高中人教A版 (2019)3.2 函数的基本性质教案设计

《函数的单调性》教学设计

1．能在用自然语言、图象语言描述函数单调性的基础上，用符号语言刻画函数的单调性，提升直观想象素养和数学抽象素养．

2．对简单函数，能根据解析式求出函数的单调区间；能根据单调性的定义证明简单函数的单调性；提升数学逻辑推理素养．能将函数单调性的证明转化为程序化的运算问题，提升数学运算素养．

3．体会函数图象是研究函数性质的一种重要工具，能从函数的图象中发现函数的性质，并在这个过程中能进行直观与抽象的转化．

教学重点：函数单调性的概念、判断及证明．

教学难点：“函数值随自变量的增大而增大（减小）”转化为符号化的不等式语言．

用软件制作动画；PPT课件．

问题1：阅读课本引言的内容，回答下列问题：

（1）为什么要研究函数的性质？

（2）什么叫函数的性质？

（3）函数的性质主要有哪些？

（4）如何发现函数的性质？

师生活动：学生带着问题阅读课本，老师指导学生概括节引言的内容．

预设的答案：（1）通过研究函数的变化规律来把握客观世界中事物的变化规律；（2）变化中的不变性就是性质，变化中的规律性也是性质；（3）比如随着自变量的增大函数值是增大还是减小，有没有最大值或最小值，函数图象的对称性等；（4）先画出函数图象，通过观察和分析图象的特征，可以发现函数的一些性质．

设计意图：明确研究对象，初步构建研究框架．

二、问题导入

问题2：观察图1、图2、图3中的函数图象，你能说说图1与图2（或图3）的区别吗？

师生活动：学生读图并比较，指出图1的图象是一直上升，而图2，3有升有降．老师指出：在叙述函数图象特征时要按照一定的标准，即应沿x轴正方向，从左向右观察图象的变化趋势．

预设的答案：图1的特点是：从左至右始终保持上升；图2与图3的特点是：从左至右有升也有降．

设计意图：直接引出课题，形成对单调性的直观感受．

引语：当下很重要，趋势更重要．这节课我们就来一起学习反映函数变化趋势的性质—函数的单调性．（板书：函数的单调性）

三、新知探究

1．定性刻画函数的单调性

问题3：你能用函数的观点叙述图象从左至右上升（下降）吗？

师生活动：学生根据初中学习经验和对图象的观察分析，能描述“y随着x的增大而增大（减小）”．老师在“如何观察”上加强启发和引导．比如：“从左到右”其实就是自变量x不断增大，“上升（下降）”就是函数值y不断增大（减小）．

预设的答案：用函数的观点看，就是函数值随着自变量的增大而增大（减小）．

教师点拨：函数值随着自变量的增大而增大（减小）的性质叫做函数的单调性．

设计意图：将图形语言转化为函数语言，为后续定量刻画做准备．

2．定量刻画函数的单调性

问题4：如何用符号语言准确刻画函数值随自变量的增大而增大（减小）呢？

师生活动：这是一个高度抽象的问题，学生可能一下子无从下手，老师要为学生搭好思维的“脚手架”，从具体问题入手，一步步解决抽象问题．

追问1：你能说说函数f(x)＝x2的单调性吗？（画出它的图象，如图4，由图可知：当x＜0时，y随着x的增大而减小，就说f(x)＝x2在区间(－∞，0]上是单调递减的；当x＞0时，y随着x的增大而增大，就说f(x)＝x2在区间[0，＋∞)上是单调递增的．）

追问2：如何用数量关系精确刻画“在区间[0，＋∞)上，f(x)＝x2的函数值随自变量的增大而增大”？（借助软件，在y轴右侧任意改变A，B的位置，只要点A的横坐标大于点B的横坐标，就会有点A的纵坐标大于点B的纵坐标．将图象上的规律用函数的解析式表示出来，就可以得到函数f(x)＝x2在区间[0，＋∞)上满足：若x1，x2∈[0，＋∞)且x1＜x2，就有f(x1)＜f(x2)．）

追问3：虽然上述改变A，B的位置是随意的，但我们不能穷举所有的点，为了确保结论f(x1)＜f(x2)的正确性，你能尝试着给出它的证明吗？（∀x1，x2∈[0，＋∞)且x1＜x2，f(x1)＝x12，f(x2)＝x22，根据不等式的性质7就可以得到f(x1)＜f(x2)．）

