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新教材适用2024版高考数学一轮总复习第2章函数概念与基本初等函数Ⅰ第9讲函数模型及其应用课件
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这是一份新教材适用2024版高考数学一轮总复习第2章函数概念与基本初等函数Ⅰ第9讲函数模型及其应用课件，共53页。PPT课件主要包含了知识梳理·双基自测，名师讲坛·素养提升，考点突破·互动探究，题组三走向高考，〔变式训练2〕等内容，欢迎下载使用。
第九讲 函数模型及其应用
知识梳理 · 双基自测
知识点 函数模型及其应用1．几类常见的函数模型
2．三种函数模型的性质
3.解函数应用问题的步骤(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识建立相应的数学模型；(3)解模：求解数学模型，得出数学结论；(4)还原：将数学问题还原为实际问题．
以上过程用框图表示如下：
题组一 走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数y＝2x的函数值比y＝x2的函数值大．( )(2)“指数爆炸”是指数型函数y＝a·bx＋c(a≠0，b>0，b≠1)增长速度越来越快的形象比喻．( )(3)幂函数增长比直线增长更快．( )
[解析] (1)当x＝－1时，2－1<(－1)2.(2)“指数爆炸”是针对b>1，a>0的指数型函数g(x)＝a·bx＋c.(3)幂函数增长速度是逐渐加快的，当变量较小时，其增长很缓慢，题目说的太绝对，也没有任何条件限制．
题组二 走进教材2．(必修1P140T6改编)某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计图如图所示，则下列说法中错误的是( )
A．收入最高值与收入最低值的比是31B．结余最高的月份是7月C．1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同D．前6个月的平均收入为40万元
3．(必修1P156T14改编)在某个物理实验中，测量得变量x和变量y的几组数据，如下表：则对x，y最适合的拟合函数是( )A．y＝2x B．y＝x2－1C．y＝2x－2 D．y＝lg2x
[解析] 根据x＝0.50，y＝－0.99，代入计算，可以排除A；根据x＝2.01，y＝0.98，代入计算，可以排除B、C；将各数据代入函数y＝lg2x，可知满足题意，故选D.
4．(必修1P161T8改编)某种动物繁殖量y只与时间x年的关系为y＝alg3(x＋1)，设这种动物第2年有100只，到第8年它们将发展到( )A．200只 B．300只C．400只 D．500只[解析] ∵繁殖数量y只与时间x年的关系为y＝alg3(x＋1)，这种动物第2年有100只，∴100＝alg3(2＋1)，∴a＝100，∴y＝100lg3(x＋1)，∴当x＝8时，y＝100lg3(8＋1)＝100×2＝200.故选A.
[解析] 对于A选项，当T＝220，P＝1 026，即lg P＝lg 1 026>lg 103＝3时，根据图象可知，二氧化碳处于固态；对于B选项，当T＝270，P＝128，即lg P＝lg 128∈(lg 102，lg 103)，即lg P∈(2,3)时，根据图象可知，二氧化碳处于液态；对于C选项，当T＝300，P＝9 987，即lg P＝lg 9 987
考向1 利用函数图象刻画实际问题的变化过程——自主练透 (1)(多选题)某“跑团”为了解团队每月跑步的平均里程，收集并整理了2022年1月至2022年11月期间“跑团”每月跑步的平均里程(单位：千米)的数据．绘制了下面的折线图．
根据折线图，下列结论正确的是( )A．月跑步平均里程的中位数为6月份对应的平均里程数B．月跑步平均里程逐月增加C．月跑步平均里程高峰期大致在9月和10月D．1月至5月的月跑步平均里程相对于6月至11月，波动性更小，变化比较平稳
(2)(2023·武汉模拟)在用计算机处理灰度图象(即俗称的黑白照片)时，将灰度分为256个等级，最暗的黑色用0表示，最亮的白色用255表示，中间的灰度根据其明暗渐变程度用0至255之间对应的数表示，这样可以给图象上的每个像素赋予一个“灰度值”．在处理有些较黑的图象时，为了增强较黑部分的对比度，可对图象上每个像素的灰度值进行转换，扩展低灰度级，压缩高灰度级，实现如下图所示的效果：
则下列可以实现该功能的一种函数图象是( )
[解析] (1)由折线图知，月跑步平均里程的中位数为5月份对应的平均里程数，A错误；月跑步平均里程不是逐月增加的，B错误；月跑步平均里程高峰期大致在9月和10月，C正确；1月至5月的月跑步平均里程相对于6月至11月，波动性更小，变化比较平稳，D正确．(2)根据图片处理过程中图象上每个像素的灰度值转换的规则可知，相对于原图的灰度值，处理后的图象上每个像素的灰度值增加，所以图象在y＝x上方，结合选项只有A选项能够较好的达到目的．
(3)由散点图的走势，知模型①不合适．
1．用函数图象刻画实际问题的解题思路将实际问题中两个变量间变化的规律(如增长的快慢、最大、最小等)与函数的性质(如单调性、最值等)、图象(增加、减少的缓急等)相吻合即可．2．判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象．(2)验证法：当根据题意不易建立函数模型时，则根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案．
