人教A版 (2019)必修 第一册第三章 函数概念与性质3.4 函数的应用（一）教案

《函数的最值》教学设计

1．能从特殊到一般抽象出最大（小）值的定义，理解函数最大（小）值的定义，提升学生的数学抽象素养．

2．能根据函数图象直观判断得出函数的最大（小）值，提升学生的直观想象素养．

3．理解函数的最大（小）值与函数单调性的联系，对已经学习过的简单函数，能根据函数最大（小）值的定义求出其最大（小）值，提升学生的逻辑推理和数学运算素养．

教学重点：能用函数图象和最大（小）值的定义得出函数的最大（小）值．

教学难点：根据函数最大（小）值的定义求出其最大（小）值．

PPT课件．

一、问题导入

问题1：观察图1中的三个函数图象，你能发现它们的共同特征吗？

师生活动：学生观察容易发现这三个图象都有最高点，老师顺势引出课题．

预设的答案：图象的共同特征是它们都有最高点．

设计意图：直接引出课题，形成对函数最大值的直观感受．

引语：我们总是对函数图象中最高点格外关注，本节课我们就来一起学习与之相关的函数性质--单调性与最大（小）值．（板书：单调性与最大（小）值）

二、新知探究

1．定性刻画函数的最大值

问题2：以函数f(x)＝－x2＋1为例，如图2所示，该函数的图象有一个最高点（0，1），你能用函数的观点描述该点满足的性质吗？

师生活动：因为是比高低，引导学生将该点与其他点的纵坐标进行对比．然后将其中的不等关系用函数的观点描述．

预设的答案：从图象上看，其它点的纵坐标都不超过该点的纵坐标；从函数要素的角度看，该函数所有的函数值都不大于该处的函数值．

教师点拨：当一个函数f(x)的图象有最高点时，最高点的纵坐标就是函数f(x)的最大值．

设计意图：以具体的函数为例，借助图象直观感受函数的最大值的特征．同时将图形语言转化为函数语言，为后续定量刻画做准备．

2．定量刻画函数的最大（小）值

问题3：你能用符号语言刻画函数f(x)＝－x2＋1的最大值吗？

师生活动：学生根据问题2的铺垫，可以总结出最大值的部分特征：∀x∈R，都有f(x)≤1．老师针对学生遗漏的部分再做启发和引导，最后强调1必须是值域中的元素．

预设的答案：（1）∀x∈R，都有f(x)≤1；

（2）1是值域中的元素，即存在自变量0，使得f(0)＝1．

追问1：你能用符号语言刻画函数f(x)的最大值吗？

师生活动：学生类比f(x)＝－x2＋1的例子进行尝试，老师完善．

预设的答案：设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：

（1）∀x∈I，都有f(x)≤M；

（2）∃x0∈I，使得f(x0)＝M．

那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值．

追问2：你能仿照最大值的定义，给出函数f(x)的最小值的定义吗？

师生活动：学生在类比的过程中若有困难，老师可以举具体的例子加以引导直至学生完整地阐述．

预设的答案：设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数m满足：

（1）∀x∈I，都有f(x)≥m；

（2）∃x0∈I，使得f(x0)＝m．

那么，我们称m是函数y＝f(x)的最小值．

设计意图：问题3以学生熟悉的二次函数为素材，挖掘最大值的本质；追问1实现了从特殊到一般的跨越，抽象出最大值的概念；追问2是让学生学会用类比的方法获得最小值的概念．

3．最大（小）值的应用

例1  “菊花”烟花是最壮观的烟花之一．制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂．如果烟花距底面的高度h（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系为h(t)＝－4.9t2＋14.7t＋18，那么烟花冲出去后什么时候是它爆裂的最佳时刻？这时距底面的高度是多少（精确到1m）？

师生活动：在处理应用题时，首先是从题目中抓取关键信息，即引导学生思考什么是“爆裂的最佳时刻”，学生带着问题阅读题目，确定爆裂的最佳时刻就是烟花轨迹最高点对应的时间，然后将实际问题转化为二次函数的最大值问题．接着，学生根据二次函数的相关知识就可以顺利解答．

预设的答案：

解：画出函数h(t)＝－4.9t2＋14.7t＋18的图象（图3）．显然，函数图象的顶点就是烟花上升的最高点，顶点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻，纵坐标就是这时距地面的高度．

