2023年广东省佛山市南海区桂城街道映月中学中考数学一调试卷（含解析）

2023年广东省佛山市南海区桂城街道映月中学中考数学一调试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  已知，则下列各式正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  如图，线段是的直径，于点，若长为，长为，则半径是(    )

A.
B.
C.
D.

3.  在中，，，，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  如图，身高米的小慧同学从一盏路灯下的处向前走了米到达点处时，发现自己在地面上的影子的长是米，则路灯的高为(    )

A. 米
B. 米
C. 米
D. 米

5.  如图，是的直径，是弦，若，则等于(    )

A.
B.
C.
D.

6.  将抛物线先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，所得抛物线的解析式为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  如图，在平行四边形中，为边上的点，若：：，交于，则：等于(    )

A. ：
B. ：
C. ：
D. ：

8.  已知二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系内的图象可能是(    )

A.
B.
C.
D.

9.  顺次连接矩形各边中点得到四边形，它的形状是(    )

A. 平行四边形 B. 矩形 C. 菱形 D. 正方形

10.  已知二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，与轴的一个交点为给出下列结论：；；图象与轴的另一个交点为；当时，随的增大而减小；不等式的解集是其中正确结论的个数是(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.  计算：______．

12.  已知是方程的一个根，则代数式的值是______ ．

13.  在平面直角坐标系中，以原点为位似中心，将扩大到原来的倍，得到若点的坐标是，则点的坐标是        ．

14.  在数学实践活动中，某同学用一张如图所示的矩形纸板制做了一个扇形，并有这个扇形，围成一个圆锥模型如图所示，若扇形的圆心角为，圆锥的底面半径为，则此圆锥的母线长为______ ．

 

15.  如图，点的坐标为，点的坐标为，点、点关于原点对称，点是平面上一点，且满足，则线段的最小值为______ ．

三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）

16.  解方程：．

四、解答题（本大题共7小题，共67.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
一个不透明的口袋里装有红、黄、绿三种颜色的球除颜色不同外其余都相同，其中红球有个，黄球有个，从中任意捧出球是红球的概率为．
试求袋中绿球的个数；
第次从袋中任意摸出球不放回，第次再任意摸出球，请你用画树状图或列表格的方法，求两次都摸到红球的概率．

18.  本小题分
如图，学校教学楼附近有一个斜坡，王老师发现教学楼在水平地面与斜坡处形成的投影中，在斜坡上的影子，坡角点到楼房的距离，在点处观察点的仰角为，已知坡角为，请帮王老师求出楼房的高度．

19.  本小题分
因粤港澳大湾区和中国特色社会主义先行示范区的双重利好，深圳已成为国内外游客最喜欢的旅游城市之一深圳着名旅游“网红打卡地”东部华侨城景区一奶茶店销售一款奶茶，每杯成本价为元，根据销售经验，在旅游旺季，若每杯定价元，则平均每天可销售杯；若每杯价格降低元，则平均每天可多销售杯店家计划在年春节期间进行降价促销活动，设每杯奶茶降价为元时，每天可销售杯．
求与之间的函数关系式；
当为多少时，能让店家获得最大利润额？最大利润额为多少？

20.  本小题分
如图，在中，，过点的直线，为边上一点，过点作，交直线于，垂足为，连接、．
求证：；
当在中点时，四边形是什么特殊四边形？说明你的理由．

21.  本小题分
如图，在直角坐标平面内，函数是常数的图象经过，，其中过点作轴垂线，交于点，过点作轴垂线，垂足为，连接．
求反比例函数的解析式；
若的面积为，求点的坐标．

22.  本小题分
如图，为的直径，切于点，与的延长线交于点，交延长线于点，连接，，已知，，．
求证：是的切线；
求的半径．
连接，求的长．

23.  本小题分
抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点为抛物线的顶点．
求抛物线的表达式及顶点的坐标；
在直线上方的抛物线上找一点，使，求点的坐标；
在坐标轴上找一点，使以点，，为顶点的三角形与相似，直接写出点的坐标．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
，故A选项错误，不符合题意；
选项正确，符合题意；
，故B、选项错误，不符合题意．
故选：．
根据比例的性质，即可求解．
本题考查了比例的性质：熟练掌握比例的性质内项之积等于外项之积；合比性质；分比性质；合分比性质；等比性质是解决问题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：连接，如图，
，
，
在中，，
即半径为．
故选：．
连接，如图，先根据垂径定理得到，然后利用勾股定理计算出即可．
本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．
 