考向2 已知函数模型的实际问题——师生共研 (2022·云南昆明市第三中学期中)第19届亚洲运动会于2022年9月10日至2022年9月25日在浙江省杭州市举行，换上智慧脑、聪明肺的黄龙体育中心承办足球、体操、水球等项目．为了倡导绿色可循环的理念，场馆还配备了先进的污水、雨水过滤系统，已知过滤过程中废水污染物数量N(mg/L)与时间t的关系为N＝N0e－kt(N0为最初污染物数量)．如果前4小时消除了20%的污染物，那么污染物消除至最初的64%还需要( )A．3.6小时 B．3.8小时C．4小时 D．4.2小时
求解已给函数模型解决实际问题的关注点1．认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数．2．根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数．3．利用该模型求解实际问题．
〔变式训练1〕(2022·海南海口二模)在核酸检测时，为了让标本中DNA的数量达到核酸探针能检测到的阈值，通常采用PCR技术对DNA进行快速复制扩增数量．在此过程中，DNA的数量Xn(单位：μg/μL)与PCR扩增次数n满足Xn＝X0×1.6n，其中X0为DNA的初始数量．已知某待测标本中DNA的初始数量为0.1 μg/μL，核酸探针能检测到的DNA数量最低值为10 μg/μL，则应对该标本进行PCR扩增的次数至少为(参考数据：lg 1.6≈0.20，ln 1.6≈0.47)( )A．5 B．10C．15 D．20
考向3 构建函数模型解决实际问题——多维探究角度1 一次函数、二次函数分段函数模型
(1)试将自行车厂的利润y(单位：元)表示为关于月产量x的函数；(2)当月产量为多少辆时，自行车厂的利润最大？最大利润是多少？[解析] (1)依题设知，总成本为(20 000＋100x)元，
(1)分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其当作几个问题，将各段的变化规律分别找出来，再将其合到一起，要注意各段自变量的范围，特别是端点值．(2)构造分段函数时，要力求准确、简洁，做到分段合理不重不漏．
[解析] 设石片第n次“打水漂”时的速率为vn，则vn＝100×0.90n－1.由100×0.90n－1<60，得0.90n－1<0.6，则(n－1)ln 0.90
名师讲坛 · 素养提升
(1)求出2020年的利润S(万元)关于年产量x(百辆)的函数关系式；(利润＝销售额－成本)(2)当2020年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润．[解析] (1)由题意得当0
(1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(万件)的函数解析式；(注：年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本)(2)年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？[解析] (1)因为每件产品售价为5元，则x万件产品的销售收入为5x万元，依题意得：
第九讲 函数模型及其应用
知识梳理 · 双基自测
知识点 函数模型及其应用1．几类常见的函数模型
2．三种函数模型的性质
3.解函数应用问题的步骤(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识建立相应的数学模型；(3)解模：求解数学模型，得出数学结论；(4)还原：将数学问题还原为实际问题．
以上过程用框图表示如下：
题组一 走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数y＝2x的函数值比y＝x2的函数值大．( )(2)“指数爆炸”是指数型函数y＝a·bx＋c(a≠0，b>0，b≠1)增长速度越来越快的形象比喻．( )(3)幂函数增长比直线增长更快．( )
[解析] (1)当x＝－1时，2－1<(－1)2.(2)“指数爆炸”是针对b>1，a>0的指数型函数g(x)＝a·bx＋c.(3)幂函数增长速度是逐渐加快的，当变量较小时，其增长很缓慢，题目说的太绝对，也没有任何条件限制．
题组二 走进教材2．(必修1P140T6改编)某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计图如图所示，则下列说法中错误的是( )
A．收入最高值与收入最低值的比是31B．结余最高的月份是7月C．1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同D．前6个月的平均收入为40万元
3．(必修1P156T14改编)在某个物理实验中，测量得变量x和变量y的几组数据，如下表：则对x，y最适合的拟合函数是( )A．y＝2x B．y＝x2－1C．y＝2x－2 D．y＝lg2x
[解析] 根据x＝0.50，y＝－0.99，代入计算，可以排除A；根据x＝2.01，y＝0.98，代入计算，可以排除B、C；将各数据代入函数y＝lg2x，可知满足题意，故选D.
4．(必修1P161T8改编)某种动物繁殖量y只与时间x年的关系为y＝alg3(x＋1)，设这种动物第2年有100只，到第8年它们将发展到( )A．200只 B．300只C．400只 D．500只[解析] ∵繁殖数量y只与时间x年的关系为y＝alg3(x＋1)，这种动物第2年有100只，∴100＝alg3(2＋1)，∴a＝100，∴y＝100lg3(x＋1)，∴当x＝8时，y＝100lg3(8＋1)＝100×2＝200.故选A.
