－]　k∈Z．

设计意图：检测学生对本节课学习到的基本知识的掌握情况．