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新教材适用2024版高考数学一轮总复习第2章函数概念与基本初等函数Ⅰ第3讲函数的奇偶性与周期性课件
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这是一份新教材适用2024版高考数学一轮总复习第2章函数概念与基本初等函数Ⅰ第3讲函数的奇偶性与周期性课件，共60页。PPT课件主要包含了知识梳理·双基自测，名师讲坛·素养提升，考点突破·互动探究，f－x＝fx，最小的正数，最小正数，②③⑤，log43，ln2，解法二图象法等内容，欢迎下载使用。
第三讲 函数的奇偶性与周期性
知识梳理 · 双基自测
知识点一 函数的奇偶性
f(－x)＝－f(x)
知识点二 函数的周期性1．周期函数对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有______________________，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．2．最小正周期如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个_____________，那么这个___________就叫做f(x)的最小正周期．
f(x＋T)＝f(x)
1．奇(偶)函数定义的等价形式
2．若y＝f(x)为奇函数，y＝g(x)为奇函数，在公共定义域内(1)y＝f(x)±g(x)为奇函数；
3．对f(x)的定义域内任一自变量的值x，最小正周期为T(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2|a|；
5．一些重要类型的奇偶函数(1)函数f(x)＝ax＋a－x为偶函数，函数f(x)＝ax－a－x为奇函数；
题组一 走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数y＝x2，x∈(0，＋∞)是偶函数．( )(2)若函数f(x)是奇函数，则必有f(0)＝0.( )(3)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．( )(4)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(b,0)中心对称．( )
(5)2π是函数f(x)＝sin x，x∈(－∞，0)的一个周期．( )
题组二 走进教材2．(必修1P85T2改编)下列函数中为奇函数的序号是_________；偶函数的序号是_____.①f(x)＝2x4＋3x2; ②f(x)＝x3－2x；
4．(必修1P85T1改编)若函数y＝f(x)(x∈R)是奇函数，则下列坐标表示的点一定在函数y＝f(x)图象上的是( )A．(a，－f(a)) B．(－a，－f(a))C．(－a，－f(－a)) D．(a，f(－a))[解析] ∵函数y＝f(x)为奇函数，∴f(－a)＝－f(a)．即点(－a，－f(a))一定在函数y＝f(x)的图象上．
5．(必修1P87T12改编)若奇函数f(x)在区间[a，b]上是减函数，则它在[－b，－a]上是_____函数；若偶函数f(x)在区间[a，b]上是增函数，则它在[－b，－a]上是_____函数．6．(必修1P86T11改编)已知函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，当x∈[0,1]时，f(x)＝lg4(x2＋3)，则f(2 024)＝_____________.
7．(必修1P86T3改编)已知f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝2x＋m，则f(－3)＝_______.[解析] 因为f(x)为R上的奇函数，所以f(0)＝0，即f(0)＝20＋m＝0，解得m＝－1，故f(x)＝2x－1(x≥0)，则f(－3)＝－f(3)＝－(23－1)＝－7.
[解析] 思路一：将函数f(x)的解析式分离常数，通过图象变换可得函数图象关于(0,0)对称，此函数即为奇函数；思路二：由函数f(x)的解析式，求出选项中的函数解析式，由函数奇偶性定义来判断．
考点突破 · 互动探究
考向1 判断函数的奇偶性——自主练透 设f(x)＝ex＋e－x，g(x)＝ex－e－x，f(x)，g(x)的定义域均为R，下列结论错误的是( )A．|g(x)|是偶函数B．f(x)g(x)是奇函数C．f(x)|g(x)|是偶函数D．f(x)＋g(x)是奇函数
