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新教材适用2024版高考数学一轮总复习第2章函数概念与基本初等函数Ⅰ第6讲对数与对数函数课件
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这是一份新教材适用2024版高考数学一轮总复习第2章函数概念与基本初等函数Ⅰ第6讲对数与对数函数课件，共60页。PPT课件主要包含了知识梳理·双基自测，名师讲坛·素养提升，考点突破·互动探究，x＝logaN，2几种常见对数，logaN，lgN，lnN，nlogaM，0＋∞等内容，欢迎下载使用。
第六讲 对数与对数函数
知识梳理 · 双基自测
知识点一 对数与对数运算1．对数的概念(1)对数的定义：如果ax＝N(a＞0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作_________________，其中_____叫做对数的底数，_____叫做真数．
2.对数的性质与运算法则(1)对数的性质：①lga1＝_____；②lgaa＝_____(其中a>0且a≠1)；③lgaab＝_____(a>0，a≠1，b∈R)．(2)对数恒等式：algaN＝_____(其中a>0且a≠1，N>0)．(3)对数的换底公式：lgbN＝________(a，b均大于零且不等于1，N>0)．
知识点二 对数函数的图象与性质1．对数函数的定义、图象和性质
y＝lgax(a＞0，且a≠1)
2.反函数指数函数y＝ax(a>0且a≠1)与对数函数_______________(a>0且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线________对称．
1．指数式与对数式互化2．换底公式的两个重要结论
3．对数函数的图象与底数大小的比较如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数．故0
(5)2lg 3≠3lg 2.( )[解析] (5)设2lg 3＝M,3lg 2＝N，则lg M＝lg 2lg 3＝lg 3lg 2＝lg 3lg 2＝lg N，∴M＝N.
题组二 走进教材2．(必修1P127T3改编)写出下列各式的值：
3．(必修1P127T5改编)函数y＝lga(x－1)＋2(a>0，且a≠1)的图象恒过的定点是_____________.[解析] 当x＝2时，函数y＝lga(x－1)＋2(a>0，且a≠1)的值为2，所以图象恒过定点(2,2)．
5．(必修1P140T4改编)已知图中曲线C1，C2，C3，C4是函数y＝lgax的图象，则曲线C1，C2，C3，C4对应的a的值依次为( )
7．(2017·全国卷Ⅱ)函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是( )A．(－∞，－2) B．(－∞，1)C．(1，＋∞) D．(4，＋∞)[解析] 由x2－2x－8>0，得x<－2或x>4.因此，函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的定义域是(－∞，－2)∪(4，＋∞)．注意到函数y＝x2－2x－8在(4，＋∞)上单调递增，由复合函数的单调性知，f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是(4，＋∞)，选D.
考点突破 · 互动探究
应用对数型函数的图象可求解的问题(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想．(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．
〔变式训练1〕(1)函数y＝lg|x－1|的图象是( )
考向2 对数函数的性质及其应用——多维探究角度1 比较对数值的大小
(2)(2022·全国甲卷)已知9m＝10，a＝10m－11，b＝8m－9，则( )A．a>0>b B．a>b>0C．b>a>0 D．b>0>a
角度2 利用对数函数单调性求参数的取值范围 (2023·华南师大附中模拟)已知函数f(x)＝lg0.5(x2－ax＋3a)在[2，＋∞)上单调递减，则实数a的取值范围是( )A．(－∞，4] B．[4，＋∞)C．[－4,4] D．(－4,4][分析] 函数f(x)＝lg0.5(x2－ax＋3a)在[2，＋∞)上单调递减，说明在[2，＋∞)上，函数t＝x2－ax＋3a>0成立，且为增函数．
角度3 简单对数不等式的解法
[解析] 因为函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在(－∞，0]上单调递减，
角度4 对数函数性质的综合应用
∴f(x)为奇函数，故A正确，B错误；
1．比较对数式的大小的关系：(1)若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母，则需要对底数进行分类讨论；(2)若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较；(3)若底数与真数都不同，则常借助1,0等中间量进行比较．2．解决与对数函数有关的函数的单调性问题的步骤
〔变式训练2〕(1)(角度1)设a＝lg412，b＝lg515，c＝lg618，则( )A．a>b>c B．b>c>aC．a>c>b D．c>b>a
A．(－1,0)∪(0,1)B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C．(－1,0)∪(1，＋∞)D．(－∞，－1)∪(0,1)
(4)(多选题)(角度4)已知函数f(x)＝ln x＋ln(2－x)，则( )A．f(x)在(0,2)上单调递增B．f(x)在(0,2)上的最大值为0C．f(x)的图象关于直线x＝1对称D．f(x)的图象关于点(1,0)对称
[解析] (1)a＝1＋lg43，b＝1＋lg53，c＝1＋lg63，∵lg43>lg53> lg63，∴a>b>c.
(4)f(x)＝ln x＋ln(2－x)，定义域为(0,2)，f(x)＝ln[x(2－x)]＝ln(－x2＋2x)，令t＝－x2＋2x，y＝ln t，∵t＝－x2＋2x，x∈(0,2)，在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减，∴f(x)在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减，故A不正确；f(x)max＝f(1)＝0，故B正确；∵f(1＋x)＝ln(1＋x)＋ln(1－x)，f(1－x)＝ln(1－x)＋ln(1＋x)，∴f(1＋x)＝f(1－x)，∴f(x)的图象关于直线x＝1对称，故C正确，D不正确.
