2023年吉林省松原市宁江区中考数学二模试卷（含解析）

2023年吉林省松原市宁江区中考数学二模试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共6小题，共12.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  如图，数轴上点表示的有理数可能是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  若要在的“”中填上一个运算符号，使计算结果最大，则这个运算符号应该填(    )

A.  B.  C.  D.

3.  如图，一个圆柱体在正方体上沿虚线从左向右平移，平移过程中不变的是(    )

A. 主视图 B. 左视图 C. 俯视图 D. 主视图和俯视图

4.  如图是由一根细铁丝围成的正方形，其边长为现将该细铁丝围成一个三角形如图所示，则的长可能为(    )

A.  B.  C.  D.

5.  如图，以直角三角形的三边为边向外作正五边形，若，，则的面积为(    )

 

A.  B.  C.  D.

6.  如图，正方形的边长为，以为直径的半圆交对角线于点，则阴影部分的面积是(    )

A.
B.
C.
D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）

7.  若代数式有意义，则的取值范围______ ．

8.  不等式组的所有整数解的积为______ ．

9.  关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是        ．

10.  如图所示的四角风车至少旋转______就可以与原图形重合．

11.  如图，矩形内有两个相邻的正方形，面积分别是和，那么阴影部分的面积______ 用含的代数式表示

12.  如图，，在圆上，是直径，若，则______．

13.  为测量池塘边两点，之间的距离，小明设计了如下的方案：在地面取一点，使、交于点，且若测得：：，米，则，两点之间的距离为______米．

14.  如图，在平行四边形中，将沿折叠后，点恰好落在的延长线上的点处．若，，则的周长为______．

三、解答题（本大题共12小题，共84.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15.  本小题分
先化简，再求值：，其中，．

16.  本小题分
在一个密闭留有洞口的盒子里，装有个分别写有数字，，的小球形状、大小一样先从盒子里随机取出一个小球，记下数字后放回盒子，摇匀后再随机取出一个小球，记下数字用画树状图或列表法，求两次取出小球上的数字相同的概率．

17.  本小题分
如图，中，是延长线上一点，满足，过点作且，连接并延长，分别交、于点、，求证：≌．

18.  本小题分
九章算术中记载这样一道问题．
原文：“今有五雀六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻．一雀一燕交而处，衡适平．并燕、雀重一斤．问燕、雀各重几何？”
译文：“今有只雀、只燕，分别聚集而且用衡器称之，聚在一起的雀重，燕轻．将只雀、只燕交换位置而放，重量相等．只雀、只燕的总重量为斤，问雀、燕每只各重多少斤？”
请解答上述问题．

19.  本小题分
年国家提出并部署了“新基建”项目，主要包含“特高压，城际高速铁路和城市轨道交通，基站建设，工业互联网，大数据中心，人工智能，新能源汽车充电桩”等．新基建中高端人才市场就业吸引力报告重点刻画了“新基建”中五大细分领域基站建设，工业互联网，大数据中心，人工智能，新能源汽车充电桩总体的人才与就业机会．如图是其中的一个统计图．请根据图中信息，解答下列问题：
图中年“新基建”七大领域预计投资规模的平均数约是______亿元结果保留一位小数；
在由“新基建”七大领域预计投资规模组成的扇形统计图中，“新能源汽车充电桩”预计投资规模所占的圆心角约是______结果保留整数；
甲，乙两位待业人员，仅根据上面统计图中的数据，从五大细分领域中，甲选择了“基站建设”，乙选择了“人工智能”分别作为自己的就业方向，请简要说明他们选择就业方向的理由各是什么．

 

20.  本小题分
如图，在正方形网格中，的顶点在格点网格线的交点上，请仅用无刻度直尺完成以下作图．保留作图痕迹
在图中作的重心．
在图中作，且是格点．

 

21.  本小题分
如图，和两幢楼地面距离为米，从楼的顶部点测得楼的顶部点的仰角为，从楼的顶部点测得楼的底部点的俯角为参考数据：，，
求的大小；
求楼、的高度．结果保留位小数

