2021北京海淀初一（下）期中数学（教师版）

这是一份2021北京海淀初一（下）期中数学（教师版），共29页。试卷主要包含了 考试结束，请将本调研卷交回．， 下列各数中一定有平方根的是等内容，欢迎下载使用。

2021北京海淀初一（下）期中
数 学
考生须知：
1.本调研卷共8页，共3道大题，28道小题，满分100分，考试时间90分钟．
2.在调研卷上准确填写学校名称、班级名称和姓名．
3.答案一律在调研卷上用黑色字迹签字笔作答．
4. 考试结束，请将本调研卷交回．
一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1－8题均有四个选项，符合题意的只有一个．
1. 9的算术平方根是（ ）
A. 81 B. 3 C. ±3 D.
2. 在平面直角坐标系中，点M（2，3）在（　　）
A 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3. 下列实数，，（相邻两个1之间依次多一个0），，，中，无理数有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
4. 如图，直线被所截，则和是( )

A. 同位角 B. 内错角 C. 同旁内角 D. 邻补角
5. 下列各数中一定有平方根的是（　　）
A. B. C. D.
6. 一把直尺和一个含，角的三角板如图所示摆放，直尺一边与三角板的两直角边分别交于，两点，另一边与三角板的两直角边分别交于，两点，且，那么的大小为（ ）

A. B. C. D.
7. 如图，直线AB，CD相交于点O，分别作∠AOD，∠BOD的平分线OE，OF． 将直线CD绕点O旋转，下列数据与∠BOD大小变化无关的是（ ）

A. ∠AOD的度数 B. ∠AOC的度数
C. ∠EOF的度数 D. ∠DOF的度数
8. 如示意图，小宇利用两个面积为1 dm2的正方形拼成了一个面积为2 dm2的大正方形，并通过测量大正方形的边长感受了dm的大小． 为了感知更多无理数的大小，小宇利用类似拼正方形的方法进行了很多尝试，下列做法不能实现的是（ ）

A. 利用两个边长为2dm的正方形感知dm的大小
B. 利用四个直角边为3dm等腰直角三角形感知dm的大小
C. 利用一个边长为dm的正方形以及一个直角边为2dm的等腰直角三角形感知dm的大小
D. 利用四个直角边分别为1 dm和3 dm的直角三角形以及一个边长为2 dm的正方形感知dm的大小
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9. 如图，要在河岸l上建一个水泵房，修建引水渠到村庄处．施工人员的做法是：过点作于点，将水泵房建在了处．这样修建引水渠最短，既省人力又省物力，这样做蕴含的数学原理是________．

10. 如图，两直线交于点O，若∠1+∠2=76°，则∠1=________度．

11. 如图，在四边形中，点在的延长线上，连接，如果添加一个条件，使，那么可添加的条件为_________（写出一个即可）．

12. 在平面直角坐标系中，点的坐标为（，），若线段∥轴，且，则点的坐标为_______．
13. 用一个实数的值说明命题“”是假命题，这个的值可以是__________．
14. 为纪念戍边英雄，某班设计了《致敬英雄》主题宣传板报，黑板是一块长为2米，宽为米的长方形，版面设计如图所示，将它分割成两块边长均为米的正方形和正方形，分别以点为圆心，正方形边长为半径画弧．阴影部分用图画展示英雄形象，空白部分用文字宣传英雄事迹．阴影部分的面积为________平方米（用含的代数式表示）．

15. 为迎接校庆，某学校在东西走向的勤学路上修建了一排边长为1m的小正方形花坛，如图1所示． 小欢和小乐来到花坛边欣赏风景，小欢以自己所在的A点为原点，以向东的方向为正方向，以花坛对角线的长度m为单位长度建立数轴，如图2所示． 若小乐在小欢的东15 m处，那么在图2的数轴上，小乐所在的点位于两个相邻整数之间，这两个整数分别是_____．


16. 在平面直角坐标系中，我们定义，点P沿着水平或竖直方向运动到达点Q的最短路径的长度为P，Q两点之间的“横纵距离”． 如图所示，点A的坐标为（，），则A，O两点之间的“横纵距离”为5

