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新教材适用2024版高考数学一轮总复习第2章函数概念与基本初等函数Ⅰ第4讲幂函数与二次函数课件
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这是一份新教材适用2024版高考数学一轮总复习第2章函数概念与基本初等函数Ⅰ第4讲幂函数与二次函数课件，共55页。PPT课件主要包含了知识梳理·双基自测，名师讲坛·素养提升，考点突破·互动探究，知识点一幂函数，0＋∞，非奇非偶，－∞0，b＝0，题组二走进教材，x2－4x＋3等内容，欢迎下载使用。
第四讲 幂函数与二次函数
知识梳理 · 双基自测
(－∞，0)∪(0，＋∞)
知识点二 二次函数的图象和性质
1．二次函数解析式的三种形式：(1)一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；(2)顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)；(3)零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．2．一元二次不等式恒成立的条件：(1)“ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立”的充要条件是“a>0，且Δ<0”．(2)“ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立”的充要条件是“a<0，且Δ<0”．
题组一 走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
4．(必修1P53T2改编)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，确定下列各式的正负：b_____0，ac_____0，a－b＋c_____0.
5．(必修1P58T6改编)设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c，如果f(x1)＝f(x2)(x1≠x2)，则f(x1＋x2)＝( )
题组三 走向高考6．(2022·上海)下列幂函数中，定义域为R的是( )
[解析] 选项A中函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，选项B中函数的定义域为(0，＋∞)，选项C中函数的定义域为R，选项D中函数的定义域为[0，＋∞)，故选C.
[解析] ∵幂函数f(x)＝xα为奇函数，∴α可取－1,1,3，又f(x)＝xα在(0，＋∞)上递减，∴α<0，故α＝－1.
考点突破 · 互动探究
(2)若四个幂函数y＝xa，y＝xb，y＝xc，y＝xd在同一坐标系中的图象如图所示，则a，b，c，d的大小关系是( )A．d>c>b>a B．a>b>c>dC．d>c>a>b D．a>b>d>c
(1)幂函数的形式是y＝xα(α∈R)，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式．(2)在区间(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”)，在区间(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴．(3)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键．
考向1 二次函数的解析式——师生共研 已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，求此二次函数的解析式．[解析] 解法一：利用“一般式”解题：设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
解法二：利用“顶点式”解题：设f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)．∵f(2)＝f(－1)，
解法三：利用“零点式”解题：由已知f(x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1，故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)(a≠0)，即f(x)＝ax2－ax－2a－1.
根据已知条件确定二次函数解析式，一般用待定系数法，选择规律如下：
〔变式训练1〕(1)已知二次函数f(x)的图象的顶点坐标是(－2，－1)，且图象经过点(1,0)，则函数的解析式为f(x)＝____________________.(2)已知二次函数f(x)的图象经过点(4,3)，在x轴上截得的线段长为2，并且对任意x∈R，都有f(2－x)＝f(2＋x)，则f(x)＝_________________.
[解析] (1)解法一：设所求解析式为f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
解法二：设所求解析式为f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
解法三：设所求解析式为f(x)＝a(x－h)2＋k.由已知得f(x)＝a(x＋2)2－1，
考向2 二次函数的图象和性质——多维探究角度1 二次函数的图象 (1)设abc>0，二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象可能是( )
(2)如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，图象过点A(－3,0)，对称轴为x＝－1.给出下面四个结论：①b2>4ac；②2a－b＝1；③a－b＋c＝0；④5a
二次函数图象的识别方法二次函数的图象应从开口方向、对称轴、顶点坐标以及图象与坐标轴的交点等方面识别．
角度2 利用二次函数的图象和性质求最值 已知f(x)＝x2－2x＋5.(1)若x∈R，则函数f(x)的最小值为_____；(2)若x∈[－1,2]，则函数f(x)的最小值为_____，最大值为_____；(3)若x∈[t，t＋1]，则函数f(x)的最小值为___________________.[分析] 对于(1)(2)直接利用二次函数的图象性质求解；对于(3)由于函数f(x)的对称轴确定为x＝1，但函数的定义域不确定，因此解题时要以定义域内是否含有对称轴为标准分情况讨论．
[解析] (1)f(x)＝x2－2x＋5＝(x－1)2＋4≥4，∴f(x)的最小值为4.(2)∵f(x)的对称轴为x＝1，又1∈[－1,2]，∴f(x)min＝f(1)＝4，由二次函数的图象知，f(x)在[－1，1]上单调递减，在[1,2]上单调递增．又f(－1)＝(－1)2－2×(－1)＋5＝8，f(2)＝22－2×2＋5＝5，∴f(x)max＝8，f(x)min＝4.