[解析] f(－x)＝e－x＋ex＝f(x)，f(x)为偶函数．g(－x)＝e－x－ex＝－g(x)，g(x)为奇函数．|g(－x)|＝|－g(x)|＝|g(x)|，|g(x)|为偶函数，A正确；f(－x)g(－x)＝f(x)[－g(x)]＝－f(x)g(x)，所以f(x)g(x)为奇函数，B正确；f(－x)|g(－x)|＝f(x)|g(x)|，所以f(x)|g(x)|是偶函数，C正确；f(x)＋g(x)＝2ex，f(－x)＋g(－x)＝2e－x≠－[f(x)＋g(x)]，所以f(x)＋g(x)不是奇函数，D错误．
判断下列函数的奇偶性．
[分析] 先求出定义域，看定义域是否关于原点对称，在定义域内，解析式带绝对值号的先化简，计算f(－x)，再判断f(－x)与f(x)之间的关系．抽象函数常用赋值法判断．
(3)函数的定义域x∈(－∞，＋∞)，关于原点对称．∵f(－x)＝|－x＋1|－|－x－1|＝|x－1|－|x＋1|＝－(|x＋1|－|x－1|)＝－f(x)，∴f(x)＝|x＋1|－|x－1|是奇函数．(4)易知函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，又当x>0时，f(x)＝x2＋x，则当x<0时，－x>0，故f(－x)＝x2－x＝f(x)；当x<0时，f(x)＝x2－x，则当x>0时，－x<0，故f(－x)＝x2＋x＝f(x)，故原函数是偶函数．
(5)去掉绝对值符号，根据定义判断．
判断函数的奇偶性的方法(1)定义法：若函数的定义域不是关于原点对称的区间，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的区间，再判断f(－x)是否等于f(x)或－f(x)，据此得出结论．(2)图象法：奇(偶)函数的充要条件是它的图象关于原点(或y轴)对称．(3)性质法：偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数；奇函数的和、差仍为奇函数；奇(偶)数个奇函数的积、商(分母不为零)为奇(偶)函数；一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数．(注：利用上述结论时要注意各函数的定义域)
考向2 函数奇偶性的综合应用——多维探究角度1 利用性质求解析式 设f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)＝ex－1，则当x<0时，f(x)＝( )A．e－x－1 B．e－x＋1C．－e－x－1 D．－e－x＋1
[解析] 任取x<0，则－x>0，由f(－x)＝e－x－1，又f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，即f(x)＝－f(－x)＝－e－x＋1.故选D.
角度2 利用奇偶性求参数的值或取值范围 (1)已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，则a＋b＝( )
1．求函数解析式：先将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性构造关于f(x)的方程(组)，从而得到f(x)的解析式．2．求解析式中的参数值：在定义域关于原点对称的前提下，利用f(x)为奇函数⇔f(－x)＝－f(x)，f(x)为偶函数⇔f(x)＝f(－x)，列式求解，也可利用特殊值法求解．对于在x＝0处有定义的奇函数f(x)，可考虑列等式f(0)＝0求解．
〔变式训练1〕(1)(角度1)将例3中的f(x)为奇函数改为偶函数，则当x<0时，f(x)＝( )A．e－x－1 B．e－x＋1C．－e－x－1 D．－e－x＋1(2)(角度2)(2021·新高考全国Ⅰ)已知函数f(x)＝x3(a·2x－2－x)是偶函数，则a＝_____.
[解析] (1)当x<0时，f(x)＝f(－x)＝e－x－1.故选A.(2)解法一(定义法)：因为f(x)＝x3(a·2x－2－x)的定义域为R，且是偶函数，所以f(－x)＝f(x)对任意的x∈R恒成立，所以(－x)3(a·2－x－2x)＝x3(a·2x－2－x)对任意的x∈R恒成立，所以x3(a－1)(2x＋2－x)＝0对任意的x∈R恒成立，所以a＝1.解法二(取特殊值检验法)：因为f(x)＝x3(a·2x－2－x)的定义域为R，且是偶函数，
所以a＝1.解法三(转化法)：由题意知f(x)＝x3(a·2x－2－x)的定义域为R，且是偶函数．设g(x)＝x3，h(x)＝a·2x－2－x，因为g(x)＝x3为奇函数，所以h(x)＝a·2x－2－x为奇函数，所以h(0)＝a·20－2－0＝0，解得a＝1，经检验，f(x)＝x3(2x－2－x)为偶函数，所以a＝1.
