2021北京九中初一（下）期中数学（教师版）

2021北京九中初一（下）期中

数    学

一、选择题（本题共16分，每小题2分）下面各题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．

1．（2分）清代袁枚的一首诗《苔》中的诗句：“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”若苔花的花粉直径约为0.0000084米，则数据0.0000084用科学记数法表示为　　

A． B． C． D．

2．（2分）若，则下列不等式成立的是　　

A． B． C． D．

3．（2分）下列计算正确的是　　

A． B． C． D．

4．（2分）不等式组的解集在数轴上表示为　　

A． B． C． D．

5．（2分）下列说法正确的是　　

（1）如果互余的两个角的度数之比为，那么这两个角分别为和

（2）如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角不一定相等

（3）如果两个角的度数分别是和，那么这两个角互余

（4）一个锐角的余角比这个锐角的补角小

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

6．（2分）若，则　　

A．， B．， C．， D．，

7．（2分）关于的不等式恰有两个负整数解，则的取值范围是　　

A． B． C． D．

8．（2分）设，是实数，定义一种新运算：．下面有四个推断：①；②；③；④．其中所有正确推断的序号是　　

A．①③ B．①② C．①③④ D．①②③④

二、填空题（本题共16分，每小题2分）

9．（2分）用不等式表示：与3的和不大于1，则这个不等式是：　　

10．（2分）不等式非负整数解是 　　．

11．（2分）已知一个角的补角是这个角的余角的4倍，则这个角的度数为　 　．

12．（2分）若关于的二次三项式是完全平方式，则　　．

13．（2分）已知，，则的结果是 　　．

14．（2分）若不等式组的解集为，那么的值等于　　．

15．（2分）如图，将两个边长分别为和的正方形拼在一起，，，三点在同一直线上，连接和，若这两个正方形的边长满足，，则阴影部分的面积为　　．

16．（2分）我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”（如图）就是一例．这个三角形给出了，2，3，4，5，的展开式的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中各项的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着展开式中各项的系数，等等．

有如下四个结论：

①；

②当，时，代数式的值是；

③当代数式的值是0时，一定是，；

④的展开式中的各项系数之和为．

上述结论中，正确的有　　（写出序号即可）．

三、计算题（本题共13分，第17题8分，第18题10分）

17．（8分）直接写出计算结果：

（1）　　；

（2）　　；

（3）　　；

（4）　　．

18．（10分）（1）．

（2）．

四、解答题（本题共50分，第19-28题每题5分）

19．（5分）解不等式：，并把不等式的解集在数轴上表示出来．

20．（5分）解不等式组，并写出它的所有正整数解．

21．（5分）先化简，再求值：，其中．

22．（5分）解不等式：．

23．（5分）已知，求代数式的值．

24．（5分）某公司决定从厂家购进甲、乙两种不同型号的显示器共50台，购进显示器的总金额不超过77000元，已知甲、乙型号的显示器价格分别为1000元台、2000元台．

（1）求该公司至少购买甲型显示器多少台？

（2）若要求甲型显示器的台数不超过乙型显示器的台数，问有哪些购买方案？

25．（5分）已知，．求下列代数式的值：

（1）；

（2）．

26．（5分）已知关于，的二元一次方程组的解满足，其中是非负整数，求的值．

27．（5分）图1和图2的大正方形都是由一些长方形和小正方形组成的．观察图形，完成下列各题：

（1）如图1，求的方法有两种：，同时，　　．所以图1可以用来解释等式：　　；同理图2可以用来解释等式：　　．

（2）已知，，利用上面得到的等式，求的值．

28．（5分）关于的代数式，若，则称代数式为完美代数式．

已知关于的代数式：①；②．

（1）若代数式①是完美代数式，求的取值范围；

（2）判断代数式②是否为完美代数式．

2021北京九中初一（下）期中数学

参考答案

一、选择题（本题共16分，每小题2分）下面各题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．

1．【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．

【解答】解：，

故选：．

【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．

2．【分析】根据不等式的性质，可得答案．

【解答】解：、若，则，原变形不成立，故此选项不符合题意；

、若，则，原变形不成立，故此选项不符合题意；

、若，则，原变形不成立，故此选项不符合题意；

、若，则，原变形成立，故此选项符合题意．

故选：．

【点评】本题考查了不等式的性质．能够正确利用不等式的性质是解题的关键．不等式的性质：不等式两边加上（或减去）同一个数，不等号方向不变；不等式两边乘以（或除以）同一个正数，不等号方向不变；不等式两边乘以（或除以）同一个负数，不等号方向改变．

