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新教材适用2024版高考数学一轮总复习第2章函数概念与基本初等函数Ⅰ第8讲函数与方程课件
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这是一份新教材适用2024版高考数学一轮总复习第2章函数概念与基本初等函数Ⅰ第8讲函数与方程课件，共60页。PPT课件主要包含了第八讲函数与方程，知识梳理·双基自测，名师讲坛·素养提升，考点突破·互动探究，fx＝0，fafb＜0，fc＝0，fafb0，一分为二，〔变式训练1〕等内容，欢迎下载使用。
知识梳理 · 双基自测
知识点一 函数的零点1．函数零点的定义对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使_______________成立的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点．注：函数的零点不是点．是函数f(x)与x轴交点的横坐标，而不是y＝f(x)与x轴的交点．
2．几个等价关系方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与_______有交点⇔函数y＝f(x)有_______.3．函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有_______________________，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得_______________，这个c也就是方程f(x)＝0的根．
知识点二 二分法1．对于在区间[a，b]上连续不断且_______________________的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间___________，使区间的两个端点逐步逼近_______，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．2．给定精确度ε，用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下：(1)确定区间[a，b]，验证f(a)·f(b)<0，给定精确度ε；(2)求区间(a，b)的中点c；
(3)计算f(c)；①若f(c)＝0，则c就是函数的零点；②若f(a)·f(c)<0，则令b＝c(此时零点x0∈(a，c))；③若f(c)·f(b)<0，则令a＝c(此时零点x0∈(c，b))．(4)判断是否达到精确度ε，即：若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复(2)(3)(4)．
1．有关函数零点的结论(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点．(2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．(3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号．
(4)由函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点不一定能推出f(a)·f(b)<0，如图所示．所以f(a)·f(b)<0是y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件．事实上，只有当函数图象通过零点(不是偶个零点)时，函数值才变号，即相邻两个零点之间的函数值同号．(5)若函数f(x)在[a，b]上单调，且f(x)的图象是连续不断的一条曲线，则f(a)·f(b)<0⇒函数f(x)在[a，b]上只有一个零点．
2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系
题组一 走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．( )(2)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在当b2－4ac<0时没有零点．( )(3)函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)·f(b)<0.( )(4)若f(x)在区间[a，b]上连续不断，且f(a)·f(b)>0，则f(x)在(a，b)内没有零点．( )(5)函数y＝2x与y＝x2只有两个交点．( )
[解析] (1)函数的零点是函数图象与x轴交点的横坐标．(2)当b2－4ac<0时，抛物线与x轴无交点，故没有零点．(3)函数图象若没有穿过x轴，则f(a)·f(b)>0.(4)若在区间[a，b]内有多个零点，f(a)·f(b)>0也可以．(5)y＝x2与y＝2x在y轴左侧一个交点，y轴右侧两个交点，如在x＝2和x＝4处都有交点．
题组二 走进教材2．(必修1P155T1改编)下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中的函数零点的是( )[解析] 对于选项C，由题图可知零点附近左右两侧的函数值的符号是相同的，故不能用二分法求解．
3．(必修1P144T2改编)(2022·武汉期末)函数f(x)＝3x＋x－2的零点所在的一个区间是( )A．(0,1) B．(1,2)C．(－2，－1) D．(－1,0)[解析] f(0)＝－1，f(1)＝2，故f(0)f(1)<0，由零点存在定理可知f(x)的零点所在的一个区间是(0,1)．
4．(必修1P146T2改编)用二分法求函数f(x)在区间(a，b)内的唯一零点时，精确度为0.001，则结果计算的条件是( )A．|a－b|<0.1 B．|a－b|<0.001C．|a－b|>0.001 D．|a－b|＝0.001[解析] 精确度为0.001，应满足的条件为|a－b|<0.001，故选B.
5．(必修1P155T2改编)为了求函数f(x)＝2x＋3x－7的一个零点，某同学利用计算器得到自变量x和函数f(x)的部分对应值(精确度0.1)如下表所示：则方程2x＋3x＝7的近似解(精确到0.1)可取为( )A．1.32 B．1.39C．1.4 D．1.3[解析] 通过上述表格得知函数唯一的零点x0在区间(1.375,1.437 5)内，故选C.