追问4：你能类似地描述f(x)＝x2在区间(－∞，0]上是减函数并证明吗？（若x1，x2∈[0，＋∞)且x1＜x2，就有f(x1)＞f(x2)．证明：∀x1，x2∈(－∞，0]且x1＜x2，f(x1)＝x12，f(x2)＝x22，根据不等式的性质4和性质7就可以得到f(x1)＞f(x2)．）

追问5：函数f(x)＝|x|，f(x)＝－x2各有怎样的单调性？（f(x)＝|x|在区间(－∞，0]上单调递减，在区间[0，＋∞)上单调递增；f(x)＝－x2在区间(－∞，0]上单调递增，在区间[0，＋∞)上是单调递减．）

预设的答案：如果∀x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增（如图5）．如果∀x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减（如图6）．

教师点拨：如果函数y＝f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．当函数f(x)在它的定义域上单调递增（减）时，我们称它为增（减）函数．

设计意图：在实例感知的基础上，借助函数图象，抽象出单调性的概念．从特殊到一般，从具体到抽象，从图象到符号，提升学生的直观想象和数学抽象核心素养．

3．辨析概念

问题5：（1）设A是区间D上某些自变量的值组成的集合，而且∀x1，x2∈A，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，我们能说函数f(x)在区间D上单调递增吗？你能举例说明吗？

（2）函数的单调性是对定义域内某个区间而言的，你能举出在整个定义域内是单调递增的函数例子吗？你能举出在定义域内的某些区间上单调递增但在另一些区间上单调递减的函数例子吗？

师生活动：学生先独立思考举例，之后展示交流，老师指导总结．

预设的答案：（1）不能，比如函数f(x)＝x2，当A＝{－1，2，3}，D＝[－1，3]时，符合∀x1，x2∈A，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，但f(x)在区间D上不是单调递增的．

（2）f(x)＝x在整个定义域上单调递增；f(x)＝(x－1)2在区间(－∞，1]上单调递减，在区间[1，＋∞)上单调递增．

设计意图：问题（1）加深单调性的概念中关键词“∀x1，x2∈D”的理解．问题（2）帮助学生理解单调性是函数的一种“局部性质”，完善对单调性概念的理解．

4．单调性的简单应用

例1  根据定义，研究函数f(x)＝kx＋b(k≠0)的单调性．

师生活动：学生结合初中的学习经验，可以利用函数图象得到该函数的单调性．老师引导学生寻找求解的依据——定义，根据定义将问题转化为考察当x1＜x2时，f(x1)＜f(x2)还是f(x1)＞f(x2)．进一步只需考察f(x1)－f(x2)与0的大小关系．

预设的答案：

解：函数f(x)＝kx＋b(k≠0)的定义域是R．∀x1，x2∈R，且x1＜x2，则

f(x1)－f(x2)＝(kx＋b)－(kx＋b)＝k(x1－x2)．

由x1＜x2，得x1－x2＜0．所以

①当k＞0时，k(x1－x2)＜0．于是f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)．

这时，f(x)＝kx＋b(k≠0)是增函数．

②当k＜0时，k(x1－x2)＞0．于是f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)．

这时，f(x)＝kx＋b(k≠0)是减函数．

设计意图：明确单调性的判定可以由函数图象获得，但是证明必须借助定义完成．掌握应用定义证明单调性的程序，进一步加深对概念的认识，在证明过程中提升学生的逻辑推理素养和数学运算素养．

例2  物理学中得玻意耳定律p＝（k为正常数）告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V减小时，压强p将增大．试对此用函数的单调性证明．

师生活动：学生先将物理问题转化为数学问题，即证明函数p＝（k为正常数）在区间(0，＋∞)上单调递减．

预设的答案：

证明：任取V1，V2∈(0，＋∞)，且V1＜V2，

则p1－p2＝－＝，

由V1，V2∈(0，＋∞)，得V1V2＞0，

由V1＜V2，得V2－V1＞0，

又k＞0，所以p1－p2＞0，即p1＞p2，

所以函数p＝（k为正常数）在区间(0，＋∞)上单调递减．

也就是说，当体积V减小时，压强p将增大．

追问：你能总结用定义证明函数f(x)在区间D上的单调性的步骤吗？（第一步：在区间D上任取两个自变量的值x1，x2∈D，并规定x1＜x2，简记为“设元”；第二步：计算f(x1)－f(x2)，将f(x1)－f(x2)分解为若干可以直接确定符号的式子，简记为“作差、变形”；第三步：确定f(x1)－f(x2)的符号．若f(x1)－f(x2)＜0，则函数在区间D上单调递增；若f(x1)－f(x2)＞0，则函数在区间D上单调递减．简记为“断号、定论”．）