3．【分析】根据同底数幂的乘法、同底数幂的除法、幂的乘方以及积的乘方解决此题．

【解答】解：．根据幂的乘方，得，故符合题意．

．根据同底数幂的乘法，得，故不符合题意．

．根据积的乘方，得，故不符合题意．

．根据同底数幂的除法，得，故不符合题意．

故选：．

【点评】本题主要考查同底数幂的乘法、同底数幂的除法、幂的乘方以及积的乘方，熟练掌握同底数幂的乘法、同底数幂的除法、幂的乘方以及积的乘方是解决本题的关键．

4．【分析】直接把各不等式的解集在数轴上表示出来即可．

【解答】解：不等式组的解集在数轴上表示为：

．

故选：．

【点评】本题考查的是在数轴上表示不等式组的解集，熟知：“小于向左，大于向右”是解答此题的关键．

5．【分析】根据余角和补角的定义，结合度分秒的换算逐项计算可判断求解．

【解答】解：（1）如果互余的两个角的度数之比为，那么这两个角分别为和，故原说法错误；

（2）如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角一定相等，故原说法错误；

（3）如果两个角的度数分别是和，那么这两个角互余，故原说法正确；

（4）一个锐角的余角比这个锐角的补角小，故正确．

正确的个数有2个，

故选：．

【点评】本题主要考查补角和余角，灵活运用余角和补角的性质及求解角的度数是解题的关键．

6．【分析】首先根据多项式乘法法则展开，然后根据多项式各项系数即可确定、的值．

【解答】解：，

而，

，

，．

故选：．

【点评】此题主要考查了多项式的定义和乘法法则，首先利用多项式乘法法则展开，再根据多项式的定义确定、的值．

7．【分析】表示出已知不等式的解集，根据负整数解只有，，确定出的范围即可．

【解答】解：不等式，

解得：，

不等式的负整数解只有两个负整数解，

故选：．

【点评】此题考查了一元一次不等式的整数解，弄清题意是解本题的关键．

8．【分析】先根据新运算进行变形，再根据乘法公式进行判断即可．

【解答】解：①，，故①正确；

②，，故②错误；

③，，故③正确；

④，．，故④错误；

即正确的为①③，

故选：．

【点评】本题考查了整式的混合运算和乘法公式，能正确根据整式的运算法则进行计算是解此题的关键．

二、填空题（本题共16分，每小题2分）

9．【分析】“与3的和不大于1”意思是小于或等于1，据此列式即可．

【解答】解：由题意得：．

【点评】解决本题的关键是理解“不大于”用数学符号表示应为：“”．

10．【分析】先根据不等式的基本性质求出的取值范围，再根据的取值范围求出符合条件的的非负整数解即可．

【解答】解：移项得，，

故原不等式的非负整数解为：0，1，2，3，4，5，

故答案为0，1，2，3，4，5．

【点评】本题考查了一元一次不等式的整数解，正确解不等式，求出解集是解答本题的关键．解不等式应根据不等式的基本性质．

11．【分析】根据互余的两角之和为，互补的两角之和为，表示出余角和补角，然后列方程求解即可．

【解答】解：设这个角为，则补角为，余角为，

由题意得，，

解得：，即这个角为．

故答案为：．

【点评】此题考查了余角和补角的知识，属于基础题，关键是掌握互余的两角之和为，互补的两角之和为．

12．【分析】先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定的值．

【解答】解：，

或，

①当时，解得，

②当时，解得，

③当时，解得，

④当时，解得，

综上所述，值为或1．

故答案为：或1．

【点评】本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键，也是难点，熟记完全平方公式对解题非常重要．

13．【分析】根据幂的乘方以及同底数幂的乘法解决此题．

【解答】解：，，

．

故答案为：．

【点评】本题主要考查幂的乘方以及同底数幂的乘法的逆运算，熟练掌握幂的乘方以及同底数幂的乘法是解决本题的关键．

14．【分析】先用字母，表示出不等式组的解集，然后再根据已知解集是，对应得到相等关系，，求出，的值再代入所求代数式中即可求解．

【解答】解：解不等式组可得解集为

因为不等式组的解集为，所以，，

解得，代入．

故答案为：．

【点评】主要考查了一元一次不等式组的解定义，解此类题是要先用字母，表示出不等式组的解集，然后再根据已知解集，对应得到相等关系，解关于字母，的一元一次方程求出字母，的值，再代入所求代数式中即可求解．