由二次函数的知识，对于函数，我们有：

当t＝－＝1.5时，函数有最大值h＝≈29．

于是，烟花冲出去1.5 s是它爆裂的最佳时刻，这时距地面的高度约为29 m．

追问：你能说说计算烟花爆裂的最佳时刻的意义吗？（烟花设计者就可以根据这个数据设定引信的长度，以达到施放烟花的最佳效果．）

设计意图：根据函数图象确定函数的最大值，提升学生的直观想象素养；体会函数模型可以用来刻画现实世界中的现象，从而借助函数性质就可以进行有效的规划和设计，感受学习函数的意义．

例2  已知函数f(x)＝(x∈[2，6])，求函数的最大值和最小值．

师生活动：学生极有可能直接将2，6代入解析式求值，并误以为求解了本题．老师通过问题的方式启发学生明确函数的最大值和最小值是整体性的性质，需要单调性作衬托才能凸显．

追问1：有同学计算f（2）＝2，f（6）＝0.4，f（2）＞f（6），则最大值是2，最小值是0.4，你能说说这个做法有什么问题吗？（f（2）＞f（6），这个式子只说明x＝2时的函数值比x＝6时的函数值大，并不能说明它与区间(2，6)上的其它函数值的大小关系，没有验证最大值定义中的第一条．）

追问2：为了解决上述解法中的问题，你认为应该借助函数的什么性质研究最大(小)值？（要说明f（2）与f(x)（∀x1，x2∈(2，6)）的大小关系，我们只要将两者作差判断符号即可．更一般地，对于∀x1，x2∈[2，6]，且x1＜x2，都可以判断f(x1)－f(x2)的符号，本质上就是先确当函数的单调性，弄清楚这个函数在区间[2，6]上的增减情况才能把握在哪里取到最大（小）值．）

追问3：如何确定该函数的单调性？（图象法探路，先描点画图，然后用软件绘制函数f(x)＝(x∈[2，6])的图象（图4），可知函数f(x)＝在[2，6]上单调递减；再用单调性定义证明．）

预设的答案：

解：∀x1，x2∈[2，6]，且x1＜x2，则

f(x1)－f(x2)＝－＝＝．

由2≤x1＜x2≤6，得x2－x1＞0，(x1－1)(x2－1)＞0，

于是f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)．

所以，函数f(x)＝在区间[2，6]上单调递增．

因此，函数f(x)＝在区间[2，6]的两个端点上分别取得最大值与最小值．在x＝2时取得最大值，最大值是2；在x＝6时取得最小值，最小值是0.4．

设计意图：通过例2掌握根据函数最大（小）值的定义求解其最大（小）值的思路，培养学生数学表达的严谨性和书写过程的规范性，提升学生的逻辑推理和数学运算素养．

三、归纳小结，布置作业

问题4：本节课我们主要学习了函数的最大（小）值，什么是函数的最大（小）值？你能说说求解函数的最大（小）值需要注意什么吗？

师生活动：师生一起总结．

预设的答案：概念略；因为是函数的整体性质，所以必须先确定函数在整个定义域上的单调性，才能求解最大（小）值．

设计意图：通过梳理本节课的内容，让学生明确最值与单调性的联系．

四、目标检测设计

1．整个上午（8：00~12：00）天气越来越难，中午时分（12：00~13：00）一场暴风雨使天气骤然凉爽了许多．暴风雨过后，天气转暖，直到太阳落山（18：00）才又开始转凉．画出这一天8：00~20：00期间气温作为时间函数的一个可能的图象（示意图），并说出所画函数的单调区间．

设计意图：训练学生讲文字语言转化为图象语言的能力，考查单调性的定义．

2．设函数f(x)的定义域为[－6，11]．如果f(x)在区间[－6，－2]上单调递减，在区间[－2，11]上单调递增，画出f(x)的一个大致的图象，从图象上可以发现f(－2)是函数f(x)的一个________．

设计意图：考查最小值的定义．

3．已知函数f(x)＝，求函数在区间[2，6]上的最大值和最小值．

设计意图：考察用单调性定义求解函数的最大（小）值．

参考答案：

1．单调递增区间为[8，12]，[13，18]；单调递减区间为[12，13]，[18，20]．

2．最小值．

3．最大值是，最小值是，证明略．