名师讲坛 · 素养提升
有关对数运算的创新应用问题
根据香农公式，以下说法正确的是(参考数据：lg 5≈0.699 0)( )
在解决对数的化简与求值问题时，要理解并灵活运用对数的定义、对数的运算性质、对数恒等式和对数的换底公式，同时还要注意化简过程中的等价性和对数式与指数式的互化，有助于提升学生的转化能力和数学运算能力．
第六讲 对数与对数函数
知识梳理 · 双基自测
知识点一 对数与对数运算1．对数的概念(1)对数的定义：如果ax＝N(a＞0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作_________________，其中_____叫做对数的底数，_____叫做真数．
2.对数的性质与运算法则(1)对数的性质：①lga1＝_____；②lgaa＝_____(其中a>0且a≠1)；③lgaab＝_____(a>0，a≠1，b∈R)．(2)对数恒等式：algaN＝_____(其中a>0且a≠1，N>0)．(3)对数的换底公式：lgbN＝________(a，b均大于零且不等于1，N>0)．
知识点二 对数函数的图象与性质1．对数函数的定义、图象和性质
y＝lgax(a＞0，且a≠1)
2.反函数指数函数y＝ax(a>0且a≠1)与对数函数_______________(a>0且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线________对称．
1．指数式与对数式互化2．换底公式的两个重要结论
3．对数函数的图象与底数大小的比较如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数．故0
(5)2lg 3≠3lg 2.( )[解析] (5)设2lg 3＝M,3lg 2＝N，则lg M＝lg 2lg 3＝lg 3lg 2＝lg 3lg 2＝lg N，∴M＝N.
题组二 走进教材2．(必修1P127T3改编)写出下列各式的值：
3．(必修1P127T5改编)函数y＝lga(x－1)＋2(a>0，且a≠1)的图象恒过的定点是_____________.[解析] 当x＝2时，函数y＝lga(x－1)＋2(a>0，且a≠1)的值为2，所以图象恒过定点(2,2)．
5．(必修1P140T4改编)已知图中曲线C1，C2，C3，C4是函数y＝lgax的图象，则曲线C1，C2，C3，C4对应的a的值依次为( )
7．(2017·全国卷Ⅱ)函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是( )A．(－∞，－2) B．(－∞，1)C．(1，＋∞) D．(4，＋∞)[解析] 由x2－2x－8>0，得x<－2或x>4.因此，函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的定义域是(－∞，－2)∪(4，＋∞)．注意到函数y＝x2－2x－8在(4，＋∞)上单调递增，由复合函数的单调性知，f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是(4，＋∞)，选D.
考点突破 · 互动探究
应用对数型函数的图象可求解的问题(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想．(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．
〔变式训练1〕(1)函数y＝lg|x－1|的图象是( )
考向2 对数函数的性质及其应用——多维探究角度1 比较对数值的大小
(2)(2022·全国甲卷)已知9m＝10，a＝10m－11，b＝8m－9，则( )A．a>0>b B．a>b>0C．b>a>0 D．b>0>a
角度2 利用对数函数单调性求参数的取值范围 (2023·华南师大附中模拟)已知函数f(x)＝lg0.5(x2－ax＋3a)在[2，＋∞)上单调递减，则实数a的取值范围是( )A．(－∞，4] B．[4，＋∞)C．[－4,4] D．(－4,4][分析] 函数f(x)＝lg0.5(x2－ax＋3a)在[2，＋∞)上单调递减，说明在[2，＋∞)上，函数t＝x2－ax＋3a>0成立，且为增函数．
角度3 简单对数不等式的解法
[解析] 因为函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在(－∞，0]上单调递减，
角度4 对数函数性质的综合应用
∴f(x)为奇函数，故A正确，B错误；
1．比较对数式的大小的关系：(1)若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母，则需要对底数进行分类讨论；(2)若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较；(3)若底数与真数都不同，则常借助1,0等中间量进行比较．2．解决与对数函数有关的函数的单调性问题的步骤
〔变式训练2〕(1)(角度1)设a＝lg412，b＝lg515，c＝lg618，则( )A．a>b>c B．b>c>aC．a>c>b D．c>b>a
A．(－1,0)∪(0,1)B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C．(－1,0)∪(1，＋∞)D．(－∞，－1)∪(0,1)
(4)(多选题)(角度4)已知函数f(x)＝ln x＋ln(2－x)，则( )A．f(x)在(0,2)上单调递增B．f(x)在(0,2)上的最大值为0C．f(x)的图象关于直线x＝1对称D．f(x)的图象关于点(1,0)对称
[解析] (1)a＝1＋lg43，b＝1＋lg53，c＝1＋lg63，∵lg43>lg53> lg63，∴a>b>c.
(4)f(x)＝ln x＋ln(2－x)，定义域为(0,2)，f(x)＝ln[x(2－x)]＝ln(－x2＋2x)，令t＝－x2＋2x，y＝ln t，∵t＝－x2＋2x，x∈(0,2)，在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减，∴f(x)在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减，故A不正确；f(x)max＝f(1)＝0，故B正确；∵f(1＋x)＝ln(1＋x)＋ln(1－x)，f(1－x)＝ln(1－x)＋ln(1＋x)，∴f(1＋x)＝f(1－x)，∴f(x)的图象关于直线x＝1对称，故C正确，D不正确.
名师讲坛 · 素养提升
有关对数运算的创新应用问题
根据香农公式，以下说法正确的是(参考数据：lg 5≈0.699 0)( )
在解决对数的化简与求值问题时，要理解并灵活运用对数的定义、对数的运算性质、对数恒等式和对数的换底公式，同时还要注意化简过程中的等价性和对数式与指数式的互化，有助于提升学生的转化能力和数学运算能力．
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