2021届河南省南阳市第一中学校高三上学期第四次月考数学（理）试题

这是一份2021届河南省南阳市第一中学校高三上学期第四次月考数学（理）试题，共9页。试卷主要包含了设集合，，则，已知，设为等差数列的前项和，，，则等内容，欢迎下载使用。
南阳市一中2020年秋期高三第四次月考理数试题一．选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）1．设集合，，则（    ）A． B． C． D．2．已知：“函数在上是增函数”，：“”，则是的（    ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件3．设为等差数列的前项和，，，则（     ）A．-6 B．-4 C．-2 D．24．平面向量,,则向量在向量方向上的投影为（    ）A． B．1 C． D．5．如果满足，，的有两个，那么x的取值范围为（      ）A． B．       C． D．6．已知当时，取得最大值，则下列说法正确的是（    ）A．是图像的一条对称轴 B．在上单调递增C．当时，取得最小值 D．函数为奇函数7．已知为定义在上的奇函数，，且对任意的，当时，，则不等式的解集为A． B． C． D．8．已知正方形的边长为，以为圆心的圆与直线相切.若点是圆上的动点，则的最大值是（    ）A． B． C． D．9．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，，已知函数，则函数的值域是（    ）A． B． C． D．10．已知数列的通项公式是，其中 的部分图像如图所示，为数列的前n项和，则的值为（    ）A．－1          B．0         C．        D．11．已知函数定义域为，且函数的图象关于直线对称．当时，，（其中是的导函数），若，，，则，，的大小关系是（    ）A． B． C． D．12．已知函数，下面是关于此函数的有关命题，其中正确的有（    ）①函数是周期函数；        ②函数既有最大值又有最小值；③函数的定义域为，且其图象有对称轴；④对于任意的，（是函数的导函数）A．②③ B．①③ C．②④ D．①②③ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知实数满足约束条件，则的最大值是______.14．已知函数为奇函数，则实数a的值为______.15．已知，等差数列的前项和为，且，则的值为___________.16．在四边形中，，，，则四边形的对角线的最大值为______.三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答题写出必要的文字说明、推理和演算步骤.）17．已知函数，，且.（1）求函数的最小正周期；（2）若函数在区间上有两个不同的零点，求实数的范围.18．在中，角所对的边分别为，且.（1）求角； （2）若是的中点，且，，求的周长.19．记是正项数列的前项和，是和的等比中项.（1）求数列的通项公式；（2）记，求数列的前项和.20．已知数列的前项和为，若，．（Ⅰ）求证：数列是等差数列；   （Ⅱ）求数列的前项和．21．已知函数，.（1）求函数的单调区间；（2）当时，若恒成立，求实数的取值范围.22．已知函数，.（1）求的单调区间；（2）当时，证明：；（3）证明：.（参考数据：自然对数的底数）                 南阳市一中2020年秋期高三第四次月考理数试题答案1．B 2．B 3．A 4．A 5．C 6．B 7．C 8．D 9．A 10．D 11．D 12．A13．  14．  15．  16．17．（1）依题意得，，故函数的最小正周期为.（2）由函数在区间上有两个不同的零点，则方程在区间上有两个相异的实根，令，则的图象与直线在区间上有两个交点，由，可得，令，得，因为函数在上单调递增，在上单调递减，所以在上单调递增，在上单调递减，且，，，画出在区间上的图象，如下图，当，即时，的图象与直线在区间上有两个不同交点.故实数的取值范围是.18．（1）由题意，因为，可得.所以，即，因为，所以，所以.（2）因为为的中点，所以在中，因为，，所以.在中，因为，，所以.因为，所以，即，即 ①在中，由余弦定理可得，即②联立①②，解得.故的周长为. 19．（1）因为是和的等比中项，所以①，当时，②，由①②得：，化简得，即或者（舍去），故，数列为等差数列，因为，解得，所以数列是首项为、公差为的等差数列，通项公式：.（2）∵ ，∴.20．解：（Ⅰ）证明：由题意得，，，．又，数列是以1为首项，1为公差的等差数列．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，，则，，，①   则，②①②得，，．21．（1）函数的定义域为，，令，得.    当时，；当时，.所以，函数的单调递减区间为，单调递增区间为；（2）若恒成立，即恒成立时，，即，即，设，则，①当时，，则当时，，函数在上单调递增，此时，即成立，所以，符合题意；②当时，，则当时，，函数在区间上单调递减，则，不合乎题意.综上所述，实数的取值范围是.22．（1）解：函数的定义域为，又∵，∴当时，，当时，，∴的单调减区间为，单调增区间为；（2）证明：要证明，即证明.设，故，，当时，，故在递增.故，在递增，故恒成立，故当时，即有；（3）证明：（，）.即证明，由（1）可知在单调递增，故对于恒成立，∵，，，∴，而依据第（2）问，当时，，故时，，故又∵，∴，即，故，∴（，）.