人教A版 (2019)必修 第一册4.2 指数函数教案设计

《指数和指数函数习题课》教学设计

1．巩固实数指数幂的运算性质．

2．掌握利用指数函数的图象和性质解决问题的方法．

教学重点：实数指数幂的运算性质．

教学难点：指数函数图象和性质的灵活应用．

PPT课件．

（一）习题讲解

题组一  指数运算

1．化简：（式中的字母均是正数）

（1）；

（2）；

2．计算下列各式的值：

（1）；    （2）；

问题1：进行指数运算时的运算依据是什么？在运算时需要注意什么？

师生活动：学生思考后回答，教师予以补充．然后学生独立完成解答，最后展示交流．

预设的答案：进行指数运算的运算依据是实数指数幂的运算性质．在运算时，要尽量把根式写成指数幂的形式，并注意与的区别．

1．解：（1）．

（2）．

2．解：（1）．

（2）．

设计意图：帮助学生巩固实数指数幂的运算性质，并能够利用实数指数幂的运算性质化简和求解指数运算式．

题组二  指数运算的应用

3．在纳皮尔所处的年代，哥白尼的“太阳中心说”刚刚开始流行，这导致天文学成为当时的热门学科，可是由于当时常量数学的局限性，天文学家们不得不花费很大的精力去计算那些繁杂的“天文数字”，因此浪费了若干年甚至毕生的宝贵时间．例如计算多位数之间的乘积，还是十分复杂的运算，因此纳皮尔发明了一种计算特殊多位数之间乘积的方法．让我们来看看下面这个例子：

这两行数字之间的关系是极为明确的：第一行表示2的指数，第二行表示2的对应幂．如果我们要计算第二行中两个数的乘积，可以通过第一行对应数字的和来实现．比如计算64×256的值，就可以先查第一行的对应数字：64对应6，256对应8，然后再把第一行中的对应数字加起来6+8=14；第一行中的14，对应第二行中的16 384，所以有64×256=16 384．

按照这样的方法计算16 384×32 768=____________．

4．已知，则____________．

问题2：指数运算中，对于同底数指数幂的乘除运算，反映在指数上有什么特点？由此可知，同底数指数幂的乘法运算，如果指数互为相反数，那么运算结果是什么？

师生活动：学生思考后回答，教师予以补充．然后学生独立完成解答，最后展示交流．

预设的答案：同底数指数幂的乘除运算，反映在指数上为指数的相加减，这样就由二级运算乘除法，变成了一级运算加减法．特别地，如果同底数指数幂相乘，指数互为相反数，那么运算结果为该底数的0次幂，即结果为1．

3．解：16 384对应14，32 768对应15，而14+15=29，查表可得第一行中的29对应第二行中的536 870 912，所以16 384×32 768=536 870 912．

4．解：由，可得．由，可得．所以，则．

设计意图：考察学生对实数指数幂的运算性质的特点的灵活应用．

题组三  指数函数的概念及应用

5．若函数是指数函数，则a的值是____________．

6．某种细菌经60分钟培养，可繁殖为原来的2倍，且知该细菌的繁殖规律为，其中k为常数，t表示时间（单位：小时），y表示细菌个数，10个细菌经过7小时培养，细菌能达到的个数为____________．

问题3：判断一个函数是否为指数函数的依据是什么？什么是指数型函数？怎样判断指数型函数是增长的还是衰减的？

师生活动：学生思考后回答，教师予以补充．然后学生独立完成解答，最后展示交流．

预设的答案：判断依据是指数函数解析式的特征：①底数a＞0且a≠1；②ax的系数为1；③自变量x的系数为1．形如的函数为指数型函数，其中k为常数．一般当k＞0时，若a＞1，则刻画指数增长变化规律，若0＜a＜1，则刻画指数衰减变化规律．

