2021北京石景山初一（上）期末数学（教师版）

这是一份2021北京石景山初一（上）期末数学（教师版），共17页。试卷主要包含了填空题，小器一容三斛；大器一，解答题解答应写出文字说明等内容，欢迎下载使用。

2021北京石景山初一（上）期末
数 学
一、选择题（本题共16分，每小题2分）下面各题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1. 下列几何体中，是圆柱为（ ）
A. B. C. D.
2. 2020年11月24日，长征五号遥五运载火箭在文昌航天发射场成功发射探月工程嫦娥五号探测器，火箭飞行2200秒后，顺利将探测器送入预定轨道，开启我国首次地外天体采样返回之旅．将用科学记数法表示应（ ）
A. B. C. D.
3. 实数在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（　　）

A. B. C. D.
4. 如图所示，点P到直线l距离是（　　）

A. 线段PA的长度 B. 线段PB的长度 C. 线段PC的长度 D. 线段PD的长度
5. 如果代数式与的值互为相反数，则的值为（ ）
A. B. C. D.
6. 如果，那么的值为（ ）
A. B. C. D.
7. 某商场促销，把原价元空调以八折出售，仍可获利元，则这款空调进价为（ ）
A. 元 B. 元 C. 元 D. 元
8. 对于两个不相等的有理数，，我们规定符号表示，两数中较大的数，例如.按照这个规定，那么方程的解为（ ）
A. －1 B. C. 1 D. －1或
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9. 请写出一个比大的负有理数：_____．（写出一个即可）
10. 如图，点在线段上，若，，是线段的中点，则的长为_______．

11. 计算：_______．
12. 若是关于，的二元一次方程组的解，则的值为______．
13. 小石准备制作一个封闭的正方体盒子，他先用5个边长相等的正方形硬纸制作成如图所示的拼接图形（实线部分）．请你在图中的拼接图形上再接上一个正方形，使得新拼接的图形经过折叠后能够成为一个封闭的正方体盒子（只需添加一个符合要求的正方形，并将添加的正方形用阴影表示）．是_______．

14. 若，则值为_______．
15. 《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．其中第七卷《盈不足》记载了一道有趣的数学问题：“今有大器五、小器一容三斛；大器一、小器五容二斛．问大、小器各容几何？” 译文：“今有大容器5个，小容器1个，总容量为3斛；大容器1个，小容器5个，总容量为2斛．问大容器、小容器的容量各是多少斛？”（注：斛，音hú，古量器名，亦是容量单位） 设大容器的容量为斛，小容器的容量为斛，根据题意，可列方程组为_______．

16. 如图所示是一组有规律的图案，它们是由边长相同的小正方形组成，其中部分小正方形涂有阴影，按照这样的规律，第个图案中有______个涂有阴影的小正方形，第个图案中有_______个涂有阴影的小正方形（用含有的代数式表示）．

三、解答题（本题共68分，第17题8分，第18-23题，每小题5分，第24-28题，每小题6分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
17. 直接写出计算结果：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ．
18. 计算：．
19. 计算：．
20. 解方程：．
21. 解方程：
22. 解方程组：
23. 先化简，再求值：，其中．
24. 如图，点，，是同一平面内三个点，借助直尺、刻度尺、量角器完成（以答题卡上印刷的图形为准）
（1）画图：①连接并延长到点，使得；
②画射线，画直线；
③过点画直线的垂线交于点．
（2）测量：①约为　 　（精确到；
②点到直线的距离约为　　（精确到．


25. 我国元代数学家朱世杰所撰写的《算学启蒙》中有这样一道题：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之．”
译文：良马平均每天能跑240里，驽马平均每天能跑150里．现驽马出发12天后良马从同一地点出发沿同一路线追它，问良马多少天能够追上驽马？
26. 已知：，，平分．求：的度数．
27. 关于的一元一次方程，其中是正整数．
（1）当时，求方程的解；
（2）若方程有正整数解，求的值．
28. 对于数轴上的点，线段，给出如下定义：为线段上任意一点，如果，两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为点，线段的“近距”，记作d1（点M，线段AB）；如果，两点间的距离有最大值，那么称这个最大值为点，线段的“远距”，记作d2（点M，线段AB）．特别的，若点与点重合，则，两点间的距离为．已知点表示的数为，点表示的数为．例如图，若点表示的数为，则d1（点C，线段AB）=2，d2（点C，线段AB）=7．

（1）若点表示的数为，则d1（点D，线段AB）= ，d2（点M，线段AB）= ；
（2）若点表示的数为，点表示的数为．d2（点F，线段AB）是d1（点E，线段AB）的倍．求的值．

