备战2022-2023学年福建高一（下）学期期末数学仿真卷（二）

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备战2022-2023学年福建高一（下）学期期末数学仿真卷（二）
一、 单选题(共40分)
1．(本题5分)（2022春·福建泉州·高一统考期末）（    ）
A．－1 B． C． D．
2．(本题5分)（2022春·福建泉州·高一统考期末）不透明的袋中装有大小相同的四个球，四个球上分别标有数字2，3，4，6，现从中随机选取两个球，则两球所标数字之和为奇数的概率为（    ）
A． B． C． D．
3．(本题5分)（2022春·福建泉州·高一统考期末）已知，是同一平面内互相垂直的两单位向量，且，则与夹角的余弦值为（    ）
A． B． C． D．
4．(本题5分)（2022春·福建福州·高一校联考期末）在中，，，.则( )
A．1 B．2 C．3 D．4
5．(本题5分)（2022春·福建福州·高一校联考期末）下表是校篮球队某队员若干场比赛的得分数据，则该队员得分的第40百分位数是（    ）
每场比赛得分
3
6
7
10
11
13
30
频数
2
1
2
3
1
1
1

A．6 B．7 C．8 D．10
6．(本题5分)（2022春·福建福州·高一校联考期末）已知两个平面， 两条直线， 满足， 则下列命题正确的是（    ）
A．若， 则 B．若， 则
C．若， 则 D．若， 则
7．(本题5分)（2022春·福建厦门·高一统考期末）抛掷-枚质地均匀的骰子2次，甲表示事件“第一次骰子正面向上的数字是2”，乙表示事件“两次骰子正面向上的数字之和是5”，丙表示事件“两次骰子正面向上的数字之和是7”，则（    ）
A．甲乙互斥 B．乙丙互为对立 C．甲乙相互独立 D．甲丙相互独立
8．(本题5分)（2022春·福建厦门·高一统考期末）记的内角，，所对的边分别为，，，若，，，则外接圆的半径为（    ）
A． B． C． D．

二、多选题(共20分）
9．(本题5分)（2022春·福建厦门·高一统考期末）我省高考采用“3+1 +2”模式，语文、数学、外语是必选科目，物理和历史必选一科，化学、生物、思想政治、地理四个科目选择两科.现统计甲、乙两名学生高一年六个科目的学年成绩如图所示，则（    ）

A．甲六科学年成绩比乙均衡
B．甲、乙六科学年成绩均在70分以上
C．从成绩角度看，乙更适合选择历史科目组
D．甲、乙六科学年成绩超过90分的科目数量相同
10．(本题5分)（2022春·福建三明·高一统考期末）在中,内角的对边分别为若,则角的大小是
A． B． C． D．
11．(本题5分)（2022春·福建三明·高一统考期末）如图，已知正方体，分别为和的中点，则下列四种说法中正确的是（    ）
A．
B．
C．与所成的角为
D．与为异面直线

12．(本题5分)（2022春·福建三明·高一统考期末）已知正方体的棱长为1，E为线段的中点，，其中，则下列选项正确的是（    ）
A．时，
B．时，的最小值为
C．时，三棱锥的体积为定值
D．时，直线与面的交点轨迹长度为

三、填空题(共20分
13．(本题5分)（2022春·福建宁德·高一统考期末）设复数满足，则__________．
14．(本题5分)（2022春·福建宁德·高一统考期末）我国古代数学算经十书之一的《九章算术》有一衰分问题：今有北乡八千一百人，西乡九千人，南乡五千四百人，凡三乡，发役五百，意思是用分层抽样的方法从这三个乡中抽出500人服役，则西乡抽________人.
15．(本题5分)（2022春·福建宁德·高一统考期末）如图，“甜筒”状旋转几何体，由一个圆锥与一个半球组合而成，其中圆锥的轴截面是边长为2的正三角形，则这个组合体的表面积为________.

16．(本题5分)（2022春·福建福州·高一福州四中校考期末）设函数若存在最小值，a的取值范围___________.
四、解答题(共70分
17．(本题10分)（2022春·福建福州·高一福州四中校考期末）设平面向量，，函数.
(1)当时，求函数的值域；(2)若锐角满足，求的值.
18．(本题12分)（2022春·福建福州·高一福州四中校考期末）某区政府组织了以“不忘初心，牢记使命”为主题的教育活动，为统计全区党员干部一周参与主题教育活动的时间，从全区的党员干部中随机抽取200名，获得了他们一周参与主题教育活动时间（单位：）的频率分布直方图如图所示，