[解析] 对于A选项，当T＝220，P＝1 026，即lg P＝lg 1 026>lg 103＝3时，根据图象可知，二氧化碳处于固态；对于B选项，当T＝270，P＝128，即lg P＝lg 128∈(lg 102，lg 103)，即lg P∈(2,3)时，根据图象可知，二氧化碳处于液态；对于C选项，当T＝300，P＝9 987，即lg P＝lg 9 987
考向1 利用函数图象刻画实际问题的变化过程——自主练透 (1)(多选题)某“跑团”为了解团队每月跑步的平均里程，收集并整理了2022年1月至2022年11月期间“跑团”每月跑步的平均里程(单位：千米)的数据．绘制了下面的折线图．
根据折线图，下列结论正确的是( )A．月跑步平均里程的中位数为6月份对应的平均里程数B．月跑步平均里程逐月增加C．月跑步平均里程高峰期大致在9月和10月D．1月至5月的月跑步平均里程相对于6月至11月，波动性更小，变化比较平稳
(2)(2023·武汉模拟)在用计算机处理灰度图象(即俗称的黑白照片)时，将灰度分为256个等级，最暗的黑色用0表示，最亮的白色用255表示，中间的灰度根据其明暗渐变程度用0至255之间对应的数表示，这样可以给图象上的每个像素赋予一个“灰度值”．在处理有些较黑的图象时，为了增强较黑部分的对比度，可对图象上每个像素的灰度值进行转换，扩展低灰度级，压缩高灰度级，实现如下图所示的效果：
则下列可以实现该功能的一种函数图象是( )
[解析] (1)由折线图知，月跑步平均里程的中位数为5月份对应的平均里程数，A错误；月跑步平均里程不是逐月增加的，B错误；月跑步平均里程高峰期大致在9月和10月，C正确；1月至5月的月跑步平均里程相对于6月至11月，波动性更小，变化比较平稳，D正确．(2)根据图片处理过程中图象上每个像素的灰度值转换的规则可知，相对于原图的灰度值，处理后的图象上每个像素的灰度值增加，所以图象在y＝x上方，结合选项只有A选项能够较好的达到目的．
(3)由散点图的走势，知模型①不合适．
1．用函数图象刻画实际问题的解题思路将实际问题中两个变量间变化的规律(如增长的快慢、最大、最小等)与函数的性质(如单调性、最值等)、图象(增加、减少的缓急等)相吻合即可．2．判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象．(2)验证法：当根据题意不易建立函数模型时，则根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案．
考向2 已知函数模型的实际问题——师生共研 (2022·云南昆明市第三中学期中)第19届亚洲运动会于2022年9月10日至2022年9月25日在浙江省杭州市举行，换上智慧脑、聪明肺的黄龙体育中心承办足球、体操、水球等项目．为了倡导绿色可循环的理念，场馆还配备了先进的污水、雨水过滤系统，已知过滤过程中废水污染物数量N(mg/L)与时间t的关系为N＝N0e－kt(N0为最初污染物数量)．如果前4小时消除了20%的污染物，那么污染物消除至最初的64%还需要( )A．3.6小时 B．3.8小时C．4小时 D．4.2小时
求解已给函数模型解决实际问题的关注点1．认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数．2．根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数．3．利用该模型求解实际问题．
〔变式训练1〕(2022·海南海口二模)在核酸检测时，为了让标本中DNA的数量达到核酸探针能检测到的阈值，通常采用PCR技术对DNA进行快速复制扩增数量．在此过程中，DNA的数量Xn(单位：μg/μL)与PCR扩增次数n满足Xn＝X0×1.6n，其中X0为DNA的初始数量．已知某待测标本中DNA的初始数量为0.1 μg/μL，核酸探针能检测到的DNA数量最低值为10 μg/μL，则应对该标本进行PCR扩增的次数至少为(参考数据：lg 1.6≈0.20，ln 1.6≈0.47)( )A．5 B．10C．15 D．20
考向3 构建函数模型解决实际问题——多维探究角度1 一次函数、二次函数分段函数模型
(1)试将自行车厂的利润y(单位：元)表示为关于月产量x的函数；(2)当月产量为多少辆时，自行车厂的利润最大？最大利润是多少？[解析] (1)依题设知，总成本为(20 000＋100x)元，
(1)分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其当作几个问题，将各段的变化规律分别找出来，再将其合到一起，要注意各段自变量的范围，特别是端点值．(2)构造分段函数时，要力求准确、简洁，做到分段合理不重不漏．
[解析] 设石片第n次“打水漂”时的速率为vn，则vn＝100×0.90n－1.由100×0.90n－1<60，得0.90n－1<0.6，则(n－1)ln 0.90
名师讲坛 · 素养提升
(1)求出2020年的利润S(万元)关于年产量x(百辆)的函数关系式；(利润＝销售额－成本)(2)当2020年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润．[解析] (1)由题意得当0
(1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(万件)的函数解析式；(注：年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本)(2)年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？[解析] (1)因为每件产品售价为5元，则x万件产品的销售收入为5x万元，依题意得：
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