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新教材适用2024版高考数学一轮总复习第8章解析几何第5讲椭圆课件
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这是一份新教材适用2024版高考数学一轮总复习第8章解析几何第5讲椭圆课件，共60页。PPT课件主要包含了第五讲椭圆，知识梳理·双基自测，名师讲坛·素养提升，考点突破·互动探究，线段F1F2，c2＝a2－b2，x＋4y－3＝0等内容，欢迎下载使用。
知识梳理 · 双基自测
知识点一 椭圆的定义平面内与两个定点F1、F2的_________________________________的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的_________，两焦点间的距离叫做椭圆的_________.注：若集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a、c为常数，则有如下结论：
距离的和等于常数(大于|F1F2|)
(1)若a＞c，则集合P为_________；(2)若a＝c，则集合P为______________；(3)若a＜c，则集合P为_________.
知识点二 椭圆的标准方程和几何性质
题组二 走进教材2．(选择性必修1P115T6)如图所示，A是圆O内一定点，B是圆周上一个动点，AB的中垂线CD与OB交于点E，则点E的轨迹是( )A．圆 B．椭圆C．双曲线 D．抛物线
[解析] 由题意知，|EA|＋|EO|＝|EB|＋|EO|＝r(r为圆的半径)且r>|OA|，故E的轨迹为以O，A为焦点的椭圆，故选B.
考点突破 · 互动探究
(1)过点A(2,0)且与圆x2＋y2＋4x－32＝0内切的圆的圆心的轨 迹方程为_______________.(2)已知F1、F2分别是椭圆5x2＋9y2＝45的左、右焦点，P是椭圆上的动点，则|PF1|·|PF2|的最大值为______，若A(1,1)，则|PA|＋|PF1|的取值范围为___________________.
[解析] (1)将圆的方程化为标准形式为(x＋2)2＋y2＝36，圆心B(－2,0)，r＝6，设动圆圆心M的坐标为(x，y)，动圆与已知圆的切点为C.
[引申]本例(2)中，若将“A(1,1)”改为“A(2,2)”，则|PF1|－|PA|的最大值为______，|PF1|＋|PA|的最大值为______.[解析] ∵|PF2|＋|PA|≥|AF2|＝2(P在线段AF2上时取等号)，∴|PF1|－|PA|＝6－(|PF2|＋|PA|)≤4，∵|PA|－|PF2|≤|AF2|＝2，(当P在AF2延长线上时取等号)，∴|PF1|＋|PA|＝6＋|PA|－|PF2|≤8.
(1)椭圆定义的应用范围：①确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆．②解决与焦点有关的距离问题．(2)焦点三角形的应用：椭圆上一点P与椭圆的两焦点组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长；利用定义和余弦定理可求|PF1||PF2|；通过整体代入可求其面积等．
(1)求椭圆的方程多采用定义法和待定系数法，利用椭圆的定义定形状时，一定要注意常数2a>|F1F2|这一条件．(2)用待定系数法求椭圆标准方程的一般步骤：①作判断：根据条件判断焦点的位置；②设方程：根据焦点位置，设相应的椭圆标准方程．焦点不确定时，要注意分类讨论，或设方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠0)；③找关系：根据已知条件，建立关于a，b，c或m，n的方程组；④求解，得方程．可概括为先“定位”，再“定量”．
(2)(多选题)(2023·江苏如皋期中调研)油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1 000多年的历史，为宣传和推广这一传统工艺，某市文化宫于春分时节开展油纸伞文化艺术节．活动中，某油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示，该伞的伞沿是一个半径为1的圆，圆心到伞柄底端的距离为1，阳光照射油纸伞在地面上形成了一个椭圆形的影子(春分时，该市的阳光照射方向与地面的夹角为60°)，若伞柄底端正好位于该椭圆的左焦点位置，则( )
1．研究椭圆几何性质的步骤(1)将所给方程正确化成椭圆的标准形式．(2)根据方程判断出椭圆的焦点在哪个坐标轴上．(3)准确求出a，b进而求出椭圆的其他有关问题．
(2)椭圆离心率的范围问题一般借助几何量的取值范围(如|x|≤a，|y|≤b,0
判断直线与椭圆位置关系的方法(1)判断直线与椭圆的位置关系，一般转化为研究直线方程与椭圆方程组成的方程组解的个数．(2)对于过定点的直线，也可以通过定点在椭圆内部或椭圆上判定直线和椭圆有交点．
圆锥曲线“中点弦”问题的解法(1)点差法：若直线l与圆锥曲线C有两个交点A，B，一般地，首先设出A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入曲线方程，通过作差，构造出x1＋x2，y1＋y2，x1－x2，y1－y2，从而建立中点坐标和直线l斜率的关系求得．(2)根与系数的关系法：联立直线和圆锥曲线的方程得到方程组，消元得到一元二次方程后，由根与系数的关系及中点坐标公式求解．注意不要忽略对判别式的讨论．
直线被圆锥曲线截得弦长的方法(1)当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解．(2)“设而不求”，即联立直线和椭圆的方程，消去y(或x)得一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件，建立有关参变量的等量关系求解．
提醒：利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式．若直线的斜率不存在，可用方法(1)直接求解．
名师讲坛 · 素养提升
利用换元法求解与椭圆相关的最值问题
知识梳理 · 双基自测
知识点一 椭圆的定义平面内与两个定点F1、F2的_________________________________的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的_________，两焦点间的距离叫做椭圆的_________.注：若集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a、c为常数，则有如下结论：
距离的和等于常数(大于|F1F2|)
(1)若a＞c，则集合P为_________；(2)若a＝c，则集合P为______________；(3)若a＜c，则集合P为_________.