设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)．当x∈[0,2)时，f(x)＝2x－x2.(1)求证：f(x)是周期函数；(2)求f(2)的值；(3)当x∈(2,4]时，求f(x)的解析式；(4)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 023)．
[解析] (1)证明：∵f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)．∴f(x)是周期为4的周期函数．(2)f(2)＝f(0＋2)＝－f(0)＝0.(3)当x∈(－2,0]时，－x∈[0,2)，由已知得f(－x)＝2(－x)－(－x)2＝－2x－x2.又f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)＝－2x－x2.∴f(x)＝x2＋2x.又当x∈(2,4]时，x－4∈(－2,0]，
∴f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)．又f(x)是周期为4的周期函数，∴f(x)＝f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)＝x2－6x＋8.即当x∈(2,4]时，f(x)＝x2－6x＋8.(4)∵f(0)＝0，f(1)＝1，f(2)＝0，f(3)＝－1，且f(x)是周期为4的周期函数，∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(7)＝…＝f(2 020)＋f(2 021)＋f(2 022)＋f(2 023)＝0.∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 021)＋f(2 022)＋f(2 023)＝0.
高考中对函数周期性的考查，主要涉及函数周期性的判断，利用函数周期性求值，以及解决与周期有关的函数综合问题．解决此类问题的关键是充分利用题目提供的信息，找到函数的周期，利用周期在有定义的范围内进行求解．函数周期性的三个常用结论：
角度1 奇偶性与单调性结合 若定义在R上的奇函数f(x)在(－∞，0)上单调递减，且f(2)＝0，则满足f(x)≥0的取值范围是( )A．(－∞，－2]B．[0,2]C．(－∞，－2]∪[0,2]D．(－∞，－2]∪[2，＋∞)
[解析] 由已知得图象，故选C.
[引申1]若将“奇函数”改为偶函数，则结果为_____.[解析] 如图．
[引申2]若将例6中不等式改为xf(x－1)≥0呢？结果为_____________.
[－1,0]∪[1,3]
角度2 奇偶性与周期性结合
角度3 单调性、奇偶性和周期性结合 已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)且在区间[0,2]上是增函数，则( )A．f(－25)
〔变式训练2〕(1)(角度1)(2023·郴州第二次数学质量检测)已知f(x)是定义在[2b,1－b]上的偶函数，且在[2b,0]上为增函数，则f(x－1)≤f(2x)的解集为( )
(2)(角度2)(多选题)函数f(x)的定义域为R，若f(x＋1)与f(x－1)都是偶函数，则( )A．f(x)是偶函数 B．f(x)是奇函数C．f(x＋3)是偶函数 D．f(x)＝f(x＋4)
[解析] (1)∵f(x)是定义在[2b,1－b]上的偶函数，∴2b＋1－b＝0，∴b＝－1，∵f(x)在[2b,0]上为增函数，即函数f(x)在[－2,0]上为增函数，故函数f(x)在(0,2]上为减函数，则由f(x－1)≤f(2x)，可得|x－1|≥|2x|，即(x－1)2≥4x2，
(2)因为f(x＋1)是偶函数，所以f(－x＋1)＝f(x＋1)，从而f(－x)＝f(x＋2)．因为f(x－1)是偶函数，所以f(－x－1)＝f(x－1)，从而f(－x)＝f(x－2)．所以f(x＋2)＝f(x－2)，f(x＋4)＝f(x)，所以f(x)是以4为周期的周期函数．因为f(－x－1)＝f(x－1)，所以f(－x－1＋4)＝f(x－1＋4)，即f(－x＋3)＝f(x＋3)，所以f(x＋3)是偶函数．
(3)由于f(x＋1)为奇函数，所以函数f(x)的图象关于点(1,0)对称，即有f(x)＋f(2－x)＝0，所以f(1)＋f(2－1)＝0，得f(1)＝0，即a＋b＝0①.由于f(x＋2)为偶函数，所以函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，即有f(x)－f(4－x)＝0，所以f(0)＋f(3)＝－f(2)＋f(1)＝－4a－b＋a＋b＝－3a＝6②.根据①②可得a＝－2，b＝2，所以当x∈[1,2]时，f(x)＝－2x2＋2.
名师讲坛 · 素养提升
函数三大性质的综合应用
①直线x＝－6是函数y＝f(x)的图象的一条对称轴；②函数y＝f(x)在[－9，－6]上为增函数；③函数y＝f(x)在[－9,9]上有四个零点．其中所有正确命题的序号为_______.