22.  本小题分
如图，在中，，轴，垂足为反比例函数的图象经过点，交于点已知，．
若，求的值；
连接，若，求的长．

23.  本小题分
我国传统的计重工具--秤的应用，方便了人们的生活．如图，可以用秤砣到秤纽的水平距离，来得出秤钩上所挂物体的重量．称重时，若秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为厘米时，秤钩所挂物重为斤，则是的一次函数．下表中为若干次称重时所记录的一些数据：

在上表，的数据中，发现有一对数据记录错误．在图中，通过描点的方法，观察判断哪一对是错误的？
根据的发现，问秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为厘米时，秤钩所挂物重是多少？

 

24.  本小题分
在四边形中，平分，，．
若时，直接写出与的数量关系为______；
如图，当时，中结论是否还成立，说明理由；
如图，为中点，为上一点，，求的值．

 

25.  本小题分
将一个矩形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点，点为线段上一动点，过点作交对角线于点，把绕点逆时针旋转，得，点，旋转后的对应点为，记旋转角为．
Ⅰ如图，当点为中点时，，求点的坐标；
Ⅱ若旋转后点落在上，设．
(ⅰ)如图，若旋转后与矩形的重合部分为四边形．交于点，交于点，试用含有的式子表示线段的长，并直接写出的取值范围；
(ⅱ)若与矩形的重叠部分的面积为，当时，试用含有的式子表示直接写出结果即可．

 

26.  本小题分
在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴是直线．
若抛物线经过点，求抛物线的解析式；
在的条件下，求抛物线的顶点坐标；
当时，的最大值是，求的值；
在的条件下，当时，的最大值是，最小值是，且求的值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：因为点在与之间，且更靠近，
所以点表示的数可能是．
故选：．
根据点在数轴上的位置，先确定的大致范围，再确定符合条件的数．
本题考查了数轴上的点表示有理数．题目比较简单．原点左边的点表示负数，原点右边的点表示正数．
 

2.【答案】 

【解析】解：，
，
，
应该填：，
故选：．
根据二次根式的加法法则和乘方法则分别计算，比较即可．
本题考查的是二次根式的混合运算，掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：根据图形，可得：平移过程中不变的是的左视图，变化的是主视图和俯视图．
故选：．
主视图是从正面观察得到的图形，左视图是从左侧面观察得到的图形，俯视图是从上面观察得到的图形，结合图形即可作出判断．
此题主要考查了平移的性质和应用，以及简单组合体的三视图，要熟练掌握，解答此题的关键是掌握主视图、俯视图以及左视图的观察方法．
 

4.【答案】 

【解析】解：由正方形的性质知，铁丝的总长度为，
根据三角形的三边关系知，两边之和大于第三边，
边长度小于，
故选：．
先根据正方形的性质求出铁丝的总长度，再根据三角形三边关系判断即可．
本题主要考查正方形的性质，熟练掌握正方形的性质和三角形三边关系是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：如图，正五边形，则，，
在中，，
，
，
如图，由上述解法可得，，，
又，
，
又，，
，，
故选：．
利用正多边形的面积的计算方法用边长和中心角的三角函数表示其面积，再根据勾股定理得出，代入计算即可．
本题考查正多边形与圆，勾股定理，掌握用正多边形的边长和中心角的三角函数表示其面积是解决问题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：如图，连接，

是圆的直径，
，
又，
，
是中点，
是的中位线，
，，
阴影部分的面积．
故选：．
如图，连接，证明，再根据阴影部分的面积即可求解．
本题主要考查了扇形面积的计算以及正方形的性质，掌握“不规则图形的面积可以转化为规则图形的面积的和或差来计算”是解本题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：分式有意义应满足分母不为，即，
解得．
故答案为：．
根据分式有意义，分母不等于列不等式求解即可．
本题考查了分式有意义的条件，正确记忆分式有意义的条件是解题关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：解不等式，得，
则不等式组的解集为，
所以不等式组的整数解为，，
有整数解的积为．
故答案为：．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
，
．
故答案为：．
根据关于的一元二次方程有两个相等的实数根得，进行计算即可得．
本题考查了一元二次方程根的个数与根的判别式的关系，解题的关键是掌握一元二次方程的个数与根的判别式的关系．
 