知识点二 椭圆的标准方程和几何性质
题组二 走进教材2．(选择性必修1P115T6)如图所示，A是圆O内一定点，B是圆周上一个动点，AB的中垂线CD与OB交于点E，则点E的轨迹是( )A．圆 B．椭圆C．双曲线 D．抛物线
[解析] 由题意知，|EA|＋|EO|＝|EB|＋|EO|＝r(r为圆的半径)且r>|OA|，故E的轨迹为以O，A为焦点的椭圆，故选B.
考点突破 · 互动探究
(1)过点A(2,0)且与圆x2＋y2＋4x－32＝0内切的圆的圆心的轨 迹方程为_______________.(2)已知F1、F2分别是椭圆5x2＋9y2＝45的左、右焦点，P是椭圆上的动点，则|PF1|·|PF2|的最大值为______，若A(1,1)，则|PA|＋|PF1|的取值范围为___________________.
[解析] (1)将圆的方程化为标准形式为(x＋2)2＋y2＝36，圆心B(－2,0)，r＝6，设动圆圆心M的坐标为(x，y)，动圆与已知圆的切点为C.
[引申]本例(2)中，若将“A(1,1)”改为“A(2,2)”，则|PF1|－|PA|的最大值为______，|PF1|＋|PA|的最大值为______.[解析] ∵|PF2|＋|PA|≥|AF2|＝2(P在线段AF2上时取等号)，∴|PF1|－|PA|＝6－(|PF2|＋|PA|)≤4，∵|PA|－|PF2|≤|AF2|＝2，(当P在AF2延长线上时取等号)，∴|PF1|＋|PA|＝6＋|PA|－|PF2|≤8.
(1)椭圆定义的应用范围：①确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆．②解决与焦点有关的距离问题．(2)焦点三角形的应用：椭圆上一点P与椭圆的两焦点组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长；利用定义和余弦定理可求|PF1||PF2|；通过整体代入可求其面积等．
(1)求椭圆的方程多采用定义法和待定系数法，利用椭圆的定义定形状时，一定要注意常数2a>|F1F2|这一条件．(2)用待定系数法求椭圆标准方程的一般步骤：①作判断：根据条件判断焦点的位置；②设方程：根据焦点位置，设相应的椭圆标准方程．焦点不确定时，要注意分类讨论，或设方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠0)；③找关系：根据已知条件，建立关于a，b，c或m，n的方程组；④求解，得方程．可概括为先“定位”，再“定量”．
(2)(多选题)(2023·江苏如皋期中调研)油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1 000多年的历史，为宣传和推广这一传统工艺，某市文化宫于春分时节开展油纸伞文化艺术节．活动中，某油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示，该伞的伞沿是一个半径为1的圆，圆心到伞柄底端的距离为1，阳光照射油纸伞在地面上形成了一个椭圆形的影子(春分时，该市的阳光照射方向与地面的夹角为60°)，若伞柄底端正好位于该椭圆的左焦点位置，则( )
1．研究椭圆几何性质的步骤(1)将所给方程正确化成椭圆的标准形式．(2)根据方程判断出椭圆的焦点在哪个坐标轴上．(3)准确求出a，b进而求出椭圆的其他有关问题．
(2)椭圆离心率的范围问题一般借助几何量的取值范围(如|x|≤a，|y|≤b,0
判断直线与椭圆位置关系的方法(1)判断直线与椭圆的位置关系，一般转化为研究直线方程与椭圆方程组成的方程组解的个数．(2)对于过定点的直线，也可以通过定点在椭圆内部或椭圆上判定直线和椭圆有交点．
圆锥曲线“中点弦”问题的解法(1)点差法：若直线l与圆锥曲线C有两个交点A，B，一般地，首先设出A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入曲线方程，通过作差，构造出x1＋x2，y1＋y2，x1－x2，y1－y2，从而建立中点坐标和直线l斜率的关系求得．(2)根与系数的关系法：联立直线和圆锥曲线的方程得到方程组，消元得到一元二次方程后，由根与系数的关系及中点坐标公式求解．注意不要忽略对判别式的讨论．
直线被圆锥曲线截得弦长的方法(1)当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解．(2)“设而不求”，即联立直线和椭圆的方程，消去y(或x)得一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件，建立有关参变量的等量关系求解．
提醒：利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式．若直线的斜率不存在，可用方法(1)直接求解．
名师讲坛 · 素养提升
利用换元法求解与椭圆相关的最值问题
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