函数的奇偶性、周期性及单调性，在高考中常常将它们综合在一起命题，解题时，往往需要借助函数的奇偶性和周期性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题．
〔变式训练3〕已知f(x)的定义域为R，其函数图象关于直线x＝－3对称，且f(x＋3)＝f(x－3)，若当x∈[0,3]时，f(x)＝2x＋1，则下列结论正确的是_________.(填序号)①f(x)为偶函数；②f(x)在[－6，－3]上单调递减；③f(x)关于直线x＝3对称；④f(100)＝5.
第三讲 函数的奇偶性与周期性
知识梳理 · 双基自测
知识点一 函数的奇偶性
f(－x)＝－f(x)
知识点二 函数的周期性1．周期函数对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有______________________，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．2．最小正周期如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个_____________，那么这个___________就叫做f(x)的最小正周期．
f(x＋T)＝f(x)
1．奇(偶)函数定义的等价形式
2．若y＝f(x)为奇函数，y＝g(x)为奇函数，在公共定义域内(1)y＝f(x)±g(x)为奇函数；
3．对f(x)的定义域内任一自变量的值x，最小正周期为T(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2|a|；
5．一些重要类型的奇偶函数(1)函数f(x)＝ax＋a－x为偶函数，函数f(x)＝ax－a－x为奇函数；
题组一 走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数y＝x2，x∈(0，＋∞)是偶函数．( )(2)若函数f(x)是奇函数，则必有f(0)＝0.( )(3)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．( )(4)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(b,0)中心对称．( )
(5)2π是函数f(x)＝sin x，x∈(－∞，0)的一个周期．( )
题组二 走进教材2．(必修1P85T2改编)下列函数中为奇函数的序号是_________；偶函数的序号是_____.①f(x)＝2x4＋3x2; ②f(x)＝x3－2x；
4．(必修1P85T1改编)若函数y＝f(x)(x∈R)是奇函数，则下列坐标表示的点一定在函数y＝f(x)图象上的是( )A．(a，－f(a)) B．(－a，－f(a))C．(－a，－f(－a)) D．(a，f(－a))[解析] ∵函数y＝f(x)为奇函数，∴f(－a)＝－f(a)．即点(－a，－f(a))一定在函数y＝f(x)的图象上．
5．(必修1P87T12改编)若奇函数f(x)在区间[a，b]上是减函数，则它在[－b，－a]上是_____函数；若偶函数f(x)在区间[a，b]上是增函数，则它在[－b，－a]上是_____函数．6．(必修1P86T11改编)已知函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，当x∈[0,1]时，f(x)＝lg4(x2＋3)，则f(2 024)＝_____________.
7．(必修1P86T3改编)已知f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝2x＋m，则f(－3)＝_______.[解析] 因为f(x)为R上的奇函数，所以f(0)＝0，即f(0)＝20＋m＝0，解得m＝－1，故f(x)＝2x－1(x≥0)，则f(－3)＝－f(3)＝－(23－1)＝－7.
[解析] 思路一：将函数f(x)的解析式分离常数，通过图象变换可得函数图象关于(0,0)对称，此函数即为奇函数；思路二：由函数f(x)的解析式，求出选项中的函数解析式，由函数奇偶性定义来判断．
考点突破 · 互动探究
考向1 判断函数的奇偶性——自主练透 设f(x)＝ex＋e－x，g(x)＝ex－e－x，f(x)，g(x)的定义域均为R，下列结论错误的是( )A．|g(x)|是偶函数B．f(x)g(x)是奇函数C．f(x)|g(x)|是偶函数D．f(x)＋g(x)是奇函数
[解析] f(－x)＝e－x＋ex＝f(x)，f(x)为偶函数．g(－x)＝e－x－ex＝－g(x)，g(x)为奇函数．|g(－x)|＝|－g(x)|＝|g(x)|，|g(x)|为偶函数，A正确；f(－x)g(－x)＝f(x)[－g(x)]＝－f(x)g(x)，所以f(x)g(x)为奇函数，B正确；f(－x)|g(－x)|＝f(x)|g(x)|，所以f(x)|g(x)|是偶函数，C正确；f(x)＋g(x)＝2ex，f(－x)＋g(－x)＝2e－x≠－[f(x)＋g(x)]，所以f(x)＋g(x)不是奇函数，D错误．
判断下列函数的奇偶性．
[分析] 先求出定义域，看定义域是否关于原点对称，在定义域内，解析式带绝对值号的先化简，计算f(－x)，再判断f(－x)与f(x)之间的关系．抽象函数常用赋值法判断．
