2023年陕西省西安市长安三中中考数学三模试卷（含解析）

这是一份2023年陕西省西安市长安三中中考数学三模试卷（含解析），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年陕西省西安市长安三中中考数学三模试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________第I卷（选择题）一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.  计算：(    )A.  B.  C.  D. 2.  如图，，交于点，若，则的度数为(    )
 A.  B.  C.  D. 3.  下列计算正确的是(    )A.  B.  C.  D. 4.  如图，菱形的边长为，，则点到的距离等于(    )A.
B.
C.
D. 5.  如图，在等腰中，，，点为的中点，于点，则的值为(    )
A.  B.  C.  D. 6.  在同一平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，则关于、的方程组的解为(    )A.  B.  C.  D. 7.  如图，为的直径，半径的垂直平分线交于点，，交于点，若，则的长为(    )A.
B.
C.
D. 8.  已知抛物线、是常数与轴的交点为，抛物线中、是常数的自变量与函数值的部分对应值如表： 下列结论中，正确的是(    )A. 抛物线的对称轴是直线 B. 当时，有最小值
C. 当时，随的增大而减小 D. 点的坐标是第II卷（非选择题）二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）9.  如图所示，数轴上点所表示的数的相反数是______．
 10.  若正多边形的每一个内角为，则这个正多边形的边数是______．11.  阅读材料：如果一个三角形的三边长分别为，，，记，那么这个三角形的面积这个公式叫“海伦公式”，它是利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积的公式，中国秦九韶也得出了类似的公式，称三斜求积术，故这个公式又被称为“海伦秦九韶公式”如图，在中，，，，则的面积为______ ．12.  如图，点是反比例函数图象上一点，连接过点作轴于点，为的中点，连接并延长交反比例函数的图象于点，过点作轴于点，则四边形的面积为______ ．
 13.  如图，在矩形中，，，点在上，且，点从点出发，以个单位每秒的速度向点运动，到达点停止运动，连接，，，分别是，的中点，在点运动的整个过程中，当时，点运动的时间为______ 秒，此时线段扫过图形的面积为______ ．三、解答题（本大题共13小题，共81.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）14.  本小题分
计算：．15.  本小题分
解不等式组：．16.  本小题分
化简：．17.  本小题分
如图，在中，点是边上的一点，请用尺规作图法，在上求作一点，使不要求写作法，保留作图痕迹
18.  本小题分
如图，在平行四边形中，点是的中点，连接并延长，交的延长线于点，求证：≌．
19.  本小题分
如图，在四边形中，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”在的正方形小正方形的边长为网格中，将筝形放大，使得点，，，的对应点分别为，，，．
的长度为______ ；
补全筝形．
20.  本小题分
西安地铁的不断完善给广大人民的出行带来了很大的变化，不仅给人们带来了快捷、便利、有序的交通和良好的乘车环境，还让人们更多地感受到生活质量的提高和享受西安地铁号线某地铁站入口检票处有、、、四个闸机，假设每名乘客可随机选择一个闸口通过．