（1）若点B的坐标为（），则A，B两点之间的“横纵距离”为_________；
（2）已知点C的坐标为（0，2），D，O两点之间的“横纵距离”为5，D，C两点之间的“横纵距离”为3，请写出两个满足条件的点D的坐标：___________， ____________．
三、解答题（本题共68分，第17，18，20，21，22，25题，每小题5分，第19，23，24，26题，每小题6分，第27，28题，每小题7分）
17. 计算：．
18. 计算：．
19. 求出下列等式中x的值：
（1）；
（2）．
20. 已知：如图，直线，相交于点， ，平分，求的度数．

21. 完成下面的证明：已知：如图，．求证：∥．

证明：过点作∥．
（ ）．
，
．
∥ （ ）．
∥（ ）．
22. 如图，在平面直角坐标系中，三角形的三个顶点分别是，，．将三角形先向右平移4个单位，再向下平移3个单位，得到三角形．
（1）请在图中画出平移后的三角形；
（2）三角形的面积是 ．

23. 已知：实数，满足．
（1）可得 ， ；
（2）当一个正实数两个平方根分别为和时，求的值．
24. 已知：如图，∥，和交于点，为上一点，为上一点，且．求证：．

25. 2020年5月1日新版《北京市生活垃圾管理条例》实施，意味着北京市垃圾分类正式进入法治化、常态化、系统化轨道． 条例明确规定，将垃圾分为厨余垃圾、有害垃圾、其他垃圾和可回收物4类． 为了帮助同学们养成垃圾分类的好习惯，七年级一班计划以此为主题召开一次班会，需要一部分同学手绘可回收物的标识小卡片（如图）．发给大家的纸张和样图中的纸张一样，都是边长为cm的正方形．为了让大家画的标志在纸张中的位置大小尽可能的一致．标志中标注了A，B，C三个关键点，请你通过测量告诉大家A，B，C三点在纸张中的位置．

26. 在平面直角坐标系中，已知点，，，…，，，其中，，，…，，为正整数．顺次连接，，，…，，的折线与轴、轴围成的封闭图形记为图形．小明在求图形的面积时，过点，，…，作轴的垂线，将图形分成个四边形，计算这些四边形面积的和，可以求出图形的面积．

请你参考小明的思路，解决下面的问题．
（1）当时，
①若，如图1，则图形的面积为 ；
②用含有，，式子表示图形的面积为 ．
（2）当时，从1，2，3，…，10这10个正整数中任选5个不同的数作为．
①小明选择了，请在图2中画出此时的图形；
②在①的条件下，若小聪用剩下的5个数1，2，8，9，10作为的取值，使新得到的图形的面积与小明的图形的面积相等，请直接写出这五个数的排序 （写出一组即可）．
27. 已知：直线∥，A为直线上的一个定点，过点A的直线交 于点B，点C在线段BA的延长线上．D，E为直线上的两个动点，点D在点E的左侧，连接AD，AE，满足∠AED＝∠DAE．点M在上，且在点B的左侧．
（1）如图1，若∠BAD＝25°，∠AED＝50°，直接写出ÐABM的度数 ；
（2）射线AF为∠CAD的角平分线．
① 如图2，当点D在点B右侧时，用等式表示∠EAF与∠ABD之间的数量关系，并证明；
② 当点D与点B不重合，且∠ABM＋∠EAF＝150°时，直接写出∠EAF的度数 ．

28. 在平面直角坐标系中，M（a，b），N（c，d），对于任意的实数，我们称P（ka＋kc，kb＋kd）为点M和点N的k系和点．例如，已知M（2，3），N（1，），点M和点N的2系和点为K（6，2）．横、纵坐标都为整数的点叫做整点，已知A（1，2），B（2，0）．

（1）点A和点B的系和点的坐标为________（直接写出答案）；
（2）已知点C（m，2），若点B和点Ck系和点为点D，点D在第一、三象限的角平分线上．
①求m的值；
②若点D为整点，且三角形BCD的内部（不包括边界）恰有3个整点，直接写出k的值 ；
（3）若点E与点A关于x轴对称，点B向右平移一个单位得到点F，点H为线段BF上的动点，点P为点A和点H的k系和点，点Q为点E和点H的k系和点，k＞0，在点H运动过程中，若四边形AEQP的内部（不包括边界）都至少有10个整点，至多有15个整点，则k的取值范围为 ．

