2021届河南省南阳市第一中学校高三第三次月考理科数学试题

2021届河南省南阳市第一中学校高三第三次月考

理数试题

一、单选题（每小题5分，共60分）

1．已知集合,则中所含元素的个数为（  ）

A． B． C． D．

2．在△中，“”是“”的（）条件

A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分又非必要

3．要得到函数的图象，可以将函数的图象　　

A．向右平移个单位 B．向左平移个单位

C．向右平移个单位 D．向左平移个单位

4．以为始边作钝角，角的终边与单位圆交于点，将角的终边顺时针旋转得到角．角的终边与单位圆相交于点，则的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

5．在中，内角的对边分别为.若的面积为，且，，则外接圆的面积为（      ）

A． B． C． D．

6．设为定义在上的奇函数，当时，(为常数)，则不等式的解集为（    ）

A． B． C． D．

7．将函数的图象向左平移1个单位长度，得到函数的图象，则函数的图象大致是（      ）

A． B． C． D．

8．已知则的值为（     ）

A． B． C． D．

9．已知函数，若函数恰有三个零点，则实数的取值范围是（   ）

A． B． C． D．

10．若关于x的不等式的解集为，且中只有一个整数，则实数的取值范围是（  ）

A． B． C． D．

11．已知函数，当时，的取值范围为，则实数m的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

12．已知函数（），若使得在区间上为增函数的整数有且仅有一个，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

二、填空题（每小题5分，共20分）

13．，则的最大值为_____.

14．对于任意，当 时，恒有成立,则实数的取值范围是_____________

15．已知函数，其中为自然对数的底数.若不等式恒成立，则的最小值为_________.

16．已知函数，，若对，总有或成立，则实数的取值范围为________.

三、解答题（共70分）

17、（12分）已知函数．

（1）求在上的零点；（2）求在上的取值范围．

18、（12分） 在△ABC中，内角A，B， C的对边分别为a，b，c，己知b sin C＝csin

  （1）求B；（2）已知c＝2，AC边上的高BD＝，求a的值.

19、（12分）已知函数.

（1）当a＝1时，求曲线y＝在x＝2处的切线方程；

（2）当［－1，1］时，求函数的最小值.

20、（12分）已知函数在点处的切线与轴垂直．

（1）若a＝1，求的单调区间；

（2）若，成立，求的取值范围．

21、（12分）  己知函数.

 （1)若f（x）有两个极值点，求实数m的取值范围：

  (2)若函数有且只有三个不同的零点，分别记为x1，x2，x3，设x1＜x2＜x3，且的最大值是e2，求x1x3的最大值．

选做题（22,23题二选一，并在答题卡相应位置涂黑，若不涂默认为选择22题）

22、（10分）在新中国成立70周年国庆阅兵庆典中，众多群众在脸上贴着一颗红心，以此表达对祖国的热爱之情．在数学中，有多种方程都可以表示心型曲线，其中有著名的笛卡尔心型曲线．如图，在直角坐标系中，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．图中的曲线就是笛卡尔心型曲线，其极坐标方程为ρ＝1﹣sinθ（p＝1﹣sinθ，ρ＞0），M为该曲线上的任意一点．

（1）当｜OM｜＝时，求M点的极坐标；

（2）将射线OM绕原点O逆时针旋转与该曲线相交于点N，求|MN|的最大值．

23、（10分）已知，且．

（1）求的最大值；

（2）证明：．

高三理数第三次月考详细参考答案

1．D【解析】列举法得出集合，共含个元素．故选

2．A【详解】在中，由，因为，可得，所以当时，是成立的，即充分性成立；反之：例如，此时，即必要性不一定成立.所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A

3．A【解析】直接利用三角函数关系式的恒等变变换和图象的平移变换和伸缩变换的应用求出结果．【详解】函数的图象，转换为：，将函数的图象向右平移个单位，得到的图象．故选A．

4．D【详解】根据三角函数的定义得,由于角的终边顺时针旋转得到角，故,所以，所以

因为，所以，所以，即.