10.【答案】 

【解析】解：，
四角风车至少旋转就可以与原图形重合．
故答案为：．
直接利用旋转对称图形的性质得出旋转角．
此题主要考查了旋转对称图形，正确掌握旋转对称图形的性质是解题关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：面积分别是和，
它们的边长分别为：，，
阴影部分的面积为：，
故答案为：．
先求正方形的边长，再求矩形的面积．
本题考查了二次根式的应用，掌握矩形的面积公式是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：连接，

，
，
是的直径，
，
，
故答案为：．
连接，根据圆周角定理得出，，再求出答案即可．
本题考查了圆周角定理，能熟记圆周角定理是解此题的关键，同弧或等弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角．
 

13.【答案】 

【解析】解：，
∽，
，
米，
米．
故答案为：．
将原题转化为相似三角形，根据相似三角形的性质解答，即可得出的宽．
此题主要考查了相似三角形的应用，把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求出池塘的宽度，体现了方程的思想．
 

14.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，，
将沿折叠后，点恰好落在的延长线上的点处，
垂直平分．
，，
，，
等腰为等边三角形．
的周长为．
故答案为：．
由平行四边形的性质可得，，与折叠的性质可得，，，可证是等边三角形，即可求解．
本题考查了翻折变换，平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，掌握折叠的性质是本题的关键．
 

15.【答案】解：

．
当，时，
原式． 

【解析】根据完全平方公式、平方差公式将题目中的式子展开，然后合并同类项，再将、的值代入化简后的式子计算即可．
本题考查整式的混合运算化简求值，关键是掌握整式的运算顺序以及整式的运算法则．
 

16.【答案】解：根据题意画树状图如下：

共有种等可能的结果数，其中两次取出小球上的数字相同的有种结果．
两次取出小球上的数字相同的概率为． 

【解析】画树状图展示所有种等可能的结果数，再找出符合条件的结果数，然后根据概率公式求解．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，然后根据概率公式计算事件或事件的概率．
 

17.【答案】证明：，
，
在与中，
，
≌． 

【解析】根据可得，由定理可得结论．
本题主要考查了全等三角形的判定定理，平行线的性质定理，熟记定理是解答此题的关键．
 

18.【答案】解：设每只雀重斤，每只燕重斤，
依题意得：，
解得：．
答：每只雀重斤，每只燕重斤． 

【解析】设每只雀重斤，每只燕重斤，根据“将只雀、只燕交换位置而放，重量相等；只雀、只燕的总重量为斤”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出雀、燕每只的重量．
本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
 

19.【答案】   

【解析】解：年“新基建”七大领域预计投资规模的平均数为：
亿元，
故答案为：；

，
故答案为：；

五大细分领域中，“基站建设”在线职位与年同期相比，增长率最大，所以甲关注的是这个增长率；而“人工智能”则是五大细分领域中年预计投资规模最大的，故乙关注它．
按照求平均数的公式计算即可，即把七大领域预计投资规模数相加并除以，就可得平均数；
计算“新能源汽车充电桩”预计投资规模在七大领域预计投资规模总数中的百分数，它与的积就是所求扇形的圆心角；
观察统计图知，“基站建设”在线职位增长率最大，故甲关注它；而“人工智能”则是五大细分领域中年预计投资规模最大的，故乙关注它．
本题综合考查了各种统计图，关键是读懂统计图，获取所需要的信息．
 

20.【答案】解：如图，点即为所求作的的；
如图，，，，即为所求作．
 

【解析】根据重心是三角形的中线的交点，画出图形即可；
利用圆周角定理，画出图形即可．
本题考查作图应用与设计作图，三角形的重心等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
 