参考答案
考生须知：
1.本调研卷共8页，共3道大题，28道小题，满分100分，考试时间90分钟．
2.在调研卷上准确填写学校名称、班级名称和姓名．
3.答案一律在调研卷上用黑色字迹签字笔作答．
4. 考试结束，请将本调研卷交回．
一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1－8题均有四个选项，符合题意的只有一个．
1. 9的算术平方根是（ ）
A. 81 B. 3 C. ±3 D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据算术平方根的定义即可得．
【详解】由算术平方根的定义得：9的算术平方根是，
故选：B．
【点睛】本题考查了算术平方根的定义，熟记定义是解题关键．
2. 在平面直角坐标系中，点M（2，3）在（　　）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】A
【解析】
【分析】根据横坐标大于0，纵坐标大于0，则这点在第一象限．
【详解】解：∵2＞0，3＞0，
∴（2，3）在第一象限，
故选：A．
【点睛】本题考查了点的坐标，四个象限内坐标的符号：第一象限：+，+；第二象限：﹣，+；第三象限：﹣，﹣；第四象限：+，﹣；是基础知识要熟练掌握．
3. 下列实数，，（相邻两个1之间依次多一个0），，，中，无理数有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】D
【解析】
【分析】无理数就是无限不循环小数，根据定义即可作出判断．
【详解】是分数，属于有理数，
，是整数，属于有理数，
无理数有，(相邻两个1之间依次多一个0)， ，，共4个，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数，如，，(每两个8之间依次多1个0)等形式．
4. 如图，直线被所截，则和是( )

A. 同位角 B. 内错角 C. 同旁内角 D. 邻补角
【答案】B
【解析】
【分析】由内错角的定义（两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角）进行解答．
【详解】解：如图所示，

两条直线被直线所截形成的角中，∠1与∠2都在直线的之间，并且在直线的两旁，所以∠1与∠2是内错角．
故选B．
5. 下列各数中一定有平方根的是（　　）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】正数的平方根有两个，0的平方根是0，负数没有平方根．题中要求这个数一定有平方根，所以这个数不论m取何值，都得是非负数．
【详解】解：A．当m＝0时，m2﹣1＝﹣1＜0，不符合题意；
B．当m＝1时，﹣m＝﹣1＜0，不符合题意；
C．当m＝﹣5时，m+1＝﹣4＜0，不符合题意；
D．不论m取何值，m2≥0，m2+1＞0，符合题意．
故选：D．
【点睛】这道题主要考查对平方根的理解，做题的关键是要知道负数没有平方根．
6. 一把直尺和一个含，角的三角板如图所示摆放，直尺一边与三角板的两直角边分别交于，两点，另一边与三角板的两直角边分别交于，两点，且，那么的大小为（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先根据∠CED=50°，DE∥AF，即可得到∠CAF=50°，最后根据∠BAC=60°，即可得出∠BAF大小．
【详解】解：∵DEAF，∠CED=50°，
∴∠CAF=∠CED=50°，
∵∠BAC=60°，
∴∠BAF=60°﹣50°=10°．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质的运用，解题的关键是掌握平行线的性质：两直线平行，同位角相等．
7. 如图，直线AB，CD相交于点O，分别作∠AOD，∠BOD的平分线OE，OF． 将直线CD绕点O旋转，下列数据与∠BOD大小变化无关的是（ ）

A. ∠AOD的度数 B. ∠AOC的度数
C. ∠EOF的度数 D. ∠DOF的度数
【答案】C
【解析】
【分析】由角平分线性质解得，根据对角线性质、平角性质解得，，据此解题．
【详解】解： OE，OF平分∠AOD，∠BOD






都与∠BOD大小变化有关，
只有∠EOF的度数与∠BOD大小变化无关，
故选：C．
【点睛】本题考查角平分线性质、涉及对顶角、平角等知识，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
8. 如示意图，小宇利用两个面积为1 dm2的正方形拼成了一个面积为2 dm2的大正方形，并通过测量大正方形的边长感受了dm的大小． 为了感知更多无理数的大小，小宇利用类似拼正方形的方法进行了很多尝试，下列做法不能实现的是（ ）