一名乘客通过该入口检票处时，选择闸口通过的概率为______ ；
当两名乘客先后通过该入口检票处时，请用树状图或列表法求两名乘客选择相邻闸口通过的概率．21.  本小题分
西安丰庆公园是现代生态景观与历史文化景观融为一体的皇家园林，公园中的怡心阁是园内的最高建筑某数学活动小组想测量怡心阁的高度，借助测角仪与标杆测量怡心阁的高度：小明沿后退到恰好看到标杆顶端与怡心阁的顶端重合，小明继续后退到点用测角仪测得怡心阁顶端的仰角为，已知小明的眼睛到地面的距离，，，，、、、在同一直线上，、、和均与垂直，测量示意图如图所示，请你根据以上测量信息，求怡心阁的高度参考数据：，，，结果精确到米
22.  本小题分
某科技活动小组制作了两款小型机器人，在同一赛道上进行试验运行甲机器人离点的距离与出发时间满足一次函数关系，部分数据如表乙机器人在离点米处出发，以米秒的速度匀速前进，两个机器人同时同向远离点出发并保持前进的状态． 出发时间单位：秒甲机器人离点距离单位：米请分别求出甲、乙两机器人离点的距离与出发时间之间的函数关系式；
：
甲机器人出发时距离点多远？
两机器人出发多长时间时相遇？23.  本小题分
为落实“五育并举”，某校开展“未来工匠大比拼”活动，锻炼学生的动手能力，让学生在创意设计、木材加工等环节中感受劳动之美，学习工匠精神，每班根据初赛成绩选名学生参加复赛，九年级、班选出的名学生的复赛成绩满分分如图所示：
根据以上信息解答下列问题：
完成表：  平均数分中位数分众数分九年级班______ 九年级班______ ______ 九班的小明同学说：“他的成绩在五个人中属于中下游，但不是最差的”，小明同学可能是______ 号；
已知九年级班复赛成绩的方差为，计算九年级班复赛成绩的方差，并分析哪个班的复赛成绩更稳定．
24.  本小题分
如图，为的直径，点为上一点，平分交于点，过点作的垂线，垂足为点．
求证：是的切线；
若的半径为，，求的长．
25.  本小题分
如图，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．
求抛物线的函数关系式；
已知点是抛物线的对称轴与轴的交点，点的坐标为，点与点关于抛物线的对称轴对称，连接，，，点，是抛物线上两个动点，若与是以点为位似中心的位似图形，求与的相似比．
26.  本小题分
如图，将等边沿折叠，使得与重合，则的度数为______ ；
如图，在▱中，、分别为、的中点，是对角线，且，判断四边形的形状，并说明理由．
如图是一个矩形木板，已知，点、分别是、的中点，现要制作一块直角三角形的木楔，要求该木楔的直角顶点是的中点，点在边上，木匠师傅在这块木板上的作法如下：
连接，以点为圆心，的长为半径作弧，交于点，交边于点；
连接并延长，与的交点是点的位置；
作的平分线交于点，连接并延长，与的交点是点的位置请问，若按上述作法，制作的木楔是否符合要求？请说明理由．


答案和解析 1.【答案】 【解析】解；．
故选：．
先确定商的符号，再确定商的绝对值．
本题主要考查了有理数的运算，掌握有理数的除法法则是解决本题的关键．
 2.【答案】 【解析】解：，
，
，
，
．
故选A．
首先根据平行线的性质可得出，进而可得，然后根据对顶角的性质可求出的度数．
此题主要考查了平行线的性质，解答此题的关键是理解题意，读懂图形，熟练掌握平行线的性质．
 3.【答案】 【解析】解：，
选项A不符合题意；

，
选项B不符合题意；

，
选项C不符合题意；

，
选项D符合题意．
故选：．
根据同底数幂的乘法的运算方法，合并同类项的方法，以及幂的乘方和积的乘方的运算方法，逐项判断即可．
此题主要考查了同底数幂的乘法的运算方法，合并同类项的方法，以及幂的乘方和积的乘方，解答此题的关键是要明确：是正整数；是正整数．
 4.【答案】 【解析】解：连接，
四边形是菱形，，
，，
，
，
，
点到的距离等于，
故选：．
连接，根据菱形的性质可得，，再根据直角三角形的性质可得．
此题主要考查了菱形的性质，关键是掌握菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．
 5.【答案】 【解析】解：连接，如图，

，点为的中点，，
，
于点，
，
，
，
．
故选：．
连接，根据等腰三角形的性质可得，的长度，在中，根据勾股定理可计算出的长度，根据等面积法可计算出的长度，根据勾股定理求出的长，在中，根据余正弦的定义进行求解即可得出答案．
本题主要考查了解直角三角形，熟练掌握解直角三角形的方法进行求解是解决本题的关键．
 6.【答案】 【解析】解：直线经过，
，
交点坐标为，
方程组的解就是两个一次函数图象的交点坐标，
关于、的方程组的解为．
故选：．
把交点坐标代入直线求解得到的值，再根据方程组的解即为交点坐标解答．
本题考查一次函数与方程组的关系，解题的关键是理解方程组的解就是两个一次函数图象的交点坐标．
 7.【答案】 【解析】解：如图，连接，

