2023年湖南省常德市汉寿县西竺山中学中考数学一模试卷（含解析）

2023年湖南省常德市汉寿县西竺山中学中考数学一模试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  在，，，，，这六个数中，无理数有(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

2.  下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列计算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  为了解我市参加中考的名学生的身高情况，抽查了其中名学生的身高进行统计分析．下列叙述正确的是(    )

A. 名学生是总体
B. 从中抽取的名学生的身高是总体的一个样本
C. 每名学生是总体的一个个体
D. 以上调查是全面调查

5.  一个不透明的袋子中装有个红球、个蓝球，小球除颜色外其他均相同，若同时从袋子中任取两个小球，则摸到的两个小球中，至少有一个小球为蓝色的概率为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  已知、是一元二次方程的两个根，则的值是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  我们把称为一元二次方程其中的共轭判别式，我们知道当时，一元二次方程其中有两个相等的实数根：；那么其共轭判别式时，一元二次方程其中的根______，下列选项中正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  如图，是的中线，，分别是和延长线上的点，且，连接，，下列说法：和面积相等；≌；；；和周长相等．其中正确的个数有(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）

9.  请举出一个反例说明等式“”不成立：______ ．

10.  因式分解：______．

11.  无论取何值，分式总有意义，则的取值范围是__________．

12.  若去分母解分式方程会产生增根，则的值为______ ．

13.  如图是一个长方体纸盒的平面展开图，已知纸盒中相对两个面上的数互为相反数，则 ______ ．

14.  某公司欲招聘工人，对候选人进行三项测试：语言、创新、综合知识，并按测试得分：：的比例确定测试总分．已知某候选人三项得分分别为，，，则这位候选人的招聘得分为______ ．

15.  如图，将一块直角三角板如图放置，直角顶点与原点重合，顶点、恰好分别落在函数，的图象上，则的正切值______．

16.  定义：几个全等的正多边形依次有一边重合，排成一圈，中间可以围成一个正多边形，我们称作正多边形的环状连接如图，我们可以看作正六边形的环状连接，中间围成一个边长相等的正六边形；若正八边形作环状连接，中间可以围的正多边形的边数为______ ；若正八边形作环状连接，中间可以围的正多边形的边数为______ ，若边长为的正边形作环状连接，中间围成的是等边三角形，则这个环状连接的外轮廓长为______ ．

三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）

17.  如图，一个书架上的方格中放着七本厚度和长度相同的书，其中左边六本书紧贴书架方格内侧竖放，右边一本书自然向左斜放，支撑点为，，右侧书角正好靠在方格内侧上．若书架方格内侧长，，书的长度．
求的长度．
求每本书的厚度．结果精确到参考数据：，，

四、解答题（本大题共9小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

18.  本小题分
计算：．

19.  本小题分
解下列不等式组，并把解集在数轴上表示出来：．

20.  本小题分
先化简，再求值：，其中．

21.  本小题分
已知，如图、分别为数轴上的两点，点对应的数为，点对应的数为．

与、两点距离相等的点对应的数是______ ；
现在有一只电子蚂蚁从点出发时，以个单位秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁恰好从点出发，以个单位秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的点相遇，则点对应的数是______ ；
若当电子蚂蚁从点出发，以个单位秒的速度向左运动，当点到达点时，立即返回向右运动，到达点停止同时另一只电子蚂蚁恰好从点出发，以个单位秒的速度向右运动到达点停止，直接写出经过多长的时间两只电子蚂蚁在数轴上相距个单位长度？

22.  本小题分
如图，一次函数与反比例函数的图象相交于点，．
求这两个函数的表达式；
若一次函数的图象与轴交于点，点在反比例函数的图象上当：：时，请求出点的坐标．