A. 利用两个边长为2dm的正方形感知dm的大小
B. 利用四个直角边为3dm的等腰直角三角形感知dm的大小
C. 利用一个边长为dm的正方形以及一个直角边为2dm的等腰直角三角形感知dm的大小
D. 利用四个直角边分别为1 dm和3 dm的直角三角形以及一个边长为2 dm的正方形感知dm的大小
【答案】C
【解析】
【分析】在拼图的过程中，拼前，拼后的面积相等，所以我们只需要分别计算拼前，拼后的面积，看是否相等，就可以逐一排除．
【详解】A：，=8，不符合题意；
B：4×(3×3÷2)=18，=18，不符合题意；
C：，，符合题意；
D：，，不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了利用二次根式计算面积，解题的关键是在拼图的过程中，拼前，拼后的面积相等．
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9. 如图，要在河岸l上建一个水泵房，修建引水渠到村庄处．施工人员的做法是：过点作于点，将水泵房建在了处．这样修建引水渠最短，既省人力又省物力，这样做蕴含的数学原理是________．

【答案】垂线段最短
【解析】
【分析】根据垂线段最短原理解题．
【详解】过点作于点，将水泵房建在了处，
这样做既省人力又省物力，其数学原理是：垂线段最短，
故答案为：垂线段最短．
【点睛】本题考查垂线段最短的实际应用，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
10. 如图，两直线交于点O，若∠1+∠2=76°，则∠1=________度．

【答案】38
【解析】
【分析】直接利用对顶角的性质结合已知得出答案．
【详解】解：∵两直线交于点O，
∴∠1=∠2，
∵∠1+∠2=76°，
∴∠1=38°．
故答案为：38．
【点睛】此题主要考查了对顶角，正确把握对顶角的定义是解题关键．
11. 如图，在四边形中，点在的延长线上，连接，如果添加一个条件，使，那么可添加的条件为_________（写出一个即可）．

【答案】
【解析】
【分析】根据平行线的判定定理添加条件即可．
【详解】解：根据内错角相等两直线平行，可添加，
故答案为：．
【点睛】本题考查平行线判定，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
12. 在平面直角坐标系中，点的坐标为（，），若线段∥轴，且，则点的坐标为_______．
【答案】（5，）或（，）##（，）或（5，）
【解析】
【分析】在平面直角坐标系中与x轴平行，则它上面的点纵坐标相同，可求B点纵坐标；与x轴平行，则分别从当点B在点A的右边时和当点B在点A的左边时两种情况，求得B点横坐标．
【详解】解：∵AB∥x轴，
∴点B纵坐标与点A纵坐标相同，为−1，
∵AB＝3，
∴当点B在点A的右边时，点B的横坐标为2＋3＝5；
当点B在点A的左边时，点B的横坐标为2−3＝−1；
∴B点坐标（5，−1），（−1，−1）．
故答案为：（5，−1）或（−1，−1）．
【点睛】此题考查了平面直角坐标系中点的坐标规律，熟练掌握平面直角坐标系中坐标特点及规律是解题的关键．
13. 用一个实数的值说明命题“”是假命题，这个的值可以是__________．
【答案】-1（答案不唯一，即可．）
【解析】
【分析】选取的的值不满足即可．
【详解】时，满足是实数，但不满足，
所以可作为说明命题“如果是任意实数，那么“”是假命题的一个反例．
故答案为：-1（答案不唯一，即可．）
【点睛】本题考查了命题与定理，要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
14. 为纪念戍边英雄，某班设计了《致敬英雄》主题宣传板报，黑板是一块长为2米，宽为米的长方形，版面设计如图所示，将它分割成两块边长均为米的正方形和正方形，分别以点为圆心，正方形边长为半径画弧．阴影部分用图画展示英雄形象，空白部分用文字宣传英雄事迹．阴影部分的面积为________平方米（用含的代数式表示）．

