2021届湖南省常德市一中高三上学期第二次月考数学试题（解析版）

2021届湖南省常德市一中高三上学期第二次月考数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】先求集合，，再根据集合交集运算即可得答案.

【详解】

解：由于，，

所以.

故选：A.

【点睛】

本题考查集合的交集运算，是基础题.

2．若复数满足，则复平面内表示的点位于（    ）

A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限

【答案】A

【解析】化简复数，得到复数表示的点的坐标为，即可求解.

【详解】

由题意，复数，可得，

所以在复平面内复数表示的点的坐标为，位于第四象限.

故选：A.

【点睛】

本题主要考查了复数的运算法则，以及复数的表示方法及其几何意义，其中解答中熟记复数的运算法则是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

3．已知，则

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】运用中间量比较，运用中间量比较

【详解】

则．故选B．

【点睛】

本题考查指数和对数大小的比较，渗透了直观想象和数学运算素养．采取中间变量法，利用转化与化归思想解题．

4．已知，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】利用诱导公式，求得的值，再利用二倍角的余弦公式，求得的值.

【详解】

∵，

则.

故选：D.

【点睛】

本题考查利用诱导公式，二倍角的余弦公式求值，属于中档题.

5．函数的图象大致为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】利用函数的奇偶性排除C和D，代入特值排除B，可得选项．

【详解】

是偶函数，排除C和D

又，排除B

故选：A

【点睛】

本题考查函数的图象，考查函数奇偶性的应用，属于基础题．

6．向量，，为第三象限角，且，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由平面向量平行的性质可得，再由同角三角函数的平方关系可得，结合诱导公式可得，即可得解.

【详解】

因为向量，，且，

所以，所以，

所以，

又为第三象限角，所以，

所以.

故选：D.

【点睛】

本题考查了平面向量平行、同角三角函数的平方关系及诱导公式的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.

7．《张丘建算经》有一道题大意为：今有十等人，每等一人，宫赐金，依等次差(即等差)降之，上三人先入，得金四斤，持出，下四人后入得金三斤，持出，中间三人未到者，亦依等次更给，则每等人比下一等人多得（    ）斤？

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】根据题意将毎等人所得的黄金斤数构造等差数列，设公差为d，根据题意和等差数列的前n项和公式列出方程组，求出公差d即可得到答案．

【详解】

设第十等人得金a1斤，第九等人得金a2斤，以此类推，第一等人得金a10斤，则数列{an}构成等差数列，设公差为d，则每一等人比下一等人多得d斤金，

由题意得,即，

解得，

∴每一等人比下一等人多得金．

故选：B

【点睛】

本题主要考查了等差数列的定义，前n项和公式在实际问题中的应用，以及方程思想，属于容易题．

8．设函数，其中 ，若存在唯一的整数，使得，则的取值范围是（   ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】设，，问题转化为存在唯一的整数使得满足，求导可得出函数的极值，数形结合可得且，由此可得出实数的取值范围.

【详解】

设，，

由题意知，函数在直线下方的图象中只有一个点的横坐标为整数，

，当时，；当时，.

所以，函数的最小值为.

又，.

直线恒过定点且斜率为，

故且，解得，故选D.

【点睛】

本题考查导数与极值，涉及数形结合思想转化，属于中等题.

二、多选题

9．(多选题)下列四个条件，能推出＜成立的有（    ）

A．b＞0＞a B．0＞a＞b

C．a＞0＞b D．a＞b＞0

【答案】ABD

【解析】运用不等式的性质以及正数大于负数判断.

【详解】

因为＜等价于，

当a＞b，ab＞0时，＜成立，故B、D正确.

又正数大于负数，A正确，C错误，

故选：ABD.

【点睛】

本题主要考查不等式的基本性质，属于基础题.

10．已知，函数在上单调递减，则的可能取值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】BCD

【解析】由题意利用正弦函数的单调区间，列不等式求出的范围，可得结论．

【详解】

当，，，，

时函数在上单调递减，

且，，

时，且，求得，

故选：．

【点睛】

本题主要考查正弦函数的单调性，考查对基础知识的掌握与灵活应用，属于基础题．

11．已知函数，当时，的取值范围为，则取下列哪些值时符合题意（    ）

A．-2 B．4 C．6 D．10

【答案】ABC

【解析】先讨论时，时，单调递增，时，单调递减，，进而得，再讨论时，则需满足，故的取值范围为，进而得答案.

【详解】

解：当时，，，

令得，

所以当时，，时，，

所以当时，单调递增，时，单调递减，

所以当时，，

所以当时，的取值范围为，则

当时，，的取值范围依然为，

则需要满足，即，

综上，的取值范围为.

所以ABC均满足，D不满足.

故选：ABC

【点睛】

本题考查利用导数研究函数的最值问题，考查分类讨论思想，是中档题.