(3)∵f(x)的对称轴为x＝1.当t≥1时，f(x)在[t，t＋1]上单调递增，∴f(x)min＝f(t)＝t2－2t＋5，当t<1
角度3 二次函数中的恒成立问题 已知函数f(x)＝x2＋2ax－a＋2.(1)若对于∀x∈R，f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围；(2)若对于∀x∈[－1,1]，f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围；(3)若∃x∈[－1,1]，f(x)≥0成立，求实数a的取值范围．[解析] (1)由题意得Δ＝(2a)2－4(－a＋2)≤0，即a2＋a－2≤0，解得－2≤a≤1，所以实数a的取值范围是[－2,1]．
(2)因为对于∀x∈[－1,1]，f(x)≥0恒成立，所以f(x)min≥0，x∈[－1,1]．函数f(x)图象的对称轴方程为x＝－a.当－a≤－1，即a≥1时，f(x)在区间[－1,1]上单调递增，则f(x)min＝f(－1)＝3－3a.解3－3a≥0，得a≤1，所以a＝1.当－1<－a<1，即－1
[探究] 本题的几个小题表面形式非常相似，究其本质却大相径庭，应认真审题，深入思考，多加训练，准确使用其成立的充要条件．
恒成立问题的解法(1)解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量，谁是参数．一般地，知道谁的范围，谁就是变量，求谁的范围，谁就是参数．(2)对于二次不等式恒成立问题常见的类型有两种，一是在全集R上恒成立，二是在某给定区间上恒成立．对第一种情况恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方；对第二种情况，要充分结合函数图象进行分类讨论(也可采用分离参数的方法)．
〔变式训练2〕(1)(角度1)若一次函数y＝ax＋b的图象经过第二、三、四象限，则二次函数y＝ax2＋bx的图象只可能是( )
(2)(角度2)(2022·抚顺模拟)已知函数f(x)＝－x2＋2x＋5在区间[0，m]上有最大值6，最小值5，则实数m的取值范围是_____________.(3)(角度3)(2023·北京101中学模拟)已知函数f(x)＝x2－x＋1，在区间[－1,1]上不等式f(x)>2x＋m恒成立，则实数m的取值范围是___________.
(2)由题意知，f(x)＝－(x－1)2＋6，则f(0)＝f(2)＝5＝f(x)min，f(1)＝6＝f(x)max，函数f(x)的图象如图所示，则1≤m≤2.
(3)解法一：f(x)>2x＋m等价于x2－x＋1>2x＋m，即x2－3x＋1－m>0，令g(x)＝x2－3x＋1－m，要使g(x)＝x2－3x＋1－m>0在[－1,1]上恒成立，只需使函数g(x)＝x2－3x＋1－m在[－1,1]上的最小值大于0即可，∵g(x)＝x2－3x＋1－m在[－1,1]上单调递减，∴g(x)min＝g(1)＝－m－1.由－m－1>0，得m<－1.因此满足条件的实数m的取值范围是(－∞，－1)．
所以g(x)在区间[－1,1]上单调递减，则g(x)在区间[－1,1]上的最小值为g(x)min＝g(1)＝－1，所以m<－1.因此满足条件的实数m的取值范围是(－∞，－1).