23.  本小题分
年月日，教育部办公厅印发了关于加强义务教育学校作业管理的通知以下简称通知通知强调要严格控制书面作业总量，要求小学一二年级不布置书面家庭作业，小学其他年级每天书面作业完成时间平均不超过分钟；初中不超过分钟．同时，通知明确提出不得要求学生自批自改，严禁给家长布置或变相布置作业，严禁要求家长批改作业，让作业回归到学校育人环节中来．有条件的地方，鼓励科学利用信息技术手段进行作业分析诊断．某校对八年级学生每天完成数学作业时间调查如下，按照完成时间分为：“分钟”、“分钟”、“分钟”、“分钟”、“分钟”为了了解学生对课外数学作业的完成情况，随机抽取了部分同学进行调查，将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图．
根据以上信息，回答下列问题：
统计图中的______，______；
该校八年级共有名学生，请你估计该校八年级学生能在分钟内完成数学作业的学生人数．
为了学生各学科之间均衡发展，你认为该校八年级布置的数学课外作业是否合理？若合理，请你说明理由．若不合理，请你设计出合理化的布置方案．
 

24.  本小题分
如图，在四边形中，，点是边上一点，且平分，平分．
求证：
；
．

25.  本小题分
二次函数的图象经过点，当时，函数的最小值为．
求该二次函数的解析式并画出它的图象；
当时，结合函数图象，直接写出的取值范围；
直线与抛物线和直线的交点分别为点，点，点位于点的上方，结合函数的图象直接写出的取值范围．

26.  本小题分
如图，在正方形中，，点是射线上一点，连接，．

当点是边的中点时，求证：≌；
如图，点，，，分别是，，，的中点，依次连接，，，．
请判断四边形的形状，并说明理由；
若点是的中点，连接，，当的面积为时，求的长．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
，是无理数，所以无理数的个数是个．
故选：．
首先思考无理数的定义，再根据定义逐个判断即可．
本题主要考查了无理数，算术平方根及立方根，熟知无限不循环小数是无理数是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转后两部分重合．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】
解：、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
C、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
故选C．  

3.【答案】 

【解析】解：、、不能合并，此选项错误，该选项不符合题意；
B、，此选项错误，该选项不符合题意；
C、，此选项错误，该选项不符合题意；
D、，此选项正确，该选项符合题意．
故选：．
根据合并同类项法则、同底数幂的乘法、幂的乘方、同底数幂相除的运算法则逐一计算可得．
本题主要考查整式的运算，解题的关键是掌握合并同类项法则、同底数幂的乘法、幂的乘方、同底数幂相除的运算法则．
 

4.【答案】 

【解析】解：名学生的身高情况是总体，故本选项不合题意；
B.从中抽取的名学生的身高是总体的一个样本，故本选项符合题意；
C.每名学生的身高情况是总体的一个个体，故本选项不合题意；
D.该调查是抽样调查，故本选项不合题意；
故选：．
总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．我们在区分总体、个体、样本、样本容量，这四个概念时，首先找出考查的对象．从而找出总体、个体．再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量．
本题考查了总体、个体、样本、样本容量，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象．总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小．样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位．
 

5.【答案】 

【解析】如图所示：

共有种可能，至少有一个小球为蓝色的有种结果，
摸到的两个小球中，至少有一个小球为蓝色的概率为，
故选：．
列举出所有可能出现的情况，让摸到至少有一个小球为蓝色的情况数除以情况总数即可解答．
本题主要考查用列表法与树状图法求概率，用到的知识点为：如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种结果，那么事件的概率．
 

6.【答案】 

【解析】解：、是一元二次方程的两个根，
，．
、同为负数．



．
故选：．
利用根与系数的关系求得，然后将其代入整理后的代数式求值即可．
此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
 

7.【答案】 

【解析】解：，
，
，
；
故选：．
由已知，可得，再由求根公式可得；
本题考查一元二次方程的解；灵活应用求根公式求一元二次方程的根是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：过作于，

是的中线，
，
，，
，
即和面积相等，故正确；
在和中，
，
≌，
，
，故正确，正确；
根据已知条件不能推出，即不能推出，故错误；
，，和不一定相等，
和的周长不一定相等，故错误；
即正确的个数是个，
故选：．
根据等底等高的三角形的面积相等即可判断；根据全等三角形的判定定理推出≌，根据全等三角形的性质得出，根据平行线的判定定理得出，即可判断和；根据等腰三角形的判定即可判断；根据和不一定相等，即可判断．
本题考了全等三角形的判定定理和性质定理，平行线的性质，三角形的面积和等腰三角形的判定等知识点，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有，，，，两直角三角形全等还有．
 