(1)以每组数据所在区间的中点值作为本组的代表，估算这些党员干部参与主题教育活动时间的中位数（中位数精确到0.01）.
(2)如果计划对参与主题教育活动时间在内的党员干部给予奖励，且在，内的分别评为二等奖和一等奖，那么按照分层抽样的方法从获得一､二等奖的党员干部中选取5人参加社区义务宣讲活动，再从这5人中随机抽取2人作为主宣讲人，求这2人均是二等奖的概率.（需写出该事件的样本空间）



19．(本题12分)（2022春·福建三明·高一统考期末）如图，在四棱锥中，四边形是菱形，，E是的中点，且．

(1)证明：平面．
(2)若，且，求四棱锥的体积．



20．(本题12分)（2022春·福建厦门·高一统考期末）某学校组织校园安全知识竞赛.在初赛中有两轮答题，第一轮从A类的5个问题中任选两题作答，若两题都答对，则得40分，否则得0分；第二轮从B类的5个问题中任选两题作答，每答对1题得30分，答错得0分若两轮总积分不低于60分则晋级复赛.
小芳和小明同时参赛，已知小芳每个问题答对的概率都为0.5.在A类的5个问题中，小明只能答对4个问题；在B类的5个问题中，小明每个问题答对的概率都为0.4.他们回答任一问题正确与否互不影响.
(1)求小明在第一轮得40分的概率；
(2)以晋级复赛的概率大小为依据，小芳和小明谁更容易晋级复赛？



21．(本题12分)（2022春·福建福州·高一校联考期末）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.且.
(1)求证：；
(2)若D为AC的中点，.求.



22．(本题12分)（2022春·福建宁德·高一统考期末）如图，已知等腰梯形的外接圆半径为2，，点是上半圆上的动点（不包含两点），点是线段上的动点，将半圆所在的平面沿直径折起使得平面平面.

(1)求三棱锥体积的最大值；
(2)当平面时，求的值；
(3)设与平面所成的角为，二面角的平面角为.求证：.

备战2022-2023学年福建高一（下）学期期末数学仿真卷（二）
一、单选题(共40分
1．(本题5分)（2022春·福建泉州·高一统考期末）（    ）
A．－1 B． C． D．
【答案】B
【分析】由复数的除法法则求解即可
【详解】，
故选：B.
2．(本题5分)（2022春·福建泉州·高一统考期末）不透明的袋中装有大小相同的四个球，四个球上分别标有数字2，3，4，6，现从中随机选取两个球，则两球所标数字之和为奇数的概率为（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先求得4个小球随机选2个共有的不同选法，其中两球所标数字之和为奇数的不同的选法，根据古典概型概率公式计算可得答案.
【详解】解：因为4个小球随机选2个有：，共有6种不同选法，其中两球所标数字之和为奇数的有，共有3种不同的选法，
所以根据古典概型概率公式得：，
故选：C．
3．(本题5分)（2022春·福建泉州·高一统考期末）已知，是同一平面内互相垂直的两单位向量，且，则与夹角的余弦值为（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据向量的夹角公式求解即可
【详解】由题意，，，故与夹角的余弦值
故选：D.
4．(本题5分)（2022春·福建福州·高一校联考期末）在中，，，.则( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】由余弦定理列方程求解．
【详解】由余弦定理，得，
解得（负值舍去）．
故选：C．
5．(本题5分)（2022春·福建福州·高一校联考期末）下表是校篮球队某队员若干场比赛的得分数据，则该队员得分的第40百分位数是（    ）
每场比赛得分
3
6
7
10
11
13
30
频数
2
1
2
3
1
1
1

A．6 B．7 C．8 D．10
【答案】B
【分析】首先可得一共有场比赛得分，再根据百分位数计算规则计算可得.
【详解】解：依题意可知一共有场比赛得分，
其中，所以第百分位数为第个数为；
故选：B.
6．(本题5分)（2022春·福建福州·高一校联考期末）已知两个平面， 两条直线， 满足， 则下列命题正确的是（    ）
A．若， 则 B．若， 则
C．若， 则 D．若， 则
【答案】D
【分析】ABC均可以举出反例，D选项，可以根据面面垂直的判定进行证明.
【详解】A选项，若，则或与异面，A错误；
B选项，若， 则或与斜交，或，B错误；
C选项，如图，满足， 但，C错误；