3.【答案】 

【解析】解：在中，，，，
由勾股定理得，，
则，
故选：．
根据勾股定理求出，根据正切的定义解答即可．
本题考查的是锐角三角函数的定义、勾股定理的应用，掌握锐角的对边与邻边的比叫做的正切是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：由题意知，米，米，米，，
则米，
，
∽
，
即米，
即路灯的高为米；
故选：．
根据，得出∽，进而得出比例式求出即可．
此题主要考查了相似三角形的应用，得出∽是解决问题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：是的直径，
，
，
，
，
．
故选：．
由直径所对圆周角为，求出，再由同弧所对圆周角相等即可求出．
本题考查了圆周角定理及推论的应用，熟练掌握定理并应用是解题关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：将抛物线先向右平移个单位长度，得：，
再向上平移个单位长度，得：，
故选：．
根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行求解．
此题主要考查的是二次函数图象与几何变换，用二次函数图象的平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式．
 

7.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，，
：：
：：，
，
∽，
：：：，
故选：．
通过证明∽，可求解．
本题考查的是平行四边形的性质和相似三角形的判定和性质，灵活运用平行四边形的性质定理和相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：根据二次函数图象与轴的交点可得，根据抛物线开口向下可得，由对称轴在轴右边可得、异号，故，
则反比例函数的图象在第二、四象限，
一次函数经过第一、二、四象限，
故选：．
首先根据二次函数图象与轴的交点可得，根据抛物线开口向下可得，由对称轴在轴右边可得、异号，故，再根据反比例函数的性质与一次函数图象与系数的关系画出图象可得答案．
此题主要考查了二次函数图象，一次函数图象，反比例函数图象，关键是根据二次函数图象确定出、、的符号．
 

9.【答案】 

【解析】解：四边形是菱形；理由如下：
连接，．
矩形中，、、、分别是、、、的中点，
，
，，，
同理，，，
，，
，
四边形是菱形．
故选：．
四边形是菱形；根据矩形中，、、、分别是、、、的中点，利用三角形中位线定理求证，然后利用四条边都相等的平行四边形是菱形即可判定．
此题主要考查学生对菱形的判定、三角形中位线定理和矩形的性质的理解和掌握，证明此题的关键是正确利用三角形中位线定理进行证明．
 

10.【答案】 

【解析】解：由图象可得抛物线与轴有两个交点，
，错误．
抛物线与轴交点为，抛物线对称轴为直线，
抛物线与轴的另一交点坐标为，正确．
不等式的解集是，错误．
有图象可得时，，
，正确．
抛物线开口向下，对称轴为直线，
时，随增大而减小，错误．
故选：．
由抛物线与轴的交点个数可判断，由时可判断，由抛物线经过及对称轴为直线可判断，由抛物线开口方向及对称轴可判断．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
 

11.【答案】 

【解析】解：原式
             
              ．
故答案为：．

直接利用特殊角的三角函数值分别代入，进而计算得出答案．
此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：是方程的一个根，
，
整理得，．
．
故答案是：．
根据方程的根的定义，把代入方程求出，易得答案．
本题考查了一元二次方程的解，能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
 

13.【答案】 

【解析】解：根据以原点为位似中心，图形的坐标特点得出，对应点的坐标应乘以，
故点的坐标是，则点的坐标是，
故答案为：．
根据以原点为位似中心，将扩大到原来的倍，即可得出对应点的坐标应乘以，即可得出点的坐标．
此题主要考查了关于原点对称的位似图形的性质，得出对应点的坐标乘以或是解题关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：设此圆锥的母线长为，
根据题意得，
解得，
即此圆锥的母线长为．
故答案为：．
设此圆锥的母线长为，由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，则利用弧长公式得到，然后解方程即可．
本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
 

15.【答案】 

【解析】解：如图，以为直径作，连接与交于点，过点作轴于点，
此时满足，的值最小，
点的坐标是，
，
点的坐标为，
，
，
．
故答案为：．
根据直径所对的圆周角是直角，作出以为直径作，连接与交于点，此时的值最小，再根据点的坐标求出的长，即可得到答案．
本题主要考查了点和圆的位置关系，准确找到点的位置是解题的关键．掌握：直径所对的圆周角是直角．
 

16.【答案】解：，
，
，或，
，． 

【解析】本题考查了运用因式分解法解一元二次方程的方法：先把方程化为一般式，再把方程左边进行因式分解，将一元二次方程化为两个一元一次方程，解两个一元一次方程即可．
把方程左边进行因式分解得到，则方程就可化为两个一元一次方程，或，解两个一元一次方程即可．
 