9.【答案】，则答案不唯一 

【解析】解：举出一个反例说明等式“”不成立：例如，，则答案不唯一．
故答案为：，则答案不唯一．
直接利用绝对值的定义，举一个负数即可得出答案．
此题主要考查了绝对值，正确掌握绝对值的定义是解题关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：

．
故答案为：．
首先提取公因式，进而利用平方差公式分解因式即可．
此题主要考查了提取公因式以及公式法分解因式，熟练应用平方差公式是解题关键．
 

11.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查的是分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件是分母不等于零是解题的关键．
根据分式有意义的条件列出不等式，解不等式得到答案．
【解答】
解：当时，分式总有意义，
，
解得，
故答案为：．  

12.【答案】 

【解析】解：去分母，得，
根据题意，将增根代入，
得，
解得，
故答案为：．
先去分母，再将增根代入，求解即可．
本题考查了分式方程的增根，熟练掌握分式方程增根的含义是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：由题意得：
，，，
，
故答案为：．
根据长方体的表面展开图找相对面的方法，同层隔一面，“”字两端是对面求出，的值即可解答．
本题考查了正方体相对两个面上的文字，熟练掌握根据正方体的表面展开图找相对面的方法是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：这位候选人的招聘得分分．
故答案为：．
运用加权平均数的计算公式求解．
本题考查了加权平均数的计算．平均数等于所有数据的和除以数据的个数．此题难度不大．
 

15.【答案】 

【解析】
解：如图，点、恰好分别落在函数，的图象上，
，，
过点、分别作轴，轴，垂足为、，
，
，
，，
，
又，
∽，
，
，
在中，
，
故答案为：．
作轴，轴．易得∽，由点、恰好分别落在函数，的图象上，可得到与的面积比，进而求出对应边的比，在直角三角形中求出的正切值．
本题主要考查了相似三角形的判定与性质及反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是正确作出辅助线，构造相似三角形．
 

16.【答案】     

【解析】解：正八边形的内角度数是：，
则正八边形围成的多边形的内角的度数是：，
根据题意得：，
解得：．
若边长为的正边形作环状连接，中间围成的是等边三角形，
则一个公共点处组成的角度为，
所以正边形的一个内角是，
所以，
解得，
所以边长为的正十二边形作环状连接，中间围成的是等边三角形，则这个环状连接的外轮廓长为．
故答案为：，，．
首先求得正六边形围成的多边形的内角的度数，然后根据多边形的内角和定理即可求得的值．
此题考查多边形的内角和定理，正确理解定理，求得围成的多边形的内角的度数是关键．
 

17.【答案】解：在中，，，
；
答：的长度为；
设每本书的厚度为，
在中，，，
，
，
解得，
答：每本书的厚度为． 

【解析】根据三角函数的定义即可得到结论；
设一本书的厚度为，根据，列方程即可得到结论．
本题考查了解直角三角形的应用，勾股定理，解决本题的关键是掌握解直角三角形的方法．
 

18.【答案】解：


． 

【解析】先计算乘方运算，求解算术平方根，立方根，绝对值，再合并即可．
本题考查的是算术平方根与立方根的含义，实数的混合运算，掌握“实数的混合运算的运算顺序”是解本题的关键．
 

19.【答案】解：，
由不等式，得，
由不等式，得，
故原不等式组的解集是．
在数轴表示如下图所示：
 

【解析】根据解一元一次不等式组的方法可以解答本题，从而可以在数轴上表示出不等式组的解集．
本题考查解一元一次不等式组、在数轴上表示不等式组的解集，解题的关键是明确解一元一次不等式组的方法．
 

20.【答案】解：，
，
，
，
，
原式． 

【解析】根据分式的除法和分式的减法进行化简即可，然后将的值代入化简后的式子即可求得问题的答案．
本题考查分式的化简求值、特殊三角函数的值，解题的关键是仔细认真进行计算，明确分式的加减乘除的法则，知道特殊三角函数的值．
 