参考答案
一、选择题（本题共16分，每小题2分）下面各题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1. 下列几何体中，是圆柱的为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据几何体的特征进行判断即可
【详解】解：A选项为四棱柱，
B选项为圆柱，
C选项为圆锥，
D选项为三棱锥．
故选B．
【点睛】本题考查了立体图形的识别，解决问题的关键是掌握圆柱的特征．
2. 2020年11月24日，长征五号遥五运载火箭在文昌航天发射场成功发射探月工程嫦娥五号探测器，火箭飞行2200秒后，顺利将探测器送入预定轨道，开启我国首次地外天体采样返回之旅．将用科学记数法表示应为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【详解】，
故选：C．
【点睛】本题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3. 实数在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（　　）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由数轴得，，，再逐个选项分析判断即可.
【详解】根据数轴可知：，，
∴A.，正确；
B ，故B选项错误；
C. ，故C选项错误；
D. ，故D选项错误；
故选A
【点睛】本题考查利用数轴比较实数大小以及实数的乘法，熟练掌握相关知识点是解题关键.
4. 如图所示，点P到直线l的距离是（　　）

A. 线段PA的长度 B. 线段PB的长度 C. 线段PC的长度 D. 线段PD的长度
【答案】B
【解析】
【详解】由点到直线的距离定义，即垂线段的长度可得结果，点P到直线l的距离是线段PB 的长度，
故选B.
5. 如果代数式与的值互为相反数，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用互为相反数之和为0列出方程，求出方程的解即可得到的值．
【详解】解：根据题意，得，
解得：，
故选D．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，把系数化为1，即可求出解．
6. 如果，那么的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据非负数的性质列式求出m，n的值，然后代入代数式进行计算即可得解．
【详解】解：由题意得，m-3=0，n+2=0，
解得，m=3，n=-2，
所以，mn=3×(-2)=-6，
故选A．
【点睛】本题考查了非负数的性质，注意：几个非负数和和为0，则这几个非负数都为0．
7. 某商场促销，把原价元的空调以八折出售，仍可获利元，则这款空调进价为（ ）
A. 元 B. 元 C. 元 D. 元
【答案】C
【解析】
【分析】设这款空调进价为元，根据“把原价元的空调以八折出售，仍可获利元”列出关系式求解即可．
【详解】解：设这款空调进价为元，根据题意得
，
解得：，
这款空调进价为1600元，
故选：C．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，读懂题意找到等量关系式是解题的关键．
8. 对于两个不相等的有理数，，我们规定符号表示，两数中较大的数，例如.按照这个规定，那么方程的解为（ ）
A. －1 B. C. 1 D. －1或
【答案】B
【解析】
【分析】利用题中的新定义化简已知方程，求解即可．
【详解】解：当 时，，方程化简得，解得 （不符合题意，舍去）
当 时，，方程化简得，解得
故选：B
【点睛】此题考查了实数的运算,以及解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9. 请写出一个比大的负有理数：_____．（写出一个即可）
【答案】（答案不唯一）．
【解析】
【分析】根据负有理数比较大小的规则，绝对值大的反而小写一个数即可．
【详解】解：，
，
比大的负有理数为．
故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了有理数大小比较，比较简单．
10. 如图，点在线段上，若，，是线段的中点，则的长为_______．

【答案】3
【解析】
【分析】根据线段中线性质可得BM＝5，线段BM的长度减去BC的长度即是MC的长度．
【详解】解：∵M是线段AB中点，，
∴BM＝5，
∵，
∴MC＝BM－BC＝5－2＝3．
故答案为：3．
【点睛】本题考查了与线段中点有关的计算，掌握线段中点性质和线段的计算方法是解题关键．
11. 计算：_______．
【答案】
【解析】
【分析】先将转化为，再计算减法即可．
【详解】解：

．
故答案为：．
【点睛】本题考查了度、分、秒的加减运算，比较简单，注意以60为进制即可．
12. 若是关于，的二元一次方程组的解，则的值为______．
【答案】5
【解析】
【分析】将代入方程组求解即可．
详解】将代入方程组，得
解得，
故答案为：5．
【点睛】此题考查二元一次方程组的解，解二元一次方程组，正确计算是解题的关键．
13. 小石准备制作一个封闭的正方体盒子，他先用5个边长相等的正方形硬纸制作成如图所示的拼接图形（实线部分）．请你在图中的拼接图形上再接上一个正方形，使得新拼接的图形经过折叠后能够成为一个封闭的正方体盒子（只需添加一个符合要求的正方形，并将添加的正方形用阴影表示）．是_______．