名师讲坛 · 素养提升
已知函数f(x)＝x2＋2ax－a＋2，对∀a∈[－1,1]都有f(x)>0恒成立，求实数x的范围．
转换变量——解决二次函数问题中的核心素养
本题将变量x转化为常数，实数a转化为变量a，巧妙地解决了问题．因此，认真审题，分清变量与常量是解决本题的关键．
〔变式训练3〕已知函数f(x) ＝x2－2x，g(x)＝ax＋2(a>0)，对任意的x1∈[－1,2]都存 在x0∈[－1,2]，使得g(x1)＝f(x0)，则实数a的取值范围是________.[解析] 当x0∈[－1,2]时，由f(x)＝x2－2x，得f(x0)∈[－1,3]．因为对任意的x1∈[－1,2]都存在x0∈[－1,2]，使得g(x1)＝f(x0)，
第四讲 幂函数与二次函数
知识梳理 · 双基自测
(－∞，0)∪(0，＋∞)
知识点二 二次函数的图象和性质
1．二次函数解析式的三种形式：(1)一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；(2)顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)；(3)零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．2．一元二次不等式恒成立的条件：(1)“ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立”的充要条件是“a>0，且Δ<0”．(2)“ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立”的充要条件是“a<0，且Δ<0”．
题组一 走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
4．(必修1P53T2改编)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，确定下列各式的正负：b_____0，ac_____0，a－b＋c_____0.
5．(必修1P58T6改编)设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c，如果f(x1)＝f(x2)(x1≠x2)，则f(x1＋x2)＝( )
题组三 走向高考6．(2022·上海)下列幂函数中，定义域为R的是( )
[解析] 选项A中函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，选项B中函数的定义域为(0，＋∞)，选项C中函数的定义域为R，选项D中函数的定义域为[0，＋∞)，故选C.
[解析] ∵幂函数f(x)＝xα为奇函数，∴α可取－1,1,3，又f(x)＝xα在(0，＋∞)上递减，∴α<0，故α＝－1.
考点突破 · 互动探究
(2)若四个幂函数y＝xa，y＝xb，y＝xc，y＝xd在同一坐标系中的图象如图所示，则a，b，c，d的大小关系是( )A．d>c>b>a B．a>b>c>dC．d>c>a>b D．a>b>d>c
(1)幂函数的形式是y＝xα(α∈R)，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式．(2)在区间(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”)，在区间(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴．(3)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键．
考向1 二次函数的解析式——师生共研 已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，求此二次函数的解析式．[解析] 解法一：利用“一般式”解题：设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
解法二：利用“顶点式”解题：设f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)．∵f(2)＝f(－1)，
解法三：利用“零点式”解题：由已知f(x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1，故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)(a≠0)，即f(x)＝ax2－ax－2a－1.
根据已知条件确定二次函数解析式，一般用待定系数法，选择规律如下：
〔变式训练1〕(1)已知二次函数f(x)的图象的顶点坐标是(－2，－1)，且图象经过点(1,0)，则函数的解析式为f(x)＝____________________.(2)已知二次函数f(x)的图象经过点(4,3)，在x轴上截得的线段长为2，并且对任意x∈R，都有f(2－x)＝f(2＋x)，则f(x)＝_________________.
[解析] (1)解法一：设所求解析式为f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
解法二：设所求解析式为f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
解法三：设所求解析式为f(x)＝a(x－h)2＋k.由已知得f(x)＝a(x＋2)2－1，
考向2 二次函数的图象和性质——多维探究角度1 二次函数的图象 (1)设abc>0，二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象可能是( )
(2)如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，图象过点A(－3,0)，对称轴为x＝－1.给出下面四个结论：①b2>4ac；②2a－b＝1；③a－b＋c＝0；④5a
二次函数图象的识别方法二次函数的图象应从开口方向、对称轴、顶点坐标以及图象与坐标轴的交点等方面识别．
角度2 利用二次函数的图象和性质求最值 已知f(x)＝x2－2x＋5.(1)若x∈R，则函数f(x)的最小值为_____；(2)若x∈[－1,2]，则函数f(x)的最小值为_____，最大值为_____；(3)若x∈[t，t＋1]，则函数f(x)的最小值为___________________.[分析] 对于(1)(2)直接利用二次函数的图象性质求解；对于(3)由于函数f(x)的对称轴确定为x＝1，但函数的定义域不确定，因此解题时要以定义域内是否含有对称轴为标准分情况讨论．
[解析] (1)f(x)＝x2－2x＋5＝(x－1)2＋4≥4，∴f(x)的最小值为4.(2)∵f(x)的对称轴为x＝1，又1∈[－1,2]，∴f(x)min＝f(1)＝4，由二次函数的图象知，f(x)在[－1，1]上单调递减，在[1,2]上单调递增．又f(－1)＝(－1)2－2×(－1)＋5＝8，f(2)＝22－2×2＋5＝5，∴f(x)max＝8，f(x)min＝4.
