2021北京西城初一（上）期末数学（教师版）

这是一份2021北京西城初一（上）期末数学（教师版），共16页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021北京西城初一（上）期末
数 学
一、选择题（本题共20分，每小题2分）第1-10题均有四个选项，符合题意的选项只有一个
1．（2分）的相反数是　　
A． B． C． D．
2．（2分）国家统计局公布的数据显示，经初步核算，2020年尽管受到新冠疫情的影响，前三个季度国内生产总值仍然达到近697800亿元，按可比价格计算，同比增长了．将数据697800用科学记数法表示为　　
A． B． C． D．
3．（2分）下列计算正确的是　　
A． B．
C． D．
4．（2分）如图是某个几何体的平面展开图，则这个几何体是　　

A．长方体 B．三棱柱 C．四棱锥 D．三棱锥
5．（2分）下列方程变形中，正确的是　　
A．方程，去分母得
B．方程，去括号得
C．方程，系数化为1得
D．方程，移项得
6．（2分）如图，表示北偏东方向的一条射线，表示南偏西方向的一条射线，则的度数是　　

A． B． C． D．
7．（2分）若，则的值是　　
A．20 B．16 C．4 D．
8．（2分）如图，数轴上的点表示的数为有理数，下列各数中在0，1之间的是　　

A． B． C． D．
9．（2分）下列说法正确的是　　
（1）如果互余的两个角的度数之比为，那么这两个角分别为和
（2）如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角不一定相等
（3）如果两个角的度数分别是和，那么这两个角互余
（4）一个锐角的余角比这个锐角的补角小
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．（2分）如图表示的数表，数表每个位置所对应的数都是1，2或3．定义为数表中第行第列的数，例如，数表第3行第1列所对应的数是2，所以．若，则的值为　　

A．0，2 B．1，2 C．1，0 D．1，3
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
11．（2分）用四舍五入法取近似数：　　．（精确到
12．（2分）若是关于的方程的解，则的值是 　　．
13．（2分）若与是同类项，则　　．
14．（2分）如图所示的网格是正方形网格，则　　．（填“”，“ ”或“”

15．（2分）用符号，表示，两数中的较大者，用符号表示，两数中的较小者，则，的值为 　　．
16．（2分）我国古代数学著作《孙子算经》中记载了这样一个有趣的数学问题“今有五等诸侯，共分橘子60颗，人别加三颗，问五人各得几何？”题目大意是：诸侯5人，共同分60个橘子，若后面的人总比前一个人多分3个，问每个人各分得多少个橘子？若设中间的那个人分得个，依题意可列方程得 　　．
17．（2分）如图，，，为线段上三点，
（1）若，则的长为 　　；
（2）在（1）的条件下，若点是的中点，，则的长为 　　．

18．（2分）有四个大小完全相同的小长方形和两个大小完全相同的大长方形按如图所示的位置摆放，按照图中所示尺寸，小长方形的长与宽的差是 　　（用含，的式子表示）．

三、解答题（本题共45分，第20题20分，第22题10分，其余每题5分）
19．（5分）如图，已知平面内有四个点，，，．
根据下列语句按要求画图．
（1）连接；
（2）作射线，并在线段的延长线上用圆规截取；
（3）作直线与射线交于点．
观察图形发现，线段，得出这个结论的依据是：　　．

20．（20分）计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
21．（5分）先化简，再求值：，其中，．
22．（10分）解下列方程：
（1）；
（2）
23．（5分）解方程组：．
四、解答题（本题共19分，第24题5分，第5题6分，第26题8分）
24．（5分）请补全下面的解题过程（括号中填写推理的依据）
已知：如图，点，，在同一条直线上，平分，．
求证：是的平分线．
证明：因为是的平分线，
所以．（理由：　　
因为．
所以　　，
　　．
因为，
所以　　　　．（理由：　　
所以是的平分线．

25．（6分）某环卫公司通过政府采购的方式计划购进一批，两种型号的新能源汽车．据了解，2辆型汽车和3辆型汽车的进价共计80万元；3辆型汽车和2辆型汽车的进价共计95万元．
（1）求，两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元；
（2）该公司计划恰好用200万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），并使得购进的种型号的新能源汽车数量多于种型号的新能源汽车数量，请直接写出该公司的采购方案．
26．（8分）数轴上有，两个点，点在点的左侧，已知点表示的数是2，点表示的数是．
（1）若，则线段的长为 　　；（直接写出结果）
（2）若点在线段之间，且，求点表示的数；（用含的式子表示）
（3）在（2）的条件下，点在数轴上点左侧，，，求的值．
一、填空题（本题6分）
27．（6分）观察下列等式，探究其中的规律并回答问题：
，
，
，
，
，
（1）第4个等式中正整数的值是 　　；
（2）第5个等式是：　　；
（3）第个等式是：　　．（其中是正整数）
二、解答题（本题共14分，第28题6分，第29题8分）
28．（6分）如图所示的三种拼块，，，每个拼块都是由一些大小相同、面积为1个单位的小正方形组成，如编号为的拼块的面积为3个单位．