(3)函数的定义域x∈(－∞，＋∞)，关于原点对称．∵f(－x)＝|－x＋1|－|－x－1|＝|x－1|－|x＋1|＝－(|x＋1|－|x－1|)＝－f(x)，∴f(x)＝|x＋1|－|x－1|是奇函数．(4)易知函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，又当x>0时，f(x)＝x2＋x，则当x<0时，－x>0，故f(－x)＝x2－x＝f(x)；当x<0时，f(x)＝x2－x，则当x>0时，－x<0，故f(－x)＝x2＋x＝f(x)，故原函数是偶函数．
(5)去掉绝对值符号，根据定义判断．
判断函数的奇偶性的方法(1)定义法：若函数的定义域不是关于原点对称的区间，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的区间，再判断f(－x)是否等于f(x)或－f(x)，据此得出结论．(2)图象法：奇(偶)函数的充要条件是它的图象关于原点(或y轴)对称．(3)性质法：偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数；奇函数的和、差仍为奇函数；奇(偶)数个奇函数的积、商(分母不为零)为奇(偶)函数；一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数．(注：利用上述结论时要注意各函数的定义域)
考向2 函数奇偶性的综合应用——多维探究角度1 利用性质求解析式 设f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)＝ex－1，则当x<0时，f(x)＝( )A．e－x－1 B．e－x＋1C．－e－x－1 D．－e－x＋1
[解析] 任取x<0，则－x>0，由f(－x)＝e－x－1，又f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，即f(x)＝－f(－x)＝－e－x＋1.故选D.
角度2 利用奇偶性求参数的值或取值范围 (1)已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，则a＋b＝( )
1．求函数解析式：先将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性构造关于f(x)的方程(组)，从而得到f(x)的解析式．2．求解析式中的参数值：在定义域关于原点对称的前提下，利用f(x)为奇函数⇔f(－x)＝－f(x)，f(x)为偶函数⇔f(x)＝f(－x)，列式求解，也可利用特殊值法求解．对于在x＝0处有定义的奇函数f(x)，可考虑列等式f(0)＝0求解．
〔变式训练1〕(1)(角度1)将例3中的f(x)为奇函数改为偶函数，则当x<0时，f(x)＝( )A．e－x－1 B．e－x＋1C．－e－x－1 D．－e－x＋1(2)(角度2)(2021·新高考全国Ⅰ)已知函数f(x)＝x3(a·2x－2－x)是偶函数，则a＝_____.
[解析] (1)当x<0时，f(x)＝f(－x)＝e－x－1.故选A.(2)解法一(定义法)：因为f(x)＝x3(a·2x－2－x)的定义域为R，且是偶函数，所以f(－x)＝f(x)对任意的x∈R恒成立，所以(－x)3(a·2－x－2x)＝x3(a·2x－2－x)对任意的x∈R恒成立，所以x3(a－1)(2x＋2－x)＝0对任意的x∈R恒成立，所以a＝1.解法二(取特殊值检验法)：因为f(x)＝x3(a·2x－2－x)的定义域为R，且是偶函数，
所以a＝1.解法三(转化法)：由题意知f(x)＝x3(a·2x－2－x)的定义域为R，且是偶函数．设g(x)＝x3，h(x)＝a·2x－2－x，因为g(x)＝x3为奇函数，所以h(x)＝a·2x－2－x为奇函数，所以h(0)＝a·20－2－0＝0，解得a＝1，经检验，f(x)＝x3(2x－2－x)为偶函数，所以a＝1.
设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)．当x∈[0,2)时，f(x)＝2x－x2.(1)求证：f(x)是周期函数；(2)求f(2)的值；(3)当x∈(2,4]时，求f(x)的解析式；(4)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 023)．
[解析] (1)证明：∵f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)．∴f(x)是周期为4的周期函数．(2)f(2)＝f(0＋2)＝－f(0)＝0.(3)当x∈(－2,0]时，－x∈[0,2)，由已知得f(－x)＝2(－x)－(－x)2＝－2x－x2.又f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)＝－2x－x2.∴f(x)＝x2＋2x.又当x∈(2,4]时，x－4∈(－2,0]，
∴f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)．又f(x)是周期为4的周期函数，∴f(x)＝f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)＝x2－6x＋8.即当x∈(2,4]时，f(x)＝x2－6x＋8.(4)∵f(0)＝0，f(1)＝1，f(2)＝0，f(3)＝－1，且f(x)是周期为4的周期函数，∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(7)＝…＝f(2 020)＋f(2 021)＋f(2 022)＋f(2 023)＝0.∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 021)＋f(2 022)＋f(2 023)＝0.
