高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.4 对数函数教案设计

《对数函数的图象和性质》教学设计

1．能借助描点法、信息技术画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点．

2．结合对数函数图象与性质的研究，进一步体会研究具体函数的一般思路和方法，提升直观想象核心素养．

3．知道对数函数与指数函数互为反函数（a＞0，且a≠1）．

教学重点：对数函数的图象和性质．

教学难点：根据图象抽象概括出对数函数的性质，知道互为反函数的两个函数的关系．

PPT课件，计算器，GGB课件．

（一）整体感知，明确任务

引导语：对于具体的函数，我们一般按照“背景—概念—图象和性质—应用”的路径进行研究．前面一节我们从具有现实背景的问题中，学习得到了对数函数的概念，接下来就要研究它的图象和性质，并灵活应用．类比研究指数函数的图象和性质的过程和方法，我们应该如何研究对数函数的图象和性质？需要研究对数函数的哪些性质？

师生活动：以学生为主，师生一起回忆指数函数的学习，提出研究对数函数的图象和性质的方法和内容．

预设的答案：由于有了指数函数的学习经历，所以需要考虑不同的底数a对函数的影响．

类比研究指数函数的图象和性质的过程和方法，首先要作出对数函数的图象，其次再根据图象概括函数的性质，最后还可以由性质进一步分析函数的图象．

按照函数研究的一般过程，需要研究对数函数的定义域、值域、单调性、奇偶性．另外，由于对数函数和指数函数密切相关，而指数函数过定点(0，1)，所以对数函数也可能会过某个定点．最后，我们还需要考察对数函数与指数函数是否有什么特殊的关系．

设计意图：通过回顾研究指数函数图象和性质的方法和内容，提出研究对数函数的图象和性质的方法和内容，明确本节课研究的重点，并引出问题1．

（二）新知探究

1．研究对数函数的图象和性质

问题1：首先画出对数函数的图象，我们先从简单的函数开始．描点法画图的步骤是什么？请同学们利用计算器完成x，y的对应值表1，并用描点法画出函数的图象．

师生活动：学生独立完成后展示交流，全班师生形成共识即可

预设的答案：描点法的步骤：列表——描点——画图。

完成的表1，和画出的函数的图象（图1）如下．

表1

设计意图：从一个具体的简单的对数函数开始进行研究，巩固描点法，为后续的研究作好铺垫．

问题2：在4.2.2中研究指数函数的图象和性质时，我们知道了底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y轴对称．那么对于底数互为倒数的两个对数函数，比如和，它们的图象是否也有某种对称关系呢？用同样的方法，在同一直角坐标系内画出函数的图象，并与函数的图象进行比较，它们有什么关系？能否利用函数的图象，画出函数的图象？

师生活动：学生先用描点法画出函数的图象，通过观察作出猜想．然后教师引导学生从对数的运算性质考虑分析．

预设的答案：利用换底公式，可以得到．因为点(x，y)与点(x，-y)关于x轴对称，所以图象上任意一点P(x，y)关于x轴的对称点P1(x，-y)都在函数的图象上，反之亦然．由此可知，底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x轴对称．根据这种对称性，就可以利用的图象画出的图象．如图2所示．

设计意图：通过探究，让学生体会到可以用已知函数的图象和对称性来作新函数的图象，并从中学习用联系的观点看问题，以及通过逻辑推理获得数学结论的思维方式．另外，这样探究还便于将对数函数分为0＜a＜1和a＞1两类，从而分别对两类图象的共同特点进行归纳．由于对指数函数有过类似的探究，这里引入函数就不会再显得不够自然了．

问题3：为了得到对数函数(a＞0，且a≠1)的性质，我们还需要画出更多具体对数函数的图象进行观察．选取底数a(a＞0，且a≠1)的若干个不同的值，例如，，，，在同一直角坐标系内画出相应的对数函数的图象．观察这些图象的位置、公共点和变化趋势，它们有哪些共性？对数函数是否也像指数函数一样，过某个定点？根据你所概括出的结论，自己设计一个表格，写出对数函数(a＞0，且a≠1)的定义域、值域、单调性、奇偶性，等等．

师生活动：在已经画出和的图象的基础上，学生利用计算器可以画出这些函数的图象．教师也可以展示GGB课件“4.4对数函数第二课时-不同底数的对数函数图象”，并演示动画效果，得到a取任意值时函数的大量图象．学生根据这些图象直观地归纳出他们的共同特点，教师予以补充完善，并引导学生进行规范：要将对数函数分为0＜a＜1和a＞1两类进行讨论．