21.【答案】解：过作于点，连接，

根据题意得：，，
；
解：，，
，，
四边形是矩形，
，，
，，
是等腰直角三角形，
米，
米
在中，，，
解得：米，
米． 

【解析】过作于点，连接，根据题意得出，即可求解；
证明出四边形是矩形，得出，，根据，得出，再在中求出，根据即可求解．
此题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，矩形的判定、等腰三角形的判定及性质，熟练掌握锐角三角函数的定义是解本题的关键．
 

22.【答案】解：作，垂足为，

，，
．
在中，，，
，
，
点的坐标为：，
反比例函数的图象经过点，
，
设点的坐标为，
，，
，
，两点的坐标分别为：，．
点，都在反比例函数的图象上，
，
，
点的坐标为：，
． 

【解析】利用等腰三角形的性质得出，的长，再利用勾股定理得出的长，得出点坐标即可得出答案；
首先表示出，点坐标，进而利用反比例函数图象上的性质求出点坐标，然后利用勾股定理即可求得的长．
此题主要考查了等腰三角形的性质以及勾股定理和反比例函数图象上的性质，正确得出方程是解题关键．
 

23.【答案】解：观察图象可知：，这组数据错误．

设，把，；，代入可得：
，
解得，
，
当时，，
答：秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为厘米时，秤钩所挂物重是斤． 

【解析】利用描点法画出图形即可判断．
设函数关系式为，利用待定系数法解决问题即可．
本题考查一次函数的应用，待定系数法等知识，会用描点法画出函数图象，利用数形结合的思想是解题的关键．
 

24.【答案】 

【解析】解：当时，利用角平分线上的点到角两边的距离相等，可得，
故答案为：；
仍然有，理由如下：
过点作于，，交的延长线于，

则，
，，
，
平分，，，
，
≌，
；
延长至点，使，连接，

，，
≌，
，，
，
，
，
又，
≌，
，
．
利用角平分线上的点到角两边的距离相等即可；
过点作于，，交的延长线于，利用角平分线的性质可得，再证明≌，从而证明结论；
延长至点，使，连接，首先利用证明≌，得，，再证明≌，得，即可得出答案．
本题是四边形综合题，主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．
 

25.【答案】解：如图，过点作于，

点，
，
是的中点，
，
，即，
，，
；
如图，当点在上时，

，
，
，
，
，
，
由旋转得：，
中，，，
，，
，
中，，
即，
；
如图，当时，与矩形的重叠部分是，

，
，
，
；
当时，如图，旋转后与矩形的重合部分为四边形，

由可知：，
过点作于，则，
，
，即，
，



；
综上，． 

【解析】如图，过点作于，根据含角的直角三角形的性质和勾股定理计算，的值，可得点的坐标；
如图，当点在上时，根据等腰三角形的性质可得，根据，可得结论；
当时，与矩形的重叠部分是，根据三角形面积公式可得结论；当时，如图，旋转后与矩形的重合部分为四边形，根据面积差可得结论．
本题是四边形的综合题，考查了矩形的性质，折叠的性质，三角函数的定义，三角形面积，含角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质等知识，合理的表示线段，理清线段的长与坐标的关系是解决问题有效的方法．
 

26.【答案】解：由点和对称轴，可列方程组，解得，．
故抛物线的解析式为．
抛物线的顶点坐标为，将，，代入，得．
当时，抛物线开口向上，
对称轴是直线，到的距离大于到的距离，
时，的值最大．
．
将代入，得．
当时，
，
．
的最大值是
最小值是
，
解得．
当时，
的最大值是，最小值是．
，
解得不成立；
当时，的最大值是，最小值是．
解得不成立；
当时，
的最大值是，最小值是
解得．
综上，的值为或． 

【解析】用待定系数法即可求解；
将各系数代入二次函数的顶点坐标公式即可；
根据抛物线的性质，确定取何值时最大，进而求得值；
分情况讨论的取值范围，以此确定取何值时的值最大和最小值，从而求出的值．
本题主要考查如何运用待定系数法求二次函数解析式，以及二次函数的性质和最值问题．