【答案】
【解析】
【分析】利用平移的性质，将扇形CEF平移至扇形FAB，根据正方形的面积公式解题．
【详解】解：正方形和正方形都是边长均为米的正方形，


故答案为: ．
【点睛】本题考查扇形面积公式、不规则图形的面积等知识，涉及转化、平移思想，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
15. 为迎接校庆，某学校在东西走向的勤学路上修建了一排边长为1m的小正方形花坛，如图1所示． 小欢和小乐来到花坛边欣赏风景，小欢以自己所在的A点为原点，以向东的方向为正方向，以花坛对角线的长度m为单位长度建立数轴，如图2所示． 若小乐在小欢的东15 m处，那么在图2的数轴上，小乐所在的点位于两个相邻整数之间，这两个整数分别是_____．


【答案】10和11
【解析】
【分析】先计算小乐距离小欢有个单位长度，再估算无理数的大小即可解题．
【详解】解：因为小乐在小欢的东边15m处，而坐标轴上单位长度代表m，
则小乐距离小欢有个单位长度，
又，且，
所以这两个整数分别是10和11，
故答案为：10和11．
【点睛】本题考查数轴、无理数的估算等知识，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
16. 在平面直角坐标系中，我们定义，点P沿着水平或竖直方向运动到达点Q的最短路径的长度为P，Q两点之间的“横纵距离”． 如图所示，点A的坐标为（，），则A，O两点之间的“横纵距离”为5

（1）若点B的坐标为（），则A，B两点之间的“横纵距离”为_________；
（2）已知点C的坐标为（0，2），D，O两点之间的“横纵距离”为5，D，C两点之间的“横纵距离”为3，请写出两个满足条件的点D的坐标：___________， ____________．
【答案】 ①. 9 ②. （1，4） ③. （，）
【解析】
【分析】（1）根据A，B两点之间的“横纵距离”的意义求解即可；
（2）画出图形，找到同时满足“D，O两点之间的“横纵距离”为5，D，C两点之间的“横纵距离”为3”的两个点即可．
【详解】（1）点A的坐标为（，），点B的坐标为（），
∴A，B两点之间的“横纵距离”为：2+3+3+1=9，
故答案为：9；
（2）如图：

由题意得：
①点（1，4），O两点之间的“横纵距离”为：4+1=5，
点（1，4），点C（0，2）两点之间的“横纵距离”为：；
②点（，），O两点之间的“横纵距离”为5，
点（，），点C（0，2）两点之间的“横纵距离”为：；
故答案为：（1，4）；（，）．
【点睛】本题考查了坐标与图形，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．第2问要注意同时满足两个条件．
三、解答题（本题共68分，第17，18，20，21，22，25题，每小题5分，第19，23，24，26题，每小题6分，第27，28题，每小题7分）
17. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】直接利用二次根式的性质以及立方根的性质分别化简得出答案．
【详解】解：原式
．
【点睛】本题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题的关键．
18. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】先利用二次根式的乘法法则和绝对值的意义计算，然后合并即可.
【详解】解：原式

．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可.在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍.
19. 求出下列等式中x的值：
（1）；
（2）．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】（1）先根据等式的性质化为，再根据平方根的定义即可求解；
（2）先根据等式的性质得到，再化为，根据立方根的定义即可求解．
【详解】解：（1）；
，
；
（2），
，
，
．
【点睛】本题考查了根据平方根、立方根的定义解方程，熟知平方根，立方根的定义，理解解方程就是将方程转化为“”的形式是解题的关键．
20. 已知：如图，直线，相交于点， ，平分，求的度数．

【答案】110°
【解析】
【分析】根据补角的性质得到，由角平分线的性质得到，根据补角的性质可求出答案.
【详解】解：∵，
∴．
∵平分，
∴．
∴．
【点睛】本题考查的是补角和角平分线的定义，掌握互为补角的和等于180°和角平分线的定义是解题的关键．
21. 完成下面的证明：已知：如图，．求证：∥．

证明：过点作∥．
（ ）．
，
．
∥ （ ）．
∥（ ）．
【答案】；两直线平行，内错角相等；；；内错角相等，两直线平行；如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行
【解析】
【分析】根据两直线平行的性质和判定即可解答．
【详解】证明：过点作．
∴（两直线平行，内错角相等）．
∵，
∴，
∴（内错角相等，两直线平行），
∴（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）．
【点睛】本题考查了两直线平行的性质和判定，解题的关键是准确作出辅助线．
22. 如图，在平面直角坐标系中，三角形的三个顶点分别是，，．将三角形先向右平移4个单位，再向下平移3个单位，得到三角形．
（1）请在图中画出平移后的三角形；
（2）三角形的面积是 ．