预设的答案：选取底数a的若干值，例如，利用信息技术画出图象，如图3．发现对数函数的图象按底数a的取值，可分为0＜a＜1和a＞1两种类型．因此对数函数的性质也可以分0＜a＜1和a＞1两种情况进行研究，设计的表格如表2．

                                                     表2

设计意图：利用GGB动画演示能便捷地做出大量图象，易于归纳，底数a的取值自然地变化，所作函数的图象也自然地产生了，而非事先规定的．由于指数函数有过类似的探究，这里要将对数函数分为0＜a＜1和a＞1两类来讨论，对学生来说就很容易了．在此过程中，有意识地向学生渗透数形结合的思想方法，引导学生“以形助教”，先观察图象得到图象的特征，然后再将图象特征转化为函数性质，达到提升学生直观想象核心素养的目的．

2．对数函数的应用

例3  比较下列各题中两个值的大小：

（1）log23.4，log28.5；

（2）log0.31.8，log0.32.7；

（3）loga5.1，loga5.9 (a＞0，且a≠1)．

师生活动：学生独立完成后展示交流．师生总结求解要点：每一组中的两个值都可以看作同一个对数函数的函数值，从而利用对数函数的单调性进行比较．对于（1）（2），两个值可以看作一个确定的对数函数的两个函数值，直接利用其单调性进行比较．对于（3），由于底数a的取值为a＞0，且a≠1，所以需要分情况a是大于1还是小于1，进行讨论，再利用单调性进行比较．

预设的答案：

解：（1）log23.4和log28.5可看作函数y=log2x的两个函数值．因为底数2＞1，对数函数y=log2x是增函数，且3.4＜8.5，所以log23.4＜log28.5．

（2）log0.31.8和log0.32.7可看作函数y=log0.3x的两个函数值．因为底数0.3＜1，对数函数y=log0.3­x是减函数，且1.8＜2.7，所以log0.31.8＞log0.32.7．

（3）loga5.1和loga5.9可看作函数y=logax的两个函数值．对数函数的单调性取决于底数a是大于1还是小于1，因此需要对底数a进行讨论．

当a＞1时，因为函数y=logax是增函数，且5.1＜5.9，所以loga5.1＜loga5.9；

当0＜a＜1时，因为函数y=logax是减函数，且5.1＜5.9，所以loga5.1＞loga5.9．

设计意图：利用对数函数的单调性比较两个数的大小，根据问题的特点构造适当的对数函数．学生能够进一步熟悉对数函数的性质，并形成用函数观点解决问题的意识．

例4  溶液酸碱度的测量．

溶液酸碱度是通过pH计量的．pH的计算公式为pH=-lg[H+]，其中[H+]表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升．

（1）根据对数函数性质及上述pH的计算公式，说明溶液酸碱度与溶液中氢离子的浓度之间的变化关系；

（2）已知纯净水中氢离子的浓度为[H+]=10-7摩尔/升，计算纯净水的pH．

追问：本题的依据是什么？

师生活动：首先由教师引导学生对问题进行分析：根据对数的运算性质对pH的计算公式进行变形，然后根据对数函数的单调性，说明溶液酸碱度与溶液中氢离子的浓度之间的变化关系，并计算出纯净水的pH．然后由学生独立完成后展示交流．

预设的答案：

解：（1）根据对数的运算性质，有．

在(0，+∞)上，随着[H+]的增大，减小，相应地也减小，即pH减小．所以，随着[H+]的增大，pH减小，即溶液中氢离子的浓度越大，溶液的酸性就越强．

（2）当[H+]=10-7时，pH=-lg10-7=7．所以，纯净水的pH是7．

设计意图：利用对数函数的概念和性质解决问题，让学生进一步熟悉对数函数的性质，并促使学生形成用函数观点解决问题的意识．

追问：胃酸中氢离子的浓度是2.5×10-2摩尔/升，胃酸的pH是多少？

师生活动：学生利用计算器自行完成．

预设的答案：pH=-lg(2.5×10-2)≈1.6，所以胃酸的pH大约是1.6．

3．指数函数与对数函数形成对比，得到反函数定义

问题4：前面根据指数与对数间的关系，由(x≥0)得到(0＜y≤1)．由函数定义可知，y∈(0，1]是一个函数．通常我们 x表示自变量，y表示函数，为此可以把改写成，x∈(0，1]．这样，由指数函数，x∈[0，+∞)可得到对数函数，x∈(0，1]．研究这两个函数的相关性，从函数的三要素：定义域、对应关系、值域来考虑，你能发现它们有什么特殊关系吗？