【答案】见解析
【解析】
【分析】结合正方体的平面展开图的特征，只要折叠后能围成正方体即可，答案不唯一．
【详解】解：如图所示：（答案不唯一）

【点睛】考查了展开图折叠成几何体，掌握正方体的11种平面展开图，并灵活应用其进行准确判断是解题的关键，此类题重点培养学生的空间想象能力．
14. 若，则的值为_______．
【答案】，．
【解析】
【分析】根据绝对值等于一个正数的数有2个，它们是互为相反数的关系求解即可．
【详解】解：，
或，
解得：，，
故答案为：，．
【点睛】本题考查了绝对值的意义，表示一个数a的点到原点的距离叫做这个数的绝对值．一个正数的绝对值等于它的本身，零的绝对值还是零，一个负数的绝对值等于它的相反数．
15. 《九章算术》是中国传统数学最重要著作，奠定了中国传统数学的基本框架．其中第七卷《盈不足》记载了一道有趣的数学问题：“今有大器五、小器一容三斛；大器一、小器五容二斛．问大、小器各容几何？” 译文：“今有大容器5个，小容器1个，总容量为3斛；大容器1个，小容器5个，总容量为2斛．问大容器、小容器的容量各是多少斛？”（注：斛，音hú，古量器名，亦是容量单位） 设大容器的容量为斛，小容器的容量为斛，根据题意，可列方程组为_______．

【答案】
【解析】
【分析】根据大器五小器一容三斛，大器一小器五容二斛，列出方程组解答即可．
【详解】解：根据大器五小器一容三斛，大器一小器五容二斛可列方程组得：
故答案是： ．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的实际运用，找出题目蕴含的数量关系是解决问题的关键．
16. 如图所示是一组有规律的图案，它们是由边长相同的小正方形组成，其中部分小正方形涂有阴影，按照这样的规律，第个图案中有______个涂有阴影的小正方形，第个图案中有_______个涂有阴影的小正方形（用含有的代数式表示）．

【答案】 ①. 17 ②. 4n+1
【解析】
【分析】观察发现，后一个图案比前一个图案多涂4个有阴影的小正方形，根据规律写出第n个图案的涂阴影的小正方形的个数即可．
【详解】由图可得，第1个图案涂有阴影的小正方形的个数为5个，
第2个图案涂有阴影的小正方形的个数为5+4=9个，
第3个图案涂有阴影的小正方形的个数为5+4+4=13个，
第4个图案涂有阴影的小正方形的个数为5+4+4+4=17个，
，
第n个图案涂有阴影的小正方形的个数为5+4（n-1）=4n+1（个），
故答案为：17，4n+1．
【点睛】此题考查图形类规律的探究，列代数式，有理数的加法计算法则，观察图形得到图形的变化规律，总结规律并解决问题是解题的关键．
三、解答题（本题共68分，第17题8分，第18-23题，每小题5分，第24-28题，每小题6分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
17. 直接写出计算结果：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ．
【答案】（1）7；（2）9；（3）-18；（4）0．
【解析】
【分析】（1）直接相加即可；
（2）先确定正负，再计算除法即可；
（3）先将除法转化为乘法，再计算乘法即可；
（4）先计算乘法后计算加法，有括号的先计算括号里的即可．
【详解】解：（1）7；
（2）36¸4=9；
（3）；
（4）．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
18. 计算：．
【答案】-11
【解析】
【分析】先根据乘法分配律、乘方法则计算，再计算加减法．
【详解】
=-12+2-1
=-11．
【点睛】此题考查含乘方的有理数的混合运算，掌握混合运算的顺序及法则是解题的关键．
19. 计算：．
【答案】-1
【解析】
【分析】先计算乘方，绝对值，再计算乘法，最后计算加减法．
【详解】
=
=-8+10-3
=-1．
【点睛】此题考查有理数的混合运算，掌握乘方计算法则，绝对值的化简，乘法法则，加减法计算法则是解题的关键．
20. 解方程：．
【答案】
【解析】
【分析】方程去括号，移项合并，即可求出解．
【详解】解：去括号得：
移项得：
合并同类项得：
系数化为1得：
【点睛】本题考查一元一次方程的解法，其步骤为：去括号，移项合并，将未知数系数化为1，求出方程的解，解决本题的关键是熟记一元一次方程的解方程的步骤．
21. 解方程：
【答案】
【解析】
【分析】按照解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项合并、系数化为1解题即可．
【详解】解：去分母，，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
将系数化为1，得．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解方程的一般步骤是解题的关键．
22. 解方程组：
【答案】
【解析】
【分析】根据代入消元法解答即可．
【详解】解：，
由②得，，
将③代入①，得，
解得：，
将代入③，得，
方程组的解为：．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，属于应知应会题型，熟练掌握代入消元法和加减消元法解方程组的方法是解题关键．
23. 先化简，再求值：，其中．
【答案】；．
【解析】
【分析】利用去括号法则先化简，再代入求值即可．
【详解】解：