(3)∵f(x)的对称轴为x＝1.当t≥1时，f(x)在[t，t＋1]上单调递增，∴f(x)min＝f(t)＝t2－2t＋5，当t<1
角度3 二次函数中的恒成立问题 已知函数f(x)＝x2＋2ax－a＋2.(1)若对于∀x∈R，f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围；(2)若对于∀x∈[－1,1]，f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围；(3)若∃x∈[－1,1]，f(x)≥0成立，求实数a的取值范围．[解析] (1)由题意得Δ＝(2a)2－4(－a＋2)≤0，即a2＋a－2≤0，解得－2≤a≤1，所以实数a的取值范围是[－2,1]．
(2)因为对于∀x∈[－1,1]，f(x)≥0恒成立，所以f(x)min≥0，x∈[－1,1]．函数f(x)图象的对称轴方程为x＝－a.当－a≤－1，即a≥1时，f(x)在区间[－1,1]上单调递增，则f(x)min＝f(－1)＝3－3a.解3－3a≥0，得a≤1，所以a＝1.当－1<－a<1，即－1
[探究] 本题的几个小题表面形式非常相似，究其本质却大相径庭，应认真审题，深入思考，多加训练，准确使用其成立的充要条件．
恒成立问题的解法(1)解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量，谁是参数．一般地，知道谁的范围，谁就是变量，求谁的范围，谁就是参数．(2)对于二次不等式恒成立问题常见的类型有两种，一是在全集R上恒成立，二是在某给定区间上恒成立．对第一种情况恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方；对第二种情况，要充分结合函数图象进行分类讨论(也可采用分离参数的方法)．
〔变式训练2〕(1)(角度1)若一次函数y＝ax＋b的图象经过第二、三、四象限，则二次函数y＝ax2＋bx的图象只可能是( )
(2)(角度2)(2022·抚顺模拟)已知函数f(x)＝－x2＋2x＋5在区间[0，m]上有最大值6，最小值5，则实数m的取值范围是_____________.(3)(角度3)(2023·北京101中学模拟)已知函数f(x)＝x2－x＋1，在区间[－1,1]上不等式f(x)>2x＋m恒成立，则实数m的取值范围是___________.
(2)由题意知，f(x)＝－(x－1)2＋6，则f(0)＝f(2)＝5＝f(x)min，f(1)＝6＝f(x)max，函数f(x)的图象如图所示，则1≤m≤2.
(3)解法一：f(x)>2x＋m等价于x2－x＋1>2x＋m，即x2－3x＋1－m>0，令g(x)＝x2－3x＋1－m，要使g(x)＝x2－3x＋1－m>0在[－1,1]上恒成立，只需使函数g(x)＝x2－3x＋1－m在[－1,1]上的最小值大于0即可，∵g(x)＝x2－3x＋1－m在[－1,1]上单调递减，∴g(x)min＝g(1)＝－m－1.由－m－1>0，得m<－1.因此满足条件的实数m的取值范围是(－∞，－1)．
所以g(x)在区间[－1,1]上单调递减，则g(x)在区间[－1,1]上的最小值为g(x)min＝g(1)＝－1，所以m<－1.因此满足条件的实数m的取值范围是(－∞，－1).
名师讲坛 · 素养提升
已知函数f(x)＝x2＋2ax－a＋2，对∀a∈[－1,1]都有f(x)>0恒成立，求实数x的范围．
转换变量——解决二次函数问题中的核心素养
本题将变量x转化为常数，实数a转化为变量a，巧妙地解决了问题．因此，认真审题，分清变量与常量是解决本题的关键．
〔变式训练3〕已知函数f(x) ＝x2－2x，g(x)＝ax＋2(a>0)，对任意的x1∈[－1,2]都存 在x0∈[－1,2]，使得g(x1)＝f(x0)，则实数a的取值范围是________.[解析] 当x0∈[－1,2]时，由f(x)＝x2－2x，得f(x0)∈[－1,3]．因为对任意的x1∈[－1,2]都存在x0∈[－1,2]，使得g(x1)＝f(x0)，
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