21.【答案】   

【解析】解：，
点表示的数为．
故答案为：；
、分别为数轴上的两点，点对应的数为，点对应的数为，
，
设秒后、相遇，
，解得；
此时点走过的路程，
此时点表示的数为．
答：点对应的数是．
故答案为：；
相遇前：秒，
相遇后：秒，
追上前：秒，
追上后：秒．
故经过秒或秒或秒或秒长的时间两只电子蚂蚁在数轴上相距个单位长度．
先求与和的一半，进一步可得点对应的数；
先求出的长，再设秒后、相遇即可得出关于的一元一次方程，求出的值，可求出、相遇时点移动的距离，进而可得出点对应的数；
分为只电子蚂蚁相遇前相距个单位长度和相遇后相距个单位长度；追上前相距个单位长度和追上后相距个单位长度，依此列式计算即可求解．
此题考查一元一次方程的应用，利用行程问题的基本数量关系，以及数轴直观解决问题即可．
 

22.【答案】解：把点代入得：，
，
反比例函数的解析式为；
把代入得，，
，
把点，代入，
得：，
解得：，
一次函数的解析式为；
当时，，
解得：，
，
，
，
：：，
，
设，
，
解得：，
或． 

【解析】把点代入得到反比例函数的解析式为；进而求得的坐标，然后根据待定系数法即可得到一次函数的解析式；
先求出点的坐标，由此可求的面积，设，根据三角形的面积公式即可求得答案．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，三角形的面积的计算，待定系数法求函数的解析式，求得交点坐标是解题的关键．
 

23.【答案】   

【解析】解：人，
人，人，
故答案为：，；
人，
该校八年级学生能在分钟内完成数学作业的学生人数为人；
该校八年级布置的数学课外作业不合理，因为八年级的学科较多，初中每天的课外作业时间不超过分钟，建议该学校八年级的数学作业布置要减少题量或降低难度，让一半以上的同学能在分钟内完成．答案不唯一，理由合理即可
根据题中数据先求出样本的容量，然后求出和的值即可；
根据类和类学生占的比例求值即可；
答案不唯一理由合理即可．
本题主要考查条形统计图的知识，熟练根据条形统计图和扇形统计图获取信息是解题的关键．
 

24.【答案】证明：，
，
平分，平分，
，，
，
；
过点作，如图所示：

，
平分，
，
，
，
，
，
同理可证得：，
，
点是的中点，
点是的中点，
． 

【解析】由平行线的性质可得，再利用角平分线的定义可得：，，从而可求解；
过点作，由平行线的性质可得，，结合角平分线的定义得，从而有，则有，同理可求得，故有，可得点是的中点，即可得解．
本题主要考查平行线的性质，解答的关键是作出适应的辅助线，并熟记平行线的性质．
 

25.【答案】解：当时，二次函数的最小值为，
二次函数的图象的顶点为，
二次函数的解析式可设为，
二次函数的图象经过点，
．
解得．
该二次函数的解析式为；
如图，

当时，；当时，，
当时，；
由图象可得或． 

【解析】设顶点式，再把代入求出得到抛物线解析式，然后利用描点法画出二次函数图象；
根据图象可得答案；
先画出直线，则可得到直线与抛物线的交点坐标为，，然后写出抛物线在直线上方所对应的自变量的范围即可．
本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的性质．
 

26.【答案】证明：如图，四边形是正方形，
，，
点是边的中点，
，
在和中，
，
≌．
解：四边形是平行四边形，理由如下，
如图，点在边上，如图，点在边的延长线上，连接，
点，，，分别是，，，的中点，
，，，，
，，
四边形是平行四边形．
如图、图，作于点，连接，
，
，
，
，
点是的中点，
，，
≌，
，
，
，
，
当点在边上，如图，则；
当点在边的延长线上，如图，则，
综上所述，的长为或． 

【解析】由正方形的性质得，，而，即可根据全等三角形的判定定理“”证明≌；
连接，由三角形的中位线定理得，，，，则，，所以四边形是平行四边形；
作于点，连接，由，得，，因为点是的中点，所以，，则≌，所以，则，所以，，当点在边上，则；当点在边的延长线上，则．
此题重点考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定、三角形的中位线定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、等腰三角形的“三线合一”、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题．