题组三 走向高考6．(2015·安徽)下列函数中，既是偶函数又存在零点的是( )A．y＝cs x B．y＝sin xC．y＝ln x D．y＝x2＋1[解析] y＝cs x是偶函数且有无数多个零点，y＝sin x为奇函数，y＝ln x既不是奇函数也不是偶函数，y＝x2＋1是偶函数但没有零点，故选A.
7．(2019·全国卷Ⅲ)函数f(x)＝2sin x－sin 2x在[0,2π]的零点个数为( )A．2 B．3 C．4 D．5[解析] f(x)＝2sin x－2sin xcs x＝2sin x(1－cs x)，令f(x)＝0，则sin x＝0或cs x＝1，所以x＝kπ(k∈Z)，又x∈[0,2π]，所以x＝0或x＝π或x＝2π.故选B.
考点突破 · 互动探究
考向1 确定函数零点所在区间——自主练透 (1)若函数f(x)的图象是连续不断的，且f(0)>0，f(1)·f(2)·f(4)<0，则下列命题正确的是( )A．函数f(x)在区间(0,1)内有零点B．函数f(x)在区间(1,2)内有零点C．函数f(x)在区间(0,2)内有零点D．函数f(x)在区间(0,4)内有零点
[解析] (1)因为f(1)·f(2)·f(4)<0，所以f(1)、f(2)、f(4)中至少有一个小于0.若f(1)<0，则在(0,1)内有零点，在(0,4)内必有零点；若f(2)<0，则在(0,2)内有零点，在(0,4)内必有零点；若f(4)<0，则在(0,4)内有零点．故选D.
确定函数零点所在区间的方法(1)解方程法：当对应方程f(x)＝0易解时，可先解方程，然后再看求得的根是否落在给定区间上．(2)利用函数零点的存在性定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点．(3)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断．
考向2 函数零点个数的确定——师生共研
(2)由函数y＝f(x)的性质，画出函数y＝f(x)的图象，如图，再作出函数y＝|lg x|的图象，由图可知，y＝f(x)与y＝|lg x|共有10个交点，故原函数有10个零点．
函数零点个数的判定有下列几种方法(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，那么有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理：利用该定理不仅要求函数在[a，b]上是连续的曲线，且f(a)·f(b)<0，还必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点．(3)数形结合法：利用函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的个数，从而判定零点的个数，或转化为两个函数图象交点个数问题．画两个函数图象，看其交点的个数有几个，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．
(2)设函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝ex＋x－3，则f(x)的零点个数为( )A．1 B．2 C．3 D．4
[解析] (1)由已知得
考向3 函数零点的应用——多维探究角度1 与零点有关的比较大小
角度2 已知函数的零点或方程的根求参数
在平面直角坐标系内，作出函数g(x)的图象如图所示，结合图象可知，当－1
1．比较零点大小常用方法：(1)确定零点取值范围，进而比较大小．(2)数形结合法．2．已知函数有零点(方程有根)求参数值常用的方法和思路：(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围．(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．(3)数形结合：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后观察求解．
〔变式训练2〕(1)(角度1)(2023·安徽蚌埠月考)已知函数f(x)＝3x＋x，g(x)＝lg3x＋x，h(x)＝x3＋x的零点依次为a，b，c，则a，b，c的大小关系为( )A．ab>c D．c>a>b
(2)画出函数f(x)的大致图象如图所示．因为函数f(x)在R上有两个零点，所以f(x)在(－∞，0]和(0，＋∞)上各有一个零点．当x≤0时，f(x)有一个零点，需00时，f(x)有一个零点，需－a<0，即a>0.综上，0
1．用二分法求函数零点的方法：定区间，找中点，中值计算两边看，同号去，异号算，零点落在异号间．周而复始怎么办？精确度上来判断．2．利用二分法求近似解需注意的问题(1)在第一步中：①区间长度尽量小；②f(a)，f(b)的值比较容易计算且f(a)·f(b)<0.(2)根据函数的零点与相应方程根的关系，求函数的零点与相应方程的根是等价的.