5．解：因为是指数函数，所以，解得（舍）或．所以．

6．解：由题意可知，初始时有10个细菌，当t=1时，y=20，所以，即．所以，若t=7，则可得此时的细菌数为．

设计意图：检测学生对指数函数概念的理解，以及利用指数型函数解决实际问题的能力．

题组四 指数函数图象和性质的应用

7．若函数（a＞0且a≠1）的图象恒过点，则m+n=____________．

8．函数（a＞1）的图象的大致形状是（    ）

9．已知，，，则a，b，c的大小关系是（    ）

A．b＞a＞c       B．c＞a＞b

C．c＞b＞a       D．a＞b＞c

问题4：我们在研究指数函数的图象和性质时，研究了它的哪些性质？

师生活动：学生思考后回答，教师予以补充．然后学生讨论交流，完成试题的解答，最后展示交流．

预设的答案：我们研究了指数函数的定义域、值域、单调性，并且还发现了指数函数恒过定点．

7．解：由于指数函数（a＞0且a≠1）的图象恒过定点，所以（a＞0且a≠1）的图象可以看成是由指数函数的图象先向左平移m个单位变成，此时的图象恒过点．然后再纵向拉伸2倍变成，此时的图象恒过点．最后再向下平移n个单位变成，此时的图象恒过点．由于的图象恒过点，所以m=1，n=-2．

也可以考虑，指数函数（a＞0且a≠1）之所以恒过定点，是因为对于任意的a＞0且a≠1，都有．所以对于函数，令，可得，即该函数恒过点，所以m=1，n=-2．

因此m+n=-1．

8．解：易知，且a＞1，所以根据指数函数的图象性质，选C．

9．解：因为指数函数在其定义域上是减函数，所以，即a＞b．又因为，，所以c＞a．综上有c＞a＞b，选B．

设计意图：检测学生对指数函数的图象和性质的掌握，以及利用指数函数的图象和性质解决问题的能力．

题组五  与指数函数有关的复合函数问题

10．求函数的单调递增区间．

11．函数的值域为____________．

12．若函数（a＞0且a≠1），满足，则的单调递减区间是____________．

问题5：在求解与指数函数相关的复合函数的问题时，应当注意什么？可以用什么样的方法，让问题的讨论变得简化？

师生活动：学生讨论交流后回答，教师予以补充．然后学生独立完成试题的解答，最后展示交流．

预设的答案：需要充分考虑指数函数的定义域、值域、单调性，并且还要注意多个函数复合以后，所带来的定义域、值域、单调性的改变．可以采取换元的方法，将复合函数看成是指数函数与其它简单函数的复合，分层逐次讨论各个函数的性质．

10．解：令，则．因为，可得t的增区间为．因为函数在R上是增函数，所以函数的单调递增区间为．

11．解：令，则．因为，可得t的值域为．因为函数在R上是减函数，当t=1时，，所以函数的值域为．

12．解：由，得，所以，即．令，则．因为在R上是减函数，所以只需考虑的单调递增区间，易知其单调递增区间为．所以函数的单调递减区间是．

设计意图：检测学生对与指数函数相关的复合函数的定义域、值域、单调性问题的掌握．

（二）归纳小结

问题6：在运用实数指数幂的运算性质和时，要注意什么？你能举个例子来说明吗？指数函数的解析式有什么特征？在解与指数函数相关的问题时，需要注意什么？

师生活动：学生讨论交流后回答，教师予以补充完善．

预设的答案：的使用条件为．例如，此时底数，如果利用该性质得到，这显然是错误的．

的使用条件为．例如，此时底数，如果利用该性质得到，这显然是错误的．

指数函数的解析式的特征为：①底数a＞0且a≠1；②ax的系数为1；③自变量x的系数为1．即（a＞0且a≠1）．

在解与指数函数相关的问题时，要注意其底数、值域都有特定的取值范围，即底数a＞0且a≠1，值域为．并且还要注意指数函数为单调函数，当0＜a＜1是为减函数，当a＞1时为增函数，并且恒过定点(0，1)．

设计意图：巩固复习实数指数幂的运算性质和指数函数的性质．