12．若二次函数的图象和直线无交点，现有下列结论：

①方程一定没有实数根；

②若，则不等式对一切实数x都成立；

③若，则必存在实数，使；

④函数的图象与直线一定没有交点.

其中，正确的是（    ）

A．① B．② C．③ D．④

【答案】ABD

【解析】函数的图象与直线没有交点，所以或恒成立.

因为或恒成立，然后再逐一判断即可得出答案.

【详解】

因为函数的图象与直线没有交点，

所以或恒成立.

因为或恒成立，

所以没有实数根，故①正确；

若，则不等式对一切实数x都成立，故②正确；

若，则不等式对一切实数x都成立，

所以不存在实数，使，故③错误；

由函数与的图象关于y轴对称，

所以和直线也一定没有交点. 故④正确，

故选：ABD

【点睛】

本题考查命题真假的判断，考查二次函数的性质，考查恒成立问题，属于中档题.

三、填空题

13．命题“对任何，”的否定是________．

【答案】存在，

【解析】对于“任何”，其否定为“存在”，对于后半部分，否定为“”，故答案为“存在，”.

14．化简_________.

【答案】

【解析】利用分数指数幂运算法则、分数指数幂与根式的互化，进行求解运算.

【详解】

原式

故答案为：

【点睛】

本题考查分数指数幂运算，考查运算求解能力，求解时注意立方差公式的应用，属于基础题.

15．已知，且，则的值为_____

【答案】.

【解析】先利用正切两角和公式求出，再利用二倍角公式求出，最后根据正切的两角差公式计算出，最后根据角的范围确定出的值.

【详解】

解：因为，所以.又因为，所以.

所以.

因为，所以，所以.

故答案为：.

【点睛】

本题考查三角函数求值，关键是和差角公式的灵活应用，属于中档题.

16．已知，方程有四个实根，则t的范围为_________.

【答案】

【解析】由条件有，分析出函数的单调性，作出图象，根据图形结合条件，则方程有两个不同的实根，且，，从而由二次方程根的分布条件得出答案.

【详解】

，

当时，，，易知在上是增函数.

当时，，，

故在上是增函数；在上是减函数，作其图象如下，

且，

故若方程有四个实数根，

则方程有两个不同的实根，且，，

又方程没有0根.

故，解得.

故答案为：

【点睛】

本题考查了根的存在性以及根的个数的判断，考查利用函数导数分析函数的单调性，考查数形结合的思想，属于中档题.

四、解答题

17．设集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}．

（1）若B⊆A，求实数m的取值范围；

（2）当x∈R时，不存在元素x使x∈A与x∈B同时成立，求实数m的取值范围．

【答案】(1) m≤3;(2) {m|m＜2或m＞4}.

【解析】试题分析：(1)根据B是A的子集,分别讨论集合B是空集和不是空集两类,限制端点的大小关系,列出不等式组,解出m的范围;(2) 根据不存在元素x使x∈A与x∈B同时成立,分别讨论集合B是空集和不是空集两类,限制端点的大小关系,列出不等式组,解出m的范围

试题解析:（1）当m＋1＞2m－1，即m＜2时，B＝∅，满足B⊆A．

当m＋1≤2m－1，即m≥2时，要使B⊆A成立，

只需，即2≤m≤3．

综上，当B⊆A时，m的取值范围是{m|m≤3}．

（2）∵x∈R，且A＝{x|－2≤x≤5}，

B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，

又不存在元素x使x∈A与x∈B同时成立，

∴当B＝∅，即m＋1＞2m－1，得m＜2时，符合题意；

当B≠∅，即m＋1≤2m－1，得m≥2时，

或，解得m＞4．

综上，所求m的取值范围是{m|m＜2或m＞4}．

18．已知是数列的前项和，且满足．

（1）证明为等比数列；

（2）求数列的前项和．

【答案】(1)见证明；(2)

【解析】（1）当时，，求得首项为3，由题意可得，运用等比数列的定义即可得证；

（2）运用等比数列的通项公式可得，再由数列的求和方法：分组求和，结合等比数列和等差数列的求和公式，化简即可得到所求和．

【详解】

解：（1）证明：当时，，，

可得，

转化为：，

即，

所以

注意到，

所以为首项为4，公比为2等比数列；

（2）由（1）知：，

所以，

于是

．

【点睛】

本题考查等比数列的定义和通项公式的运用，考查数列的求和方法：分组求和，同时考查等差数列的求和公式的运用，考查化简整理的运算能力，属于中档题．

19．已知函数f（x）=2sinωxcosωx+2sin2ωx﹣（ω＞0）的最小正周期为π．

（1）求函数f（x）的单调增区间；

（2）将函数f（x）的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数y=g（x）的图象，若y=g（x）在[0，b]（b＞0）上至少含有10个零点，求b的最小值．

【答案】（1）；（2）.