现用若干个这三种拼块拼正方形，拼图时每种拼块都要用到，且这三种拼块拼图时可平移、旋转，或翻转．
（1）若用1个种拼块，2个种拼块，4个种拼块，则拼出的正方形的面积为 　　个单位．
（2）在图1和图2中，各画出了一个正方形拼图中1个种拼块和1个种拼块，请分别用不同的拼法将图1和图2中的正方形拼图补充完整．要求：所用的，，三种拼块的个数与（1）不同，用实线画出边界线，拼块之间无缝隙，且不重叠．

29．（8分）对于数轴上的点，，，，点，分别是线段，的中点，若，则将的值称为线段，的相对离散度．特别地，当点，重合时，规定．设数轴上点表示的数为0，点表示的数为2．
（1）若数轴上点，，，表示的数分别是，，3，5，则线段，的相对离散度是 　　，线段，的相对离散度是 　　；
（2）设数轴上点右侧的点表示的数是，若线段，的相对离散度为，求的值；
（3）数轴上点，都在点的右侧（其中点，不重合），点是线段的中点，设线段，的相对离散度为，线段，的相对离散度为，当时，直接写出点所表示的数的取值范围．

参考答案
一、选择题（本题共20分，每小题2分）第1-10题均有四个选项，符合题意的选项只有一个
1．【分析】一个非0数的相反数就是只有符号不同的两个数．
【解答】解：的相反数为．
故选：．
【点评】本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“”号：一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．
2．【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．
【解答】解：697800用科学记数法表示为，
故选：．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
3．【分析】直接利用合并同类项分别计算得出答案
【解答】解：、，故此选项错误；
、，故此选项错误；
、，无法合并，故此选项错误；
、，正确．
故选：．
【点评】此题主要考查了整式的加减，正确合并同类项是解题关键．
4．【分析】由图可知展开侧面为三角形，则该几何体为棱锥，再由底面为四边形，则可得此几何体．
【解答】解：由图可知展开侧面为三角形，则该几何体为棱锥，再由底面为四边形，则可得此几何体为四棱锥．
故选：．
【点评】此题主要考查的是几何体的展开图，熟记几何体的侧面、底面图形特征即可求解．
5．【分析】根据等式的性质，逐项判断即可．
【解答】解：方程，去分母得，
选项符合题意；

方程，去括号得，
选项不符合题意；

方程，系数化为1得，
选项不符合题意；

方程，移项得，
选项不符合题意．
故选：．
【点评】此题主要考查了解一元一次方程的方法，要熟练掌握，注意等式的性质的应用．
6．【分析】根据方向角的定义可直接确定的度数．
【解答】解：因为表示北偏东方向的一条射线，表示南偏西方向的一条射线，
所以．
故选：．
【点评】本题考查了方向角及其计算．掌握方向角的概念是解题的关键．
7．【分析】先把变形为，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：，
，
故选：．
【点评】此题考查了代数式求值，利用了整体代入的思想进行解答是解题关键．
8．【分析】根据数轴上的位置可得得范围，从而得到答案．
【解答】解：由图可知，
、，故不符合题意，
、，故不符合题意，
、，则，故符合题意，
、，则，故不符合题意，
故选：．
【点评】本题考查数轴、绝对值及有理数的运算，题目较容易，关键是根据数轴上点的位置判断得范围．
9．【分析】根据余角和补角的定义，结合度分秒的换算逐项计算可判断求解．
【解答】解：（1）如果互余的两个角的度数之比为，那么这两个角分别为和，故原说法错误；
（2）如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角一定相等，故原说法错误；
（3）如果两个角的度数分别是和，那么这两个角互余，故原说法正确；
（4）一个锐角的余角比这个锐角的补角小，故正确．
正确的个数有2个，
故选：．
【点评】本题主要考查补角和余角，灵活运用余角和补角的性质及求解角的度数是解题的关键．
10．【分析】首先根据题意，由，可得：，然后根据数表，可得：或，据此求出的值为多少即可．
【解答】解：，
，
根据数表，可得：或，
解得：或．
故选：．
【点评】此题主要考查了解一元一次方程的方法，要熟练掌握，解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
11．【分析】把千分位上的数字8进行四舍五入即可；
【解答】解：．（精确到．
故答案为：2.77．
【点评】本题考查了近似数和有效数字：“精确到第几位”和“有几个有效数字”是精确度的两种常用的表示形式，它们实际意义是不一样的，前者可以体现出误差值绝对数的大小，而后者往往可以比较几个近似数中哪个相对更精确一些．
12．【分析】把代入方程计算即可求出的值．
【解答】解：把代入方程得：，
解得：，
故答案是：．
【点评】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
13．【分析】根据同类项的定义求解即可，所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项．
【解答】解：由题意得：，，
，，
，
故答案为：．
【点评】本题考查了同类项．解题的关键是熟练掌握同类项的定义．
14．【分析】根据正方形网格的特征，以及角叉开的程度进行判断即可．
【解答】解：根据网格的特征以及角的表示可知，
，
而，
因此，
故答案为：．