师生活动：在学习对数函数的概念时，已经从图象直观和函数定义两个方面说明了指数函数与对数函数的关系，所以学生应该能够独立想到解答，教师予以补充完善即可．

预设的答案：从定义域和值域来看，对数函数的定义域(0，1]、值域[0，+∞)分别是指数函数的值域和定义域．函数的对应关系，实际上是对定义域中的数进行某种代数运算变化，变成值域中的数．所以从对应关系来看，对数函数进行的是底数为的对数运算，指数函数进行的是底数也为的指数幂运算，这两种运算变化互为逆运算．

教师讲解：像指数函数，x∈[0，+∞)和对数函数，x∈(0，1]这样，根据运算性质可以由一个推导出另外一个，并且一个函数的定义域和值域分别是另外一个函数的值域和定义域的，我们就称它们互为反函数．这样，对数函数，x∈(0，1]是指数函数，x∈[0，+∞)的反函数．同时，指数函数，x∈[0，+∞)也是对数函数，x∈(0，1]的反函数，它们的定义域与值域正好互换．

从定义上，互为反函数的两个函数的定义域与值域正好互换，运算变化过程正好互逆，这是一种对称性．

设计意图：通过两个具体的指数函数与对数函数的对比，说明它们互为反函数，明确提出反函数的定义，并从函数的三要素得出反函数的对称性．

*（选学）追问：对于一般的指数函数y=ax (a＞0，且a≠1)与对数函数y=logax (a＞0，且a≠1)，我们知道，它们互为反函数．那么它们的图象间有什么关系？在同一直角坐标系中，任意选取某个a (a＞0，且a≠1)，画出指数函数y=ax及其反函数y=logax的图象．这两个函数的图象有什么对称关系？它们是关于什么对称的．

师生活动：教师引导学生，由于底数a的选取不同，指数函数和对数函数的图象也有很大差别，所以要将底数分为0＜a＜1和a＞1两类进行讨论．

预设的答案：根据前面关于指数函数和对数函数的图象和性质的研究，应当分为0＜a＜1和a＞1的情况讨论．分别选取和为例，在同一直角坐标系中，画出相应的函数图象，如图4．

从图象上，容易发现互为反函数的指数函数与对数函数，它们的图象关于直线y=x对称．一个函数图象上的任意一点关于y=x的对称点，一定在它的反函数的图象上，这也是一种对称性．

设计意图：从函数的图象建立关联，进一步认识反函数的对称性．

（三）归纳小结，布置作业

问题5：本节课研究对数函数的图象和性质的方法是什么？从哪几方面概括了对数函数的性质？分别是什么？互为反函数的指数函数和对数函数有哪些对称性？

师生活动：有了之前学习幂函数和指数函数的经验，再次经历研究某个具体函数的过程，学生进行思考并做适当交流后，应该能够解决．

预设的答案：本节课选取了大量不同的底数a，在同一直角坐标系中画出相应的对数函数图象，通过观察，并结合函数的解析式，分析得到对数函数的图象特点及函数性质．从定义域、值域、定点、单调性和奇偶性，概括了对数函数的性质．具体性质略．互为反函数的指数函数和对数函数，在定义域和值域、运算变化过程、图象上都具有对称性．

设计意图：研究一个函数的图象和性质，是研究函数的基本过程“背景—概念—图象和性质—应用”中的“图象和性质”环节，通过对数函数的学习，再次强化这一研究过程的方法，使学生掌握研究一个数学对象的基本方法．同时强调互为反函数的指数函数和对数函数之间的关联．

作业布置：教科书习题．

（四）目标检测设计

1．在同一直角坐标系中画出函数和的图象，并说明它们的关系．

设计意图：通过底数互为倒数的两个对数函数的关系，进一步熟悉对数函数的图象和性质．

2．比较下列各题中两个值的大小：

（1）lg0.6，lg0.8；    （2）log0.56，log0.54；    （3）logm5，logm7．

设计意图：利用对数函数的单调性比较两个数的大小，进一步熟悉对数函数的性质．

3．某地去年GDP（国内生产总值）为3 000亿元人民币，预计未来5年的平均增长率为6.8%．

（1）设经过x年达到的年GDP为y亿元，试写出未来5年内，y关于x的函数解析式；

（2）经过几年该地GDP能达到3 900亿元人民币？

设计意图：考察利用指数函数、对数函数解决实际问题的能力。

参考答案：

1．图象已在前面问题3中给出，此处略去．函数和的图象关于x轴对称．

2．（1）lg0.6＜lg0.8．      （2）log0.56＜log0.54．

（3）当0＜m＜1时，logm5＞logm7；当m＞1时，logm5＜logm7．

3．（1）y=3 000×1.068x，0＜x≤5．      （2）4年．