【解析】试题分析：(1)第一步根据降幂公式，化简，第二步，对降幂后的式子，再根据辅助角公式化简，得到，令，得到函数的单调递增区间;（2）根据三角函数的图像变换规律，“左＋右－，上＋下－”，得到函数，令，得到的值，根据的取值集合，只需大于等于 10个点的横坐标即可.

试题解析：（1）由题意得f（x）=2sinωxcosωx+2sin2ωx﹣=sin2ωx﹣cos2ωx=2sin（2ωx﹣），由最小正周期为π，得ω=1，

所以，

由，整理得，

所以函数f（x）的单调增区间是．

（2）将函数f（x）的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到y=2sin2x+1的图象，所以g（x）=2sin2x+1，

令g（x）=0，得或，

所以在[0，π]上恰好有两个零点，若y=g（x）在[0，b]上有10个零点，

则b不小于第10个零点的横坐标即可，即b的最小值为．

【考点】1.三角恒等变换；2.单价函数的性质；3.三角函数的图像变换.

【方法点睛】本题考查了三角函数的恒等变换以及三角函数图像的问题，属于基础题型，重点说说对于（1）所考查到的三角恒等变换的问题，比较常见，所使用的公式包括，，，降幂后采用辅助角公式化简，，其中，这样函数就可以化简为.

20．在淘宝网上，某店铺专卖当地某种特产.由以往的经验表明，不考虑其他因素，该特产每日的销售量y（单位：千克）与销售价格x（单位：元/千克，）：当时满足关系式， （为常数）；当时满足关系式.已知当销售价格为2元/千克时，每日可售出该特产700千克；当销售价格为3元/千克时，每日可售出该特产150千克

（1）求的值，并确定y关于x的函数解析式；

（2）若该特产的成本为1元/千克，试确定销售价格x的值，使店铺每日销售该特产所获利润最大.（x精确到0.01元/千克）

【答案】(1)答案见解析；(2)销售价格元/千克时，每日利润最大.

【解析】(1)由题意得到关于实数a,b的方程组，求解方程组可得，

则每日的销售量；

(2)利用(1)中的结论求得利润函数，然后讨论可得：销售价格元/千克时，每日利润最大.

【详解】

（1）因为x=2时，y=700；x=3时，y=150，所以

解得

每日的销售量；

（2）由（1）知，

当时：

    每日销售利润

（）

当或时

当时，单增；当时，单减.

是函数在上的唯一极大值点， ；

当时：每日销售利润=

在有最大值，且 .           

综上，销售价格元/千克时，每日利润最大.

21．如图，在中，，，是边上一点.

（1）求面积的最大值；

（2）若，的面积为4，为锐角，求的长.

【答案】（1）；（2）.

【解析】试题分析：（1）根据已知条件建立面积的关系式，利用基本不等式求最值即可；（2）结合正余弦定理即可求解.

试题解析：（1）∵在中，，，是边上一点，

∴由余弦定理，得

.

∴，∴，

∴面积的最大值为；

（2）设，在中，

∵，的面积为，为锐角，

∴，∴，，

由余弦定理，得，

∴

【考点】1.正余弦定理解三角形；2.不等式求最值．

22．已知函数（a为实常数）

（1）当时，求函数在上的最大值及相应的x值；

（2）当时，讨论方程的根的个数；

（3）若，且对任意的，都有，求实数a的取值范围.

【答案】（1）函数在上的最大值为，相应的x值为e；（2）答案不唯一，具体见解析；（3）实数a的取值范围不存在.

【解析】（1）当时，求得函数的导数，求得函数的单调性，进而求得函数的最值；

（2）求得函数的导数，分和讨论函数的单调性，特别注意当时，求出函数在上的最小值及端点处的函数值，然后根据最小值和的值的符号，讨论在时，方程的零点；

（3）当时，得出在上为增函数，把，转化为，构造函数，由该函数为减函数，得到在恒成立，分离参数利用函数的单调性，即可求解.

【详解】

（1）当时，，函数的定义域为，

可得，

当时，，当时，，

所以函数在上为减函数，在上为增函数，

，，

所以函数在上的最大值为，相应的x值为e.

（2）由，得.

若，则在上，函数在上为增函数，

由知，方程的根的个数是0；

若，由，得（舍）或，

若，即，在上为增函数，

由知，方程的根的数是0；

若，即，在上为减函数，

又，，

所以方程在上有1个实数根；

若，即，

在上为减函数，在上为增函数，

又，，

.

当，即时，，方程在上的根的个数是0；

当时，方程在上的根的个数是1；

当时，，，

方程在上的根的个数是2；

当时，，，

方程上的根的个数是1.

（3）若，由（2）知，函数在上为增函数，

不妨设，则，即为，

由此说明函数在上单调递减，所以，对恒成立，即对恒成立，

而在上单调递减，所以.

所以满足，且对任意的，

都有成立的实数a的取值范围不存在.

【点睛】

本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及函数的零点与恒成立问题的求解，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对于恒成立问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．