为的直径，垂直平分，
，，
，
，
，
，
．
故选：．
连接，根据垂径定理和垂直平分线的性质得，，根据勾股定理得，求出，所以，．
本题考查了垂径定理和垂直平分线的性质，运用勾股定理求出的长是解决问题的关键．
 8.【答案】 【解析】解：将点，代入得，
，
．
函数解析式为．
对称轴为：；
当时，有最小值；
当时，随的增大而减小；
当时，，则点的坐标为．
故选：．
依据题意，由待定系数法求解析式进而逐项分析判断即可得解．
本题考查了二次函数的性质及待定系数法求解析式，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
 9.【答案】 【解析】解：数轴上点所表示的数是，的相反数是，
故答案为：．
根据相反数的定义，即可解答．
本题考查了相反数，解决本题的关键是熟记相反数的定义．
 10.【答案】 【解析】【分析】
本题考查了多边形的内角与外角的关系，也是求解正多边形边数常用的方法之一．
先求出每一外角的度数是，然后用多边形的外角和为进行计算即可得解．
【解答】
解：正多边形的每一个内角为，
每一个外角的度数是，
多边形的外角和为，
，
即这个多边形是八边形．
故答案为．  11.【答案】 【解析】解：根据题意知，
所以，
的面积为；
故答案为：．
根据题意先求，再将，，，的值代入题中所列面积公式计算即可．
本题考查了二次根式在三角形面积计算中的应用，读懂题中所列的海伦公式并正确运用，是解题的关键．
 12.【答案】 【解析】解：反比例函数，
和的面积都等于，
为的中点，
的面积为，
四边形的面积为．
故答案为：．
根据反比例函数的比例系数的几何意义，得到和的面积都等于，再根据三角形中线的性质得的面积为，即可求出答案．
本题考查了反比例函数的比例系数的几何意义，在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是，且保持不变．
 13.【答案】  【解析】解：四边形是矩形，
，
，
，
当时，
，
∽，
：：，
即：：，
，
，
运动的时间为秒．
故答案为：．
如图，
当点在点上时，点、分别在点、处，
由平移得，且，
四边形是平行四边形，
四边形的面积就是扫过的面积，
是中点，
，
是中点，
点与的距离为，
与之间的距离为，
，
，
扫过的面积为：．
故答案为：．

当时，∽，按照相似列出相似比，解答即可．
由题得线段扫过图形的面积为平行四边形，利用中位线的性质求出平行四边形的底和高，计算出面积即可．
本题考查了矩形的性质、中位线的性质、平行四边形的性质的应用，三角形相似的证明及应用是解题关键．
 14.【答案】解：原式

． 【解析】直接利用二次根式的性质以及绝对值的性质、零指数幂的性质、特殊角的三角函数值分别化简，进而得出答案．
此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
 15.【答案】解：，
解不等式，得，
解不等式，得，
所以原不等式组的解集为． 【解析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分即可．
主要考查了一元一次不等式解集的求法，求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到无解．
 16.【答案】解：原式


． 【解析】利用分式的减法法则和除法法则进行计算即可．
本题考查分式的化简，掌握分式混合运算的运算顺序和计算法则是解题关键．
 17.【答案】解：如图，作的垂直平分线交于点，
则点为所作．
 【解析】作的垂直平分线交于点，根据线段垂直平分线的性质得到，则．
本题考查了作图基本作图：熟练掌握种基本作图是解决问题的关键．也考查了线段垂直平分线的性质．
 18.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，
，，
又点是的中点，
．
在与中，
，
≌． 【解析】由四边形是平行四边形，可得，即可得内错角相等；又由点是的中点，易证得≌．
本题考查了平行四边形的性质以及全等三角形的证明，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质并灵活运用．
 19.【答案】 【解析】解：由图可得，
，
故答案为：；
补全的筝形如右图所示．
根据图形和勾股定理，可以计算出的长；
根据图形可知，放大的图形比原来扩大了倍，然后画出相应的图形即可．
本题考查勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 20.【答案】 【解析】解：一名乘客通过该入口检票处时，选择闸口通过的概率为，
故答案为：；
画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中两名乘客选择相邻闸口通过的结果有种，即、、、、、，
两名乘客选择相邻闸口通过的概率为．
直接由概率公式求解即可；
画树状图，共有种等可能的结果，其中两名乘客选择相邻闸口通过的结果有种，再由概率公式求解即可．
本题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 21.【答案】解：连接并延长交于点，交于点，