当时
原式．
【点睛】本题考查了整式的加减化简求值，熟练掌握法则并注意符号是解题关键．
24. 如图，点，，是同一平面内三个点，借助直尺、刻度尺、量角器完成（以答题卡上印刷的图形为准）
（1）画图：①连接并延长到点，使得；
②画射线，画直线；
③过点画直线的垂线交于点．
（2）测量：①约为　 　（精确到；
②点到直线的距离约为　　（精确到．


【答案】（1）见解析（2）①50 ②1.2.
【解析】
【分析】（1）根据题目要求求解可得；
（2）利用量角器和直尺测量可得．
【详解】解：（1）如图所示，


（2）①约为；
②点到直线的距离约为；
故答案为：50、1.2．
【点睛】本题主要考查作图复杂作图，解题的关键是掌握直线、射线、线段的概念及垂线段的定义和性质．
25. 我国元代数学家朱世杰所撰写的《算学启蒙》中有这样一道题：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之．”
译文：良马平均每天能跑240里，驽马平均每天能跑150里．现驽马出发12天后良马从同一地点出发沿同一路线追它，问良马多少天能够追上驽马？
【答案】良马20天能够追上驽马．
【解析】
【分析】设良马x天能够追上驽马，根据路程=速度×时间结合二者总路程相等，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】设良马x天能够追上驽马．
根据题意得：240x=150×（12+x），
解得：x=20．
答：良马20天能够追上驽马．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，根据路程=速度×时间结合二者总路程相等，列出关于x的一元一次方程是解题的关键．
26. 已知：，，平分．求：的度数．
【答案】或．
【解析】
【分析】分当OC在内时及当OC在外时，两种情况，根据角平分线的性质及角的和与差即可得出答案．
【详解】解：当OC在内时，
，，
，
平分，
，
；

当OC外时，
，，
，
平分，
，
；

综上所述，的度数为或．
【点睛】本题考查了角的平分线的计算，根据题意分情况讨论是解题的关键．
27. 关于的一元一次方程，其中是正整数．
（1）当时，求方程的解；
（2）若方程有正整数解，求的值．
【答案】（1）；（2）1或4

【解析】
【分析】（1）将m的值代入计算求解即可；
（2）解方程得，根据m是正整数，且11-2m是3的倍数，方程有正整数解确定m的可能值．
【详解】（1）将m=3代入方程，得，
∴3x-1=4
3x=5
；
（2）
，
，
∵m是正整数，且11-2m是3的倍数，方程有正整数解，
∴m=1或m=4．
【点睛】此题考查解一元一次方程，一元一次方程的特殊值的解法，（2）是难点，根据m的所有可能值代入计算可得到答案．
28. 对于数轴上的点，线段，给出如下定义：为线段上任意一点，如果，两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为点，线段的“近距”，记作d1（点M，线段AB）；如果，两点间的距离有最大值，那么称这个最大值为点，线段的“远距”，记作d2（点M，线段AB）．特别的，若点与点重合，则，两点间的距离为．已知点表示的数为，点表示的数为．例如图，若点表示的数为，则d1（点C，线段AB）=2，d2（点C，线段AB）=7．

（1）若点表示的数为，则d1（点D，线段AB）= ，d2（点M，线段AB）= ；
（2）若点表示的数为，点表示的数为．d2（点F，线段AB）是d1（点E，线段AB）的倍．求的值．
【答案】（1）1，6；（2）x的值为-4或-1或1.5或6
【解析】
【分析】（1）由图求出点D到A的距离即d1的值，求出点D到B的距离即为d2的值；
（2）分情况求出d1与d2，根据d2是d1的倍列方程求解．
【详解】（1）如图：
∵点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，
∴d1（点D，线段AB）=-2-（-3）=1，
d2（点M，线段AB）=3-（-3）=6，
故答案：1,6；

（2）∵点表示的数为，点表示的数为，
∴AB=3-(-2)=5，且AB的中点表示的数是0.5，
∵点表示的数为，点表示的数为，
∴点E在点F的左侧，且EF=1，
①当x 则2-x=3（-2-x），解得x=-4；
②当x<-2 则2-x=3（-2-x），解得x=-4（舍去）；
③当-2 则2-x=3（x+2），解得x=-1；
④当x<0.5 则x+3=3（x+2），解得x=-1.5（舍去）；
⑤当0.5 则x+3=3（3-x），解得x=1.5；
⑥当x<3 则x+3=3（3-x），解得x=1.5（舍去）；
⑦当3 则x+3=3（x-3），解得x=6，
综上，x的值为-4或-1或1.5或6．
【点睛】此题考查利用数轴表示有理数，利用数轴比较大小，数轴上两点间的距离公式，一元一次方程的应用，正确理解d1与d2所表示的含义，根据点的位置正确列得方程求解是解题的关键．