【点评】本题考查角的大小比较，理解角的意义和正方形网格特征是正确判断的前提．
15．【分析】根据题意列出算式，计算即可得到结果．
【解答】解：根据题意得：，，．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了有理数大小比较，熟记有理数大小比较的方法是解答本题的关键．
16．【分析】设中间的那个人分得个，则其它四人各分得个，个，个，个，根据共分橘子60颗列出方程即可．
【解答】解：设中间的那个人分得个，由题意得：
，
故答案为：．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，再列出方程．
17．【分析】（1）由计算可求解的长；
（2）由中点的定义可求得的长，结合的长可得，结合已知条件可求解的长．
【解答】解：（1），
；
（2）点是的中点，，
，
，
，
，
．
故答案为．
【点评】本题主要考查线段的中点，两点间的距离，求解线段的长是解题的关键．
18．【分析】设小长方形的长为，宽为，根据题意由大长方形的长度相等列出方程求出的值，即为长与宽的差．
【解答】解：设小长方形的长为，宽为，
根据题意得：，即，
整理得：．
则小长方形的长与宽的差是．
故答案为：．
【点评】此题考查了二元一次方程的应用，解题关键是弄清题意，找到合适的等量关系，列出方程，注意整体思想的运用．
三、解答题（本题共45分，第20题20分，第22题10分，其余每题5分）
19．【分析】（1）根据作图语句连接即可；
（2）根据射线和线段的定义即可作射线，并在线段的延长线上用圆规截取；
（3）根据直线和射线定义即可作直线与射线交于点，进而可得出结论的依据．
【解答】解：（1）如图，即为所求；

（2）如图，射线即为所求；
（3）直线即为所求；
线段，得出这个结论的依据是：两点之间，线段最短．
故答案为：两点之间，线段最短．
【点评】本题考查了作图复杂作图，直线、射线、线段，线段的性质：两点之间，线段最短，解决本题的关键是掌握基本作图方法．
20．【分析】（1）原式利用减法法则变形，计算即可求出值；
（2）原式从左到右依次计算即可求出值；
（3）原式利用乘法分配律计算即可求出值；
（4）原式先计算乘方运算，再计算乘法运算，最后算加减运算即可求出值．
【解答】解：（1）原式
；
（2）原式
；
（3）原式

；
（4）原式

．
【点评】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
21．【分析】原式去括号合并得到最简结果，把与的值代入计算即可求出值．
【解答】解：原式
，
当，时，原式．
【点评】此题考查了整式的加减化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
22．【分析】（1）去括号、移项、合并同类项、系数化为1，据此求出方程的解是多少即可．
（2）去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，据此求出方程的解是多少即可．
【解答】解：（1）去括号，可得：，
移项，可得：，
合并同类项，可得：，
系数化为1，可得：．