【答案】（1）见解析；（2）6
【解析】
【分析】（1）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案；
（2）直接利用三角形所在矩形面积减去周围三角形面积进而得出答案．
【详解】（1）如图，

∴三角形为所求．
（2）三角形 的面积是：
故答案为：6．
【点睛】本题考查了平移交换以及三角形面积求法，正确得出对应点位置是解题的关键．
23. 已知：实数，满足．
（1）可得 ， ；
（2）当一个正实数的两个平方根分别为和时，求的值．
【答案】（1），；（2）4
【解析】
【分析】（1）根据二次根式和平方的非负性可得到，，运算求解即可；
（2）根据一个正数的平方根为一对相反数，列式运算即可．
【详解】（1），；
（2）依题意，得．
即．
∴．
∴．
【点睛】本题主要考查了二次根式和平方的非负性，一个数平方根，熟悉掌握概念是解题的关键．
24. 已知：如图，∥，和交于点，为上一点，为上一点，且．求证：．

【答案】见解析
【解析】
【分析】根据平行线性质证得，再由同角的补角相等得，则推出∥，可得，即可证得结论．
【详解】证明：∵∥，
∴．
∵，
∴．
∴∥．
∴．
∴．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键．
25. 2020年5月1日新版《北京市生活垃圾管理条例》实施，意味着北京市垃圾分类正式进入法治化、常态化、系统化轨道． 条例明确规定，将垃圾分为厨余垃圾、有害垃圾、其他垃圾和可回收物4类． 为了帮助同学们养成垃圾分类的好习惯，七年级一班计划以此为主题召开一次班会，需要一部分同学手绘可回收物的标识小卡片（如图）．发给大家的纸张和样图中的纸张一样，都是边长为cm的正方形．为了让大家画的标志在纸张中的位置大小尽可能的一致．标志中标注了A，B，C三个关键点，请你通过测量告诉大家A，B，C三点在纸张中的位置．

【答案】（1.5，2.2）， （0.8，1），（2.2，1）（答案不唯一）
【解析】
【分析】以正方形左下角为原点，过原点且平行于BC的直线为x轴，过原点且与x轴垂直的直线为y轴建立平面直角坐标系，然后根据测量的结果可以写出A、B、C的坐标．
【详解】解：如图，建立平面直角坐标系，则（1.5，2.2）， （0.8，1），（2.2，1）．（答案不唯一）

【点睛】本题考查平面直角坐标系的应用，建立合适的坐标系后用有序实数对表示平面上点的位置是解题关键．
26. 在平面直角坐标系中，已知点，，，…，，，其中，，，…，，为正整数．顺次连接，，，…，，的折线与轴、轴围成的封闭图形记为图形．小明在求图形的面积时，过点，，…，作轴的垂线，将图形分成个四边形，计算这些四边形面积的和，可以求出图形的面积．

请你参考小明的思路，解决下面的问题．
（1）当时，
①若，如图1，则图形的面积为 ；
②用含有，，的式子表示图形的面积为 ．
（2）当时，从1，2，3，…，10这10个正整数中任选5个不同的数作为．
①小明选择了，请在图2中画出此时的图形；
②在①的条件下，若小聪用剩下的5个数1，2，8，9，10作为的取值，使新得到的图形的面积与小明的图形的面积相等，请直接写出这五个数的排序 （写出一组即可）．
【答案】（1） ①； ② ；（2）①画图见解析；② 8，1，2，10，9（答案不唯一）．
【解析】
【分析】(1)①利用分割法求出面积即可；②利用分割法求解即可；
(2)①根据题意，利用描点法画出图形即可；②根据面积相等取点即可(答案不唯一)
【详解】(1)①如图1所示，