由题意得：，，，，，
，
，
，
设，
，
∽，
，
，
解得：，
在中，，，
，
，
解得：，
，
，
怡心阁的高度约为． 【解析】连接并延长交于点，交于点，根据题意可得：，，，，，从而可得：，再根据已知可得：，然后设，再证明字模型相似三角形∽，从而利用相似三角形的性质求出的长，最后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而列出关于的方程，进行计算可求出的长，再利用线段的和差关系，进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，相似三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 22.【答案】解：设甲机器人的函数解析式为：，
则：，
解得：，
所以甲机器人距点的距离与出发时间的函数表达式为：；
由题意得乙机器人距点的距离与出发时间的函数表达式为：；
当时，，
所以甲机器人出发时距离点米；
由题意得：，
解得：，
答：两机器人出发秒时相遇． 【解析】根据待定系数法列方程求解；
求当时的值；
求当函数值相等时，对应的值；
本题考查了一次函数的应用，理解题意是解题的关键．
 23.【答案】       【解析】解：根据统计图可得九班的中位数是分，
九班的众数是分，
平均数为：分，
方差是；
表格如下：  平均数分中位数分众数分九年级班九年级班九班同学成绩的中位数为分，小于分的成绩是分和分，
小明的成绩为分，
小明可能是号．
故答案为：；
九的方差是；
，
九班的复赛成绩更稳定．
根据统计图中的具体数据以及中位数、平均数和众数的概念分别进行计算即可；
九班同学成绩的中位数为分，再小明的成绩在五个人中属于中下游，但不是最差的即可判断；
根据方差公式计算即可．
此题考查了条形统计图，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
 24.【答案】证明：连接，如图，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
为的半径，
是的切线；
解：连接交于点，如图，
为直径，
，
在中，，
，
，
四边形为矩形，
，，
，
，
而，
，
，
． 【解析】连接，如图，先证明得到，再根据平行线的性质，然后根据切线的判定方法得到结论；
连接交于点，如图，先利用圆周角定理得到，则在中利用余弦的定义可求出，再证明四边形为矩形得到，，根据垂径定理得到，则利用三角形中位线性质得到，然后求出，从而得到的长．
本题考查了切线的判定与性质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理和解直角三角形．
 25.【答案】解：把，代入中得，
，
解得，，
抛物线的函数关系式为．
，
抛物线的对称轴为，
，
点与点关于抛物线的对称轴对称，
，
如图，作直线，交抛物线于，，，，连接，，
设直线的解析式为，
则，
解得，，

联立方程组，
解得，，，
，，
同理求得直线的解析式为，
联立方程组，
解得，，
，，
轴，轴，
又点与点关于抛物线的对称轴对称，
轴，
，
∽，∽，
与和都是以点为位似中心的位似图形，
又，，，
与的相似比为，
与的相似比为，
综上得，与的相似比为或． 【解析】把，代入中，利用待定系数法求解即可．
作直线，交抛物线于，，，，连接，，先求出直线的解析式，与二次函数解析式联立求出，的坐标，同理求出，的坐标，可得到，∽，∽，证出是位似图形，从而得到相似比是或的值．
本题考查了待定系数法求二次函数解析式，位似图形的判定与性质，综合性较强，根据题意正确做出位似三角形是解题的关键．
 26.【答案】 【解析】解：等边沿折叠，与重合，
的度数为，
故答案为：；
四边形是菱形，理由如下：
在▱中，，，
、分别为、的中点，
，，
，
四边形是平行四边形，
，为的中点，
，
，
四边形是菱形；
制作的木楔符合要求，理由如下：
设，则，
点、分别是、的中点，是的中点，
，，
由作图过程可知：，，
，
≌，
，，
，
点是的中点，，
点是，的中点，
四边形是菱形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
是直角三角形，
制作的木楔符合要求．
根据等边三角形的性质和折叠的性质即可解决问题；
先证明四边形是平行四边形，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得，进而可以解决问题；
设，则，根据作图过程证明≌，得，，然后证明四边形是菱形，证得，再利用勾股定理逆定理即可解决问题．
本题是四边形的综合题，考查了平行四边形的性质，菱形的判定，直角三角形的性质：在直角三角形中斜边中线等于斜边一半，全等三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理，勾股定理逆定理，折叠的性质，含度角的直角三角形的性质，综合运用以上知识点，证明四边形是菱形是关键．