名师讲坛 · 素养提升
[解析] 因为函数f(x)满足f(2－x)＝f(x)，所以函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，又函数f(x)为偶函数，所以f(2－x)＝f(x)＝f(－x)，所以函数f(x)是周期为2的函数，
由图可知，函数f(x)与g(x)的图象在区间[－3,5]上有8个交点，且关于直线x＝1对称，
以函数图象、图象的变换方法及函数的零点等相关知识为基础，通过作图、想象，发现该问题的相关数学知识及其联系，快速解决该问题．
知识梳理 · 双基自测
知识点一 函数的零点1．函数零点的定义对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使_______________成立的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点．注：函数的零点不是点．是函数f(x)与x轴交点的横坐标，而不是y＝f(x)与x轴的交点．
2．几个等价关系方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与_______有交点⇔函数y＝f(x)有_______.3．函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有_______________________，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得_______________，这个c也就是方程f(x)＝0的根．
知识点二 二分法1．对于在区间[a，b]上连续不断且_______________________的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间___________，使区间的两个端点逐步逼近_______，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．2．给定精确度ε，用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下：(1)确定区间[a，b]，验证f(a)·f(b)<0，给定精确度ε；(2)求区间(a，b)的中点c；
(3)计算f(c)；①若f(c)＝0，则c就是函数的零点；②若f(a)·f(c)<0，则令b＝c(此时零点x0∈(a，c))；③若f(c)·f(b)<0，则令a＝c(此时零点x0∈(c，b))．(4)判断是否达到精确度ε，即：若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复(2)(3)(4)．
1．有关函数零点的结论(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点．(2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．(3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号．
(4)由函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点不一定能推出f(a)·f(b)<0，如图所示．所以f(a)·f(b)<0是y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件．事实上，只有当函数图象通过零点(不是偶个零点)时，函数值才变号，即相邻两个零点之间的函数值同号．(5)若函数f(x)在[a，b]上单调，且f(x)的图象是连续不断的一条曲线，则f(a)·f(b)<0⇒函数f(x)在[a，b]上只有一个零点．
2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系
题组一 走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．( )(2)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在当b2－4ac<0时没有零点．( )(3)函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)·f(b)<0.( )(4)若f(x)在区间[a，b]上连续不断，且f(a)·f(b)>0，则f(x)在(a，b)内没有零点．( )(5)函数y＝2x与y＝x2只有两个交点．( )
[解析] (1)函数的零点是函数图象与x轴交点的横坐标．(2)当b2－4ac<0时，抛物线与x轴无交点，故没有零点．(3)函数图象若没有穿过x轴，则f(a)·f(b)>0.(4)若在区间[a，b]内有多个零点，f(a)·f(b)>0也可以．(5)y＝x2与y＝2x在y轴左侧一个交点，y轴右侧两个交点，如在x＝2和x＝4处都有交点．
题组二 走进教材2．(必修1P155T1改编)下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中的函数零点的是( )[解析] 对于选项C，由题图可知零点附近左右两侧的函数值的符号是相同的，故不能用二分法求解．
3．(必修1P144T2改编)(2022·武汉期末)函数f(x)＝3x＋x－2的零点所在的一个区间是( )A．(0,1) B．(1,2)C．(－2，－1) D．(－1,0)[解析] f(0)＝－1，f(1)＝2，故f(0)f(1)<0，由零点存在定理可知f(x)的零点所在的一个区间是(0,1)．
4．(必修1P146T2改编)用二分法求函数f(x)在区间(a，b)内的唯一零点时，精确度为0.001，则结果计算的条件是( )A．|a－b|<0.1 B．|a－b|<0.001C．|a－b|>0.001 D．|a－b|＝0.001[解析] 精确度为0.001，应满足的条件为|a－b|<0.001，故选B.
5．(必修1P155T2改编)为了求函数f(x)＝2x＋3x－7的一个零点，某同学利用计算器得到自变量x和函数f(x)的部分对应值(精确度0.1)如下表所示：则方程2x＋3x＝7的近似解(精确到0.1)可取为( )A．1.32 B．1.39C．1.4 D．1.3[解析] 通过上述表格得知函数唯一的零点x0在区间(1.375,1.437 5)内，故选C.