过点，作于，
图形的面积=四边形的面积+四边形，
，
故答案为：；
②同样可得图形的面积=，
故答案为： ．
（2）①如图2所示：，

②如图3所示，

小明的图形的面积

，
新图形的面积

，
∴新得到的图形的面积与小明的图形的面积相等，
故答案为：8，1，2，10，9．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了坐标与图形的性质，多边形的面积等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
27. 已知：直线∥，A为直线上的一个定点，过点A的直线交 于点B，点C在线段BA的延长线上．D，E为直线上的两个动点，点D在点E的左侧，连接AD，AE，满足∠AED＝∠DAE．点M在上，且在点B的左侧．
（1）如图1，若∠BAD＝25°，∠AED＝50°，直接写出ÐABM的度数 ；
（2）射线AF为∠CAD的角平分线．
① 如图2，当点D在点B右侧时，用等式表示∠EAF与∠ABD之间的数量关系，并证明；
② 当点D与点B不重合，且∠ABM＋∠EAF＝150°时，直接写出∠EAF的度数 ．

【答案】（1）；（2）①，见解析；②或
【解析】
【分析】（1）由平行线的性质可得到：，，再利用角的等量代换换算即可；
（2）①设，，利用角平分线的定义和角的等量代换表示出对比即可；②分类讨论点在的左右两侧的情况，运用角的等量代换换算即可．
【详解】．
解：（1）设在上有一点N在点A的右侧，如图所示：

∵
∴，
∴
∴

（2）①．
证明：设，．

∴．
∵为的角平分线，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
②当点在点右侧时，如图：

由①得：
又∵
∴
∵
∴
当点在点左侧，在右侧时，如图：

∵为的角平分线
∴
∵
∴，
∵
∴
∴

∵
∴
又∵
∴
∴
当点和在点左侧时，设在上有一点在点的右侧如图：

此时仍有，
∴
∴
综合所述：或
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，角的等量代换等，灵活运用平行线的性质和角平分线定义等量代换出角的关系是解题的关键．
28. 在平面直角坐标系中，M（a，b），N（c，d），对于任意的实数，我们称P（ka＋kc，kb＋kd）为点M和点N的k系和点．例如，已知M（2，3），N（1，），点M和点N的2系和点为K（6，2）．横、纵坐标都为整数的点叫做整点，已知A（1，2），B（2，0）．

（1）点A和点B的系和点的坐标为________（直接写出答案）；
（2）已知点C（m，2），若点B和点C的k系和点为点D，点D在第一、三象限的角平分线上．
①求m的值；
②若点D为整点，且三角形BCD的内部（不包括边界）恰有3个整点，直接写出k的值 ；
（3）若点E与点A关于x轴对称，点B向右平移一个单位得到点F，点H为线段BF上动点，点P为点A和点H的k系和点，点Q为点E和点H的k系和点，k＞0，在点H运动过程中，若四边形AEQP的内部（不包括边界）都至少有10个整点，至多有15个整点，则k的取值范围为 ．
【答案】（1）；（2）①m＝0；②或；（3）．
【解析】
【分析】（1）根据点M和点N的k系和点的定义求解即可．
（2）①由题意得到D（2k+mk，2k），根据点D在在第一、三象限角平分线上，构建方程求解即可．②判断出D的坐标，可得结论．
（3）利用图象法以及不等式组解决问题即可．
【详解】解：（1）由题意：（1+2），（2+0）＝1，
∴点A和点B的系和点的坐标为（，1）．
故答案为：（，1）．
（2）①∵点D（x，y）为B（2，0）和C（m，2）的k系和点，
∴x＝2k+mk，y＝2k．
即D（2k+mk，2k），
∵点D在第一、三象限角平分线上，
∴2k+mk＝2k．
∴mk＝0．
∵k≠0，
∴m＝0．
②如图1中，由题意，当D（3，3）或D′（﹣1，﹣1）时，满足条件．

∵C（0，2），B（2，0），
∴k（0+2）＝3或k（0+2）＝﹣1，
∴或．
故答案为：或；
（3）如图2中，由题意A（1，2），E（1，﹣2）．

2≤m≤3，
∴P（k+km，2k），Q（k+km，﹣2k）．
∵k＞0．在点H运动过程中，若四边形AEQP的内部（不包括边界）都至少有10个整点，至多有15个整点，
观察图象可知：，
解得．
故答案为：．
【点睛】本题考查了坐标与图形的性质，象限角平分线的坐标特点，新定义等知识，综合性较强，理解P（ka+kc，kb+kd）为点M和点N的k系和点的定义，图形与坐标等知识，并根据题意学会利用参数构建方程或不等式解决问题是解题关键．