17.【答案】解：设绿球的个数为由题意，得，
解得，经检验是所列方程的根，所以绿球有个；

根据题意，画树状图：

由图知共有种等可能的结果，
即红，红，红，黄，红，绿，红，红，红，黄，红，绿，黄，红，黄，红，黄，绿，绿，红，绿，红，绿，黄，其中两次都摸到红球的结果有两种红，红，红，红．
两次都摸到红球；
或根据题意，画表格：

由表格知共有种等可能的结果，其中两次都摸到红球的结果有两种，
两次都摸到红球． 

【解析】此题的求解方法是：借助于方程求解；
此题需要两步完成，所以采用树状图或者列表法都比较简单．
列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适用于两步或两部以上完成的事件．解题时还要注意是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

18.【答案】解：作于，

在中，，，
，
在中，，
，
答：楼房的高度为． 

【解析】作于，根据正弦、余弦的定义求出、，根据正切的概念求出，计算即可．
本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题、仰角俯角问题，掌握坡度坡角、仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
 

19.【答案】解：由题意得：；
即与之间的函数关系式为；
设最大利润额为，
由题意得：

，
时，能让店家获得最大利润额，最大利润额为元．
答：时，能让店家获得最大利润额，最大利润额为元． 

【解析】由题意写出与之间的函数关系式即可；
设最大利润额为，由题意得关于的一元二次方程，解方程并根据问题的实际意义解答即可．
本题考查了二次函数的应用，理清题中的数量关系并正确地列出函数关系式是解题的关键．
 

20.【答案】证明：，
，
，
，
，
，即，
四边形是平行四边形，
；
解：四边形是菱形，理由如下：
为中点，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，为中点，
，
四边形是菱形． 

【解析】先求出四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质推出即可；
求出四边形是平行四边形，求出，根据菱形的判定推出即可．
本题考查了平行四边形的性质和判定，菱形的判定，直角三角形的性质的应用，主要考查学生运用定理进行推理的能力．
 

21.【答案】解：反比例函数的图象经过，
，
反比例函数的解析式是；
，其中，轴，
，，
，
，
的面积为，
，
点在反比例函数的图象上，
，
，
解得：，
，
点的坐标是． 

【解析】把点的坐标代入反比例函数解析式求出的值即可；
根据点在反比例函数图象上得到与间的关系，再根据的面积求出的值，从而得出点的坐标．
本题考查了用待定系数法求解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，熟练掌握坐标与图形的性质是解题的关键．
 

22.【答案】证明：，
，
，，，
，
，
是的半径，
为的切线；
解：在中，，，
根据勾股定理得：，
与都为的切线，
，
；
在中，设，则有，
根据勾股定理得：，
解得：，
则圆的半径为．
延长、相交于点，

与都为的切线，
平分，
，
，
，
在和中

≌，
，，
，
在中，，
． 

【解析】由已知角相等及直角三角形的性质得到为直角，即可得证；
在直角三角形中，由与的长，利用勾股定理求出的长，由切线长定理得到，由求出的长，在直角三角形中，设，则有，利用勾股定理列出关于的方程，求出方程的解得到的值，即为圆的半径．
延长、相交于点，证明≌，由全等三角形的性质得出，，求出的长，则可得出答案．
本题考查了切线的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．
 

23.【答案】解：抛物线经过，
，
解得：，
抛物线的表达式为：，
，
顶点的坐标为；
在中，令，得：，
，
设直线解析式为：，
，，
，
解得：，
直线解析式为：，
设，
过点作轴交直线于点，过点作轴交直线于点，
，，，
，，
，，
，
，
解得：，，
，；
如图，过点作轴于点，
，，，，
，
，，
，
和都是等腰直角三角形，
，，，
，
连接，在中，，，，
，，
，，
∽，
点在点处时符合题意，即，
过点作交轴于点，
，
，
，
∽，
，
，
∽，
，
，
，
过点作交轴于点，
，
，
，
∽，
，
，
，
∽，
∽∽，
点的坐标为：或或 

【解析】本题考查了二次函数图象和性质，待定系数法求函数解析式，等腰直角三角形判定和性质，相似三角形的判定和性质，三角形面积等知识点，熟练掌握待定系数法及相似三角形的判定和性质是解题关键．
利用待定系数法将代入求出即可得抛物线解析式，再运用配方化为顶点式即可得顶点坐标；
先应用待定系数法求出直线解析式，再设，通过，建立方程求解即可；
先判断是直角三角形，且求出的值，再分别在轴和轴上找出符合题意的点坐标．