新教材适用2024版高考数学一轮总复习第3章导数及其应用第3讲第2课时导数与不等式恒能成立课件

这是一份新教材适用2024版高考数学一轮总复习第3章导数及其应用第3讲第2课时导数与不等式恒能成立课件，共27页。PPT课件主要包含了〔变式训练1〕等内容，欢迎下载使用。

第三讲　导数的综合应用第二课时　导数与不等式恒(能)成立
考点突破 · 互动探究
(2022·石家庄模拟)已知函数f(x)＝axex－(a＋1)(2x－1)．(1)若a＝1，求函数f(x)的图象在点(0，f(0))处的切线方程；(2)当x>0时，函数f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围．
[解析]　(1)若a＝1，则f(x)＝xex－2(2x－1)．即f′(x)＝xex＋ex－4，则f′(0)＝－3，f(0)＝2，所以所求切线方程为3x＋y－2＝0.
分离参数法解决恒成立问题的策略(1)分离变量．构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题．(2)a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max；a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min.
④当m≤0时，函数f(x)在(0,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，f(x)≥0恒成立的充要条件是f(2)≥0，解得m≥2ln 2－2，所以2ln 2－2≤m≤0.综上，实数m的取值范围是[2ln 2－2,0]．
对于不适合分离参数的不等式，常常将参数看作常数直接构造函数，常用分类讨论法，利用导数研究单调性、最值，从而得出参数范围．
〔变式训练2〕(2020·新高考全国Ⅰ卷)已知函数f(x)＝aex－1－ln x＋ln a.(1)当a＝e时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；(2)若f(x)≥1，求a的取值范围．[解析]　(1)当a＝e时，f(x)＝ex－ln x＋1，
所以当x＝1时，f(x)取得最小值，最小值为f(1)＝1，从而f(x)≥1.当a>1时，f(x)＝aex－1－ln x＋ln a≥ex－1－ln x≥1.综上，a的取值范围是[1，＋∞)．
[解析]　x∈(－∞，＋∞)且f′(x)＝ex＋1＋(x－1)·ex＋1＋2mx＝x(ex＋1＋2m)，当m>0时，因为ex＋1>0，所以ex＋1＋2m>0，所以当x>0时，f′(x)>0；
当x<0时，f′(x)<0.故f(x)在区间(－∞，0)上单调递减，在区间(0，＋∞)上单调递增，所以f(x)min＝f(0)＝－e.
1．存在型不等式成立主要是转化为最值问题如存在x1，x2∈[a，b]使f(x1)≤g(x2)成立⇔f(x)min≤g(x)max，转化为最值问题求解．2．如果一个问题的求解中既有“存在性”又有“恒成立”，那么需要对问题做等价转化，这里一定要注意转化的等价性、巧妙性，防止在转化中出错而使问题的求解出错．
〔变式训练3〕(2022·张掖模拟)已知函数f(x)＝2(x－1)ex.(1)若函数f(x)在区间(a，＋∞)上单调递增，求f(a)的取值范围；(2)设函数g(x)＝ex－x＋p.若存在x0∈[1，e]，使不等式g(x0)≥f(x0)－x0成立，求p的取值范围．[解析]　(1)由f′(x)＝2xex>0，得x>0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以a≥0，所以f(a)≥f(0)＝－2，所以f(a)的取值范围是[－2，＋∞)．