题组三 走向高考6．(2015·安徽)下列函数中，既是偶函数又存在零点的是( )A．y＝cs x B．y＝sin xC．y＝ln x D．y＝x2＋1[解析] y＝cs x是偶函数且有无数多个零点，y＝sin x为奇函数，y＝ln x既不是奇函数也不是偶函数，y＝x2＋1是偶函数但没有零点，故选A.
7．(2019·全国卷Ⅲ)函数f(x)＝2sin x－sin 2x在[0,2π]的零点个数为( )A．2 B．3 C．4 D．5[解析] f(x)＝2sin x－2sin xcs x＝2sin x(1－cs x)，令f(x)＝0，则sin x＝0或cs x＝1，所以x＝kπ(k∈Z)，又x∈[0,2π]，所以x＝0或x＝π或x＝2π.故选B.
考点突破 · 互动探究
考向1 确定函数零点所在区间——自主练透 (1)若函数f(x)的图象是连续不断的，且f(0)>0，f(1)·f(2)·f(4)<0，则下列命题正确的是( )A．函数f(x)在区间(0,1)内有零点B．函数f(x)在区间(1,2)内有零点C．函数f(x)在区间(0,2)内有零点D．函数f(x)在区间(0,4)内有零点
[解析] (1)因为f(1)·f(2)·f(4)<0，所以f(1)、f(2)、f(4)中至少有一个小于0.若f(1)<0，则在(0,1)内有零点，在(0,4)内必有零点；若f(2)<0，则在(0,2)内有零点，在(0,4)内必有零点；若f(4)<0，则在(0,4)内有零点．故选D.
确定函数零点所在区间的方法(1)解方程法：当对应方程f(x)＝0易解时，可先解方程，然后再看求得的根是否落在给定区间上．(2)利用函数零点的存在性定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点．(3)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断．
考向2 函数零点个数的确定——师生共研
(2)由函数y＝f(x)的性质，画出函数y＝f(x)的图象，如图，再作出函数y＝|lg x|的图象，由图可知，y＝f(x)与y＝|lg x|共有10个交点，故原函数有10个零点．
函数零点个数的判定有下列几种方法(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，那么有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理：利用该定理不仅要求函数在[a，b]上是连续的曲线，且f(a)·f(b)<0，还必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点．(3)数形结合法：利用函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的个数，从而判定零点的个数，或转化为两个函数图象交点个数问题．画两个函数图象，看其交点的个数有几个，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．
(2)设函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝ex＋x－3，则f(x)的零点个数为( )A．1 B．2 C．3 D．4
[解析] (1)由已知得
考向3 函数零点的应用——多维探究角度1 与零点有关的比较大小
角度2 已知函数的零点或方程的根求参数
在平面直角坐标系内，作出函数g(x)的图象如图所示，结合图象可知，当－1
1．比较零点大小常用方法：(1)确定零点取值范围，进而比较大小．(2)数形结合法．2．已知函数有零点(方程有根)求参数值常用的方法和思路：(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围．(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．(3)数形结合：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后观察求解．
〔变式训练2〕(1)(角度1)(2023·安徽蚌埠月考)已知函数f(x)＝3x＋x，g(x)＝lg3x＋x，h(x)＝x3＋x的零点依次为a，b，c，则a，b，c的大小关系为( )A．a
(2)画出函数f(x)的大致图象如图所示．因为函数f(x)在R上有两个零点，所以f(x)在(－∞，0]和(0，＋∞)上各有一个零点．当x≤0时，f(x)有一个零点，需0
1．用二分法求函数零点的方法：定区间，找中点，中值计算两边看，同号去，异号算，零点落在异号间．周而复始怎么办？精确度上来判断．2．利用二分法求近似解需注意的问题(1)在第一步中：①区间长度尽量小；②f(a)，f(b)的值比较容易计算且f(a)·f(b)<0.(2)根据函数的零点与相应方程根的关系，求函数的零点与相应方程的根是等价的.
名师讲坛 · 素养提升
[解析] 因为函数f(x)满足f(2－x)＝f(x)，所以函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，又函数f(x)为偶函数，所以f(2－x)＝f(x)＝f(－x)，所以函数f(x)是周期为2的函数，
由图可知，函数f(x)与g(x)的图象在区间[－3,5]上有8个交点，且关于直线x＝1对称，
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