5．D【详解】由余弦定理得，，

所以又，，

所以有，即，所以，

由正弦定理得，，得所以外接圆的面积为．答案选D．

6．D【详解】因为是定义在上的奇函数，所以，解得，所以，当时，．当时，函数和在上都是增函数，所以在上单调递增，由奇函数的性质可知，在上单调递增，因为，故，即有，解得．故选：D．

7．B【详解】．

因为，即，所以为奇函数，排除A；

令，解得，即有唯－的零点，排除C；

由解析式可知，排除D．只有B符合条件．故选：B．

8．C详解：∵已知，∴sin（θ+）=，

设α=θ+，则θ=α﹣，且cosα=，sinα=，则tanα=，则tan2α=，则=tan[2（α﹣）+]=tan（2α﹣）=故答案为：C

9．C【详解】函数的图象如图所示, 

①当直线与曲线相切于点时, , 

故当或时,直线与函数的图象恰有一个交点, 当时,直线与函数的图象恰有两个交点, 

②当直线与曲线相切时,设切点为,则, 

,解得,或,，

当时,直线与函数的图象恰有一个交点, 

当或时,直线与函数的图象恰有两个交点, 

当时,直线与函数的图象恰有三个交点, 

综上的取值范围是.故选：C.

10．C【详解】由题意设g（x）＝xex，y＝ax﹣a，

∵g′（x）＝（x+1）ex，∴g（x）在（﹣∞，﹣1）递减，在（﹣1，+∞）递增，

∴g（x）min＝g（﹣1），∵y＝ax﹣a恒过定点P（1，0），

∴结合函数图象得，KPA≤a＜KPB，又A（﹣2，），B（﹣1，），

∴KPA，KPB，即a，故选C．

11．C【详解】当时，，

令，则；，则，∴函数在单调递增，在单调递减.∴函数在处取得极大值为，∴时，的取值范围为，∴又当时，令，则，即，∴综上所述，的取值范围为.故选C.

12．D【详解】因为在区间上为增函数，

所以可得（），可得（），

当时，满足整数至少有1，2，舍去

当时，由（1），时，，

由（2）时，，要使整数有且仅有一个，需，

解得，所以实数的取值范围为，故选：D

13．【详解】令，，则，

又，即，故为半径为的半圆面积，故；又是奇函数，根据定积分性质，则.故.则，

，故当时，，单调递增；当时，，单调递减.故.故答案为：

14．【详解】对于任意∈，当＞时，恒有a（ln﹣1n）＜2（

﹣）成立，即恒有aln﹣2＜a1n﹣成立，令f（x）＝alnx﹣2x，则f（x）在上为减函数，则f′（x）0在上恒成立，∴a≤2x在上恒成立，

即a≤4．∴实数a的取值范围是．故答案为．

15．【详解】首先，，

由，得，在上单调递增，在上单调递减，

所以当时，取最大，

令，得在上单调递减，在上单调递增，

故的最小值为.，即的最小值为.故答案为：.

16．【详解】由，得，故依题只须对任意，恒成立，，其中，，

只须．令，，（1），

，在单调递减，（1）在，单调递减，（1），．故答案为：

17、解：（1），．

令，即，则，，得，，

由于，令，得；令，得．

所以，在上的零点为，．

（2）由，则．所以，，

故在上的取值范围是．

18、

20、解：（1），由题，解得，由a＝1，得b=1.

因为的定义域为，所以，

故当时，，为增函数，当时，，为减函数，

（2）由（1）知b＝2－a，

所以.

（i）若，则，在上都为增函数，且，

所以，，不合题意，舍去；

（ii）若，则，为增函数，且，

所以，，不合题意，舍去；

（iii）若，则且，

故当时，，为增函数，当时，，为减函数，当时，，为增函数，

由题只需即可，即，解得，

而由，且，得．

综上所述，a的取值范围是

21、解：（1）由题意得，x>0．由题知=0有两个不等的实数根，

即有两个不等的实数根．  ……………………………………………2分

令，则．由>0，解得，故在(0，e)上单调递增；

由<0，解得x>e，故在(e，+∞)上单调递减；故在x=e处取得极大值，且，  结合图形可得.

∴当函数f(x)有两个极值点时，实数m的取值范围是(0，)．   …………5分

（2）因为g(x)=xlnx-mx2-elnx+mex=(x-e)(lnx-mx)，显然x=e是其零点．

由（1）知lnx-mx=0的两个根分别在(0，e)，(e，+∞)上，

∴g(x)的三个不同的零点分别是x1，e，x3，且0<x1<e，x3>e． …………6分

令，则t∈．

则由解得

故，t∈．…………………………8分

令，则．

令，则．

所以在区间上单调递增，即>．   …………………11分

所以，即在区间上单调递增，

即≤=，

所以，即x1x3≤.

所以x1x3的最大值为．   ……………………………………………12分

22、

23、【解】（1）

．当且仅当取“＝”．

所以，的最大值为．

（2）

     ．

当且仅当取“＝”．…………………… 10分