高考中对函数周期性的考查，主要涉及函数周期性的判断，利用函数周期性求值，以及解决与周期有关的函数综合问题．解决此类问题的关键是充分利用题目提供的信息，找到函数的周期，利用周期在有定义的范围内进行求解．函数周期性的三个常用结论：
角度1 奇偶性与单调性结合 若定义在R上的奇函数f(x)在(－∞，0)上单调递减，且f(2)＝0，则满足f(x)≥0的取值范围是( )A．(－∞，－2]B．[0,2]C．(－∞，－2]∪[0,2]D．(－∞，－2]∪[2，＋∞)
[解析] 由已知得图象，故选C.
[引申1]若将“奇函数”改为偶函数，则结果为_____.[解析] 如图．
[引申2]若将例6中不等式改为xf(x－1)≥0呢？结果为_____________.
[－1,0]∪[1,3]
角度2 奇偶性与周期性结合
角度3 单调性、奇偶性和周期性结合 已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)且在区间[0,2]上是增函数，则( )A．f(－25)
〔变式训练2〕(1)(角度1)(2023·郴州第二次数学质量检测)已知f(x)是定义在[2b,1－b]上的偶函数，且在[2b,0]上为增函数，则f(x－1)≤f(2x)的解集为( )
(2)(角度2)(多选题)函数f(x)的定义域为R，若f(x＋1)与f(x－1)都是偶函数，则( )A．f(x)是偶函数 B．f(x)是奇函数C．f(x＋3)是偶函数 D．f(x)＝f(x＋4)
[解析] (1)∵f(x)是定义在[2b,1－b]上的偶函数，∴2b＋1－b＝0，∴b＝－1，∵f(x)在[2b,0]上为增函数，即函数f(x)在[－2,0]上为增函数，故函数f(x)在(0,2]上为减函数，则由f(x－1)≤f(2x)，可得|x－1|≥|2x|，即(x－1)2≥4x2，
(2)因为f(x＋1)是偶函数，所以f(－x＋1)＝f(x＋1)，从而f(－x)＝f(x＋2)．因为f(x－1)是偶函数，所以f(－x－1)＝f(x－1)，从而f(－x)＝f(x－2)．所以f(x＋2)＝f(x－2)，f(x＋4)＝f(x)，所以f(x)是以4为周期的周期函数．因为f(－x－1)＝f(x－1)，所以f(－x－1＋4)＝f(x－1＋4)，即f(－x＋3)＝f(x＋3)，所以f(x＋3)是偶函数．
(3)由于f(x＋1)为奇函数，所以函数f(x)的图象关于点(1,0)对称，即有f(x)＋f(2－x)＝0，所以f(1)＋f(2－1)＝0，得f(1)＝0，即a＋b＝0①.由于f(x＋2)为偶函数，所以函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，即有f(x)－f(4－x)＝0，所以f(0)＋f(3)＝－f(2)＋f(1)＝－4a－b＋a＋b＝－3a＝6②.根据①②可得a＝－2，b＝2，所以当x∈[1,2]时，f(x)＝－2x2＋2.
名师讲坛 · 素养提升
函数三大性质的综合应用
①直线x＝－6是函数y＝f(x)的图象的一条对称轴；②函数y＝f(x)在[－9，－6]上为增函数；③函数y＝f(x)在[－9,9]上有四个零点．其中所有正确命题的序号为_______.
函数的奇偶性、周期性及单调性，在高考中常常将它们综合在一起命题，解题时，往往需要借助函数的奇偶性和周期性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题．
〔变式训练3〕已知f(x)的定义域为R，其函数图象关于直线x＝－3对称，且f(x＋3)＝f(x－3)，若当x∈[0,3]时，f(x)＝2x＋1，则下列结论正确的是_________.(填序号)①f(x)为偶函数；②f(x)在[－6，－3]上单调递减；③f(x)关于直线x＝3对称；④f(100)＝5.
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