15．【分析】根据阴影部分的面积等于两个正方形的面积之和减去空白的面积，列式化简，再把，代入计算即可．

【解答】解：大小两个正方形边长分别为、，

阴影部分的面积；

，，

．

故答案为：20．

【点评】本题考查了完全平方公式的几何背景，熟练掌握完全平方公式及正方形和三角形的面积计算是解题的关键．

16．【分析】根据杨辉三角的规律可得的展开式的系数规律可使问题求解．

【解答】解：①；

②当，时，代数式；

③当代数式时，，不一定是，；

④的展开式中的各项系数之和为，不是．

故答案是：①②．

【点评】本题要先分析杨辉三角的展开式的系数规律，然后用规律解决问题．

三、计算题（本题共13分，第17题8分，第18题10分）

17．【分析】（1）先乘方，再加减即可；

（2）逆用积的乘方法则进行计算；

（3）运用幂的乘方法则，同底数幂的乘除法法则以及积的乘方法则计算即可；

（4）运用平方差公式计算即可．

【解答】解：（1）原式

；

故答案为：．

（2）原式

；

故答案为：．

（3）原式

；

故答案为：．

（4）原式

；

故答案为：9996．

【点评】本题考查了实数的运算，平方差公式，同底数幂的乘除法，幂的乘方与积的乘方，零指数幂，负整数指数幂，熟练掌握各运算法则是解题关键．

18．【分析】（1）先计算乘方，再计算乘除法即可；

（2）先计算括号内的运算，再利用多项式除以单项式法则计算即可．

【解答】解：（1）原式

；

（2）原式

．

【点评】本题主要考查整式的混合运算，解题的关键是掌握整式的混合运算顺序和运算法则．

四、解答题（本题共50分，第19-28题每题5分）

19．【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得．

【解答】解：去分母，得：，

移项，得：，

合并，得：，

系数化为1，得：；

将不等式的解集表示在数轴上如下：

．

【点评】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．

20．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．

【解答】解：解不等式，得：，

解不等式，得：，

故不等式组的解集为：，

所以其正整数解有：1、2、3，

【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．

21．【分析】先进行整式的混合运算，化简后代入值即可解答．

【解答】解：原式

，

当时，

原式．

【点评】本题考查了整式的混合运算化简求值，解决本题的关键是掌握整式的混合运算．

22．【分析】不等式整理后，移项合并，把系数化为1，即可求出解集．

【解答】解：，

，

，

故不等式的解为．

【点评】此题主要考查了平方差公式，完全平方公式和多项式乘多项式以及不等式的解法，熟练掌握平方差公式，完全平方公式和多项式乘多项式的运算法则是解决问题的关键．

23．【分析】先利用完全平方公式、平方差公式计算，再用整体思想和已知条件求出最后答案．

【解答】解：

．

，

原式．

【点评】本题考查了完全平方公式、平方差公式，掌握两个公式的熟练应用，整体思想是解决此题的关键．

24．【分析】（1）设该公司购进甲型显示器台，则购进乙型显示器台，根据两种显示器的总价不超过77000元建立不等式，求出其解即可；

（2）由甲型显示器的台数不超过乙型显示器的台数可以建立不等式与（1）的结论构成不等式组，求出其解即可．

【解答】解：（1）设该公司购进甲型显示器台，则购进乙型显示器台，

由题意，得：

解得：．

该公司至少购进甲型显示器23台．

（2）依题意可列不等式：，

解得：．

．

为整数，

，24，25．

购买方案有：

①甲型显示器23台，乙型显示器27台；

②甲型显示器24台，乙型显示器26台；

③甲型显示器25台，乙型显示器25台．

【点评】本题考查了列一元一次不等式解实际问题的运用，一元一次不等式的解法的运用，方案设计的运用，解答时根据条件的不相等关系建立不等式是关键．

25．【分析】（1）利用已知得出，进而化简求出即可；

（2）利用（1）中所求，进而求出即可．

【解答】解：（1），，

，

则，

故；

（2）

．

【点评】此题主要考查了完全平方公式的应用，正确利用完全平方公式求出是解题关键．

26．【分析】先把当做已知数，求出的值，再根据列出关于的不等式，求出的取值范围即可．

【解答】解：方程组

①②得：，

，

，

，

，

是非负整数，

或．

【点评】此题考查的是二元一次方程组和不等式的性质，解出式子，再根据列出关于的不等式，即可求出的取值范围．

27．【分析】（1）根据正方形的面积等于各小长方形、小正方形面积的和得结论；

（2）变形（1）的等式，代入计算得结论．

【解答】解：（1），，，

．

．

图2大正方形的面积，

同时图2大正方形的面积．

．

故答案为：，，．

（2），

．

【点评】本题考查了正方形、长方形的面积公式等知识点．解决（2）的关键是变形公式后整体代入．

28．【分析】（1）根据完美代数式的定义得到关于的不等式，解不等式即可得到求的取值范围；

（2）根据完美代数式的定义即可求解．

【解答】解：（1）代数式①是完美代数式，

，

解得．

故的取值范围是；

（2），

，

代数式②是完美代数式．

【点评】考查了代数式，关键是理解完美代数式的定义．