（2）去分母，可得：，
去括号，可得：，
移项，可得：，
合并同类项，可得：，
系数化为1，可得：．
【点评】此题主要考查了解一元一次方程的方法，要熟练掌握，解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．
23．【分析】方程组利用加减消元法求出解即可．
【解答】解：，
②①得：，
解得：，
把代入①得：，
则方程组的解为．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
四、解答题（本题共19分，第24题5分，第5题6分，第26题8分）
24．【分析】根据角平分线的定义，以及等角的余角相等逐步推理证明即可求证是的平分线．
【解答】证明：因为是的平分线，
所以．（理由：角平分线的定义），
因为．
所以，
，
因为，
所以（理由：等角的余角相等），
所以是的平分线．
故答案依次为：角平分线的定义，，90，，，等角的余角相等．
【点评】本题考查角平分线的定义以及证明推理过程的正确书写，熟练掌握角平分线的定义，以及等角的余角相等逐步推理证明是解题的关键．
25．【分析】（1）设型汽车每辆的进价为万元，型汽车每辆的进价为万元，根据“2辆型汽车、3辆型汽车的进价共计80万元；3辆型汽车、2辆型汽车的进价共计95万元”，列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购进型汽车辆，购进型汽车辆，根据总价单价数量，即可得出关于，的二元一次方程，结合，均为正整数即可得出各购买方案．
【解答】解：（1）设型汽车每辆的进价为万元，型汽车每辆的进价为万元，
依题意，得：，
解得：，
答：型汽车每辆的进价为25万元，型汽车每辆的进价为10万元．
（2）设购进型汽车辆，购进型汽车辆，，
依题意，得：，
．
，均为正整数，
为5的倍数，
或或，
，
不合题意舍去，
共2种购买方案，
方案一：购进型车4辆，型车10辆；
方案二：购进型车2辆，型车15辆．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程．
26．【分析】（1）根据点、表示的数利用两点间的距离公式即可求出的长度；
（2）设点表示的数为，则，，根据，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论；
（3）根据题意得到，，，．再分①点在点的左侧时，；②点在点的右侧，点的左侧时，，分别列出方程，解之即可．
【解答】解：（1）．
故答案为：5；

（2）设点表示的数为，则，，
，
，
解得．
点表示的数为；

（3）依题意，
，
，
．
分两种情况：
①当点在点的左侧时，
，
，
解得；
②当点在点的右侧，点的左侧时，
，
，
解得．
综上，的值是或．
【点评】本题考查了数轴和一元一次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．
一、填空题（本题6分）
27．【分析】（1）根据给出的算式计算即可；
（2）总结规律继续写出第5个算式即可；
（3）根据上面的式子可归纳第个等式为．
【解答】解：（1），且取正整数，
，
故答案为：9；
（2）观察上面的规律可得：
第5个等式是：，
故答案为：；
（3）根据已知等式可归纳为：
第个等式是：．
故答案为：．
【点评】本题主要考查数字的变化规律，总结归纳出数字的变化规律是解题的关键．
二、解答题（本题共14分，第28题6分，第29题8分）
28．【分析】（1）求出各个图形的面积和即可．
（2）分别用3个，，1个或4个，1个吧，1个，拼面积为25的正方形即可．
【解答】解：（1）1个种拼块，2个种拼块，4个种拼块，面积，
故答案为：25．

（2）图形如图所示：

【点评】本题考查利用旋转，平移设计图案，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
29．【分析】（1）依据相对离散度的计算公式，解答即可；
（2）利用对离散度的计算公式，列出关于的方程，解方程即可得出结论；
（3）设，对应的数为，，则对应的数；利用对离散度的计算公式，分别得出，，利用时，根据分类讨论的思想得到，的关系式，最终得出的取值范围．
【解答】解：（1）点，表示的数分别是，，
，的中点对应的数为．
数轴上点表示的数为0，点表示的数为2，
，的中点所对应的数为1．
．
，
．
；
数轴上点，，，表示的数分别是，，3，5，
，的中点对应的数为1，，的中点对应的数为1，
，
．
故答案为：；0；
（2）设线段，的中点为，，
数轴上点右侧的点表示的数是，点表示的数为2，
，．
点，在数轴上表示的数为，1，
．
线段，的相对离散度为，
．
．
解得：或．
答：的值为或6．
（3）．理由：
数轴上点，在数轴上对应的数为，，
数轴上点，都在点的右侧（其中点，不重合），
，，且．
点是线段的中点，
点所表示的数．
设线段，的中点为，，则对应的数为，点对应的数为1，
线段，的相对离散度为，
．
．
同理可得：．
，
．
①当，时，
解得：，
点，不重合，
，舍去；
②当，时，
解得：，同样，不合题意舍去；
③当，时，
解得：．
④当，时，
解得：．
综上，．
，
．
．
．
即．
．
即．
【点评】本题主要考查了数轴，数轴上的点的几何意义，绝对值的意义，非负数的应用．本题是阅读型题目，准确理解题目中的定义与公式并熟练应用是解题的关键．