设计意图：体会函数模型可以用来刻画现实世界中的现象，从而借助函数性质就可以把握事物的变化规律．通过证明进一步熟悉使用定义证明单调性的程序，并通过追问让学生总结出证明单调性的基本步骤，提升学生的数学抽象素养．

例3  根据定义证明函数y＝x＋在区间(1，＋∞)上的单调递增．

师生活动：学生根据例1、例2的经验独立完成，然后展示交流，老师针对书写规范、变形技巧做重点的纠正和讲解．

预设的答案：

证明：∀x1，x2∈(1，＋∞)，且x1＜x2，有

y1－y2＝(x1＋)－(x2＋)＝(x1－x2)＋(－)

＝(x1－x2)＋＝(x1－x2)－＝(x1－x2)(1－)＝(x1－x2)()

由x1，x2∈(1，＋∞)，得x1＞1，x2＞1，所以x1x2＞1，x1x2－1＞0．

由x1＜x2，得x1－x2＜0，于是(x1－x2)()＜0，即y1＜y2．

所以，函数y＝x＋在区间(1，＋∞)上的单调递增．

追问：你能用单调性定义探究y＝x＋在整个定义域内的单调性吗？（y＝x＋的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．当x1，x2∈(0，＋∞)时，在y1－y2＝(x1－x2)()中，x1－x2＜0，x1x2＞0，所以当x1，x2∈(0，1)时，x1x2－1＜0，则y1－y2＞0，即y1＞y2，所以y＝x＋在区间(0，1)上单调递减．同理可得，函数y＝x＋在区间(－∞，－1)上单调递增，在区间(－1，0)上单调递减．）

设计意图：通过例3掌握用定义证明单调性的步骤，培养学生数学表达的严谨性和书写过程的规范性．通过追问体会除了可以用定义法证明单调性外还可以用定义去探索单调区间，感受定义的力量．

四、归纳小结，布置作业

问题6：回忆本节课的内容，请你回答以下几个问题：

（1）什么是函数的单调性？用定义证明单调性的步骤是怎样的？

（2）你能总结研究单调性的过程和方法吗？

师生活动：学生叙述单调递增、单调递减、增函数、减函数等概念．交流学习过程中的体验和感受，师生合作共同完成小结．

预设的答案：（1）略．

（2）先画函数图象并观察图象上点的坐标变化趋势，得到单调性定性的叙述；再用数学符号准确表示，得到单调性的定量刻画；最后应用概念作判定与证明，在应用中掌握概念的本质．

设计意图：通过梳理本节课的内容，不仅让学生明确本节课的内容，还能让学生对研究函数性质有初步的方法论认识．

五、目标检测设计

1．请根据右图描绘某装配线的生产效率与生产线上工人数量间的关系．

设计意图：考查单调性的定义．

2．根据定义证明函数f(x)＝3x＋2是增函数．

设计意图：考查增函数的定义．

3．证明函数f(x)＝－在区间(－∞，0)上单调递增．

设计意图：考查用定义证明单调性．

4．画出反比例函数y＝的图象．

（1）这个函数的定义域I是什么？

（2）它在定义域I上的单调性是怎样的？证明你的结论．

设计意图：考查单调性的判定与证明．

参考答案：

1．在一定范围内，生产效率随着工人数的增加而提高，当工人数达到某个数量时，生产效率达到最大值，而超过这个数量时，生产效率又随着工人数的增加而降低．

2．任取x1，x2∈R，当x1＜x2时，因为f(x1)－f(x2)＝3(x1－x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，所以f(x)＝3x＋2在R上是增函数．

3．任取x1，x2∈(－∞，0)，且x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝－＝，

因为x1－x2＜0，x1x2＞0，所以f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，所以函数f(x)＝－在区间(－∞，0)上单调递增．

4．图象略．

（1）(－∞，0)∪(0，＋∞)．

（2）当k＞0时，y＝在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减；当k＜0时，y＝在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递增．证明如下：

当k＞0时，任取x1，x2∈(－∞，0)，且x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝，

因为x2－x1＞0，x1x2＞0，所以f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)，所以函数f(x)＝－在区间(－∞，0)上单调递减．

任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝，

因为x2－x1＞0，x1x2＞0，所以f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)，所以函数f(x)＝－在区间(0，＋∞)上单调递减．

同理可证：当k＜0时，y＝在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递增．