D选项，根据面面垂直的判定，可知若， 则
故选：D.
7．(本题5分)（2022春·福建厦门·高一统考期末）抛掷-枚质地均匀的骰子2次，甲表示事件“第一次骰子正面向上的数字是2”，乙表示事件“两次骰子正面向上的数字之和是5”，丙表示事件“两次骰子正面向上的数字之和是7”，则（    ）
A．甲乙互斥 B．乙丙互为对立 C．甲乙相互独立 D．甲丙相互独立
【答案】D
【分析】先根据古典概型的概率公式分别求出三个事件的概率，再利用互斥事件、对立事件以及事件的独立性定义判断各选项的正误即可.
【详解】由题意可知，先后抛掷两枚骰子出现点数的所有可能情况为36种，
甲表示事件“第一次骰子正面向上的数字是2”包含的基本事件有：
，则；
乙表示事件“两次骰子正面向上的数字之和是5” 包含的基本事件有：
，则；
丙表示事件“两次骰子正面向上的数字之和是7” 包含的基本事件有：
，则；
对于A，甲乙有可能同时发生不是互斥事件，A错误；
对于B，除了乙丙以外还有其他事件发生不是对立事件，B错误；
对于C，甲乙同时发生的概率为，C错误；
对于D，甲丙同时发生的概率为，D正确.
故选：D.
8．(本题5分)（2022春·福建厦门·高一统考期末）记的内角，，所对的边分别为，，，若，，，则外接圆的半径为（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据正弦定理进行边角互化，再结合三角恒等变换化简可得，再结合正弦定理可得外接圆半径.
【详解】由，则，
由正弦定理得，
所以，即，
解得，
所以，，
故选：B.

二、多选题(共20分
9．(本题5分)（2022春·福建厦门·高一统考期末）我省高考采用“3+1 +2”模式，语文、数学、外语是必选科目，物理和历史必选一科，化学、生物、思想政治、地理四个科目选择两科.现统计甲、乙两名学生高一年六个科目的学年成绩如图所示，则（    ）

A．甲六科学年成绩比乙均衡
B．甲、乙六科学年成绩均在70分以上
C．从成绩角度看，乙更适合选择历史科目组
D．甲、乙六科学年成绩超过90分的科目数量相同
【答案】ACD
【分析】根据两学生六科成绩直接可判断各选项.
【详解】由图可知，
甲同学六科学年成绩比乙均衡，A选项正确；
甲同学六科成绩均在70分以上，乙的物理成绩在70分以下，B选项错误；
乙同学的历史成绩高于物理成绩，所以，从成绩角度看，乙更适合选择历史科目组，C选项正确；
甲同学的物理与化学成绩超过90分，乙同学历史与思想政治成绩超过90分，所以两人超过90分的科目数量相同，D选项正确；
故选：ACD.
10．(本题5分)（2022春·福建三明·高一统考期末）在中,内角的对边分别为若,则角的大小是
A． B． C． D．
【答案】BD
【解析】由正弦定理可得,所以,而,可得,即可求得答案.
【详解】由正弦定理可得,
,而,
,
,
故或.
故选:BD.
【点睛】本题考查了根据正弦定理求解三角形内角,解题关键是掌握正弦定理和使用正弦定理多解的判断,考查了分析能力和计算能力,属于中等题.
11．(本题5分)（2022春·福建三明·高一统考期末）如图，已知正方体，分别为和的中点，则下列四种说法中正确的是（    ）

A．
B．
C．与所成的角为
D．与为异面直线
【答案】BCD
【分析】由异面直线定义可知AD正误；证得平面后，利用线面垂直性质可知B正确；由可知所求角为，由长度关系可得，知C正确.
【详解】对于A，平面，，，平面，
与是异面直线，A错误；
对于B，，，，平面，
平面，又平面，，B正确；
对于C，，即为异面直线与所成的角，
，为等边三角形，，C正确；
对于D，，平面，，平面，
与为异面直线，D正确.
故选：BCD.
12．(本题5分)（2022春·福建三明·高一统考期末）已知正方体的棱长为1，E为线段的中点，，其中，则下列选项正确的是（    ）
A．时，
B．时，的最小值为
C．时，三棱锥的体积为定值
D．时，直线与面的交点轨迹长度为
【答案】ABC
【分析】取为的中点，当时，得到点在线段上运动，证得和，证得平面，可判定A正确；取得，连接，得到当时，得到点在上运动，沿将平面旋转到与平面重合，可判定B正确；取的中点，当时，得到点在线段上运动，结合，可判定C正确；连接，交于点和点，
当时，得到点在线段上运动，证得平面，得到平面平面，求得的长度，可判定D不正确.
【详解】由题意，正方体的棱长为1，E为线段的中点，且，其中，
对于A中，取分别为的中点，当时，可得点在线段上运动，
如图（1）所示，在正方形中，因为的中点，可得，
又由平面，平面，所以，
因为，所以平面，
又因为平面，所以，所以A正确.

对于B中，在上分别取点和点，使得，连接，当
当时，可得点在线段上运动，
在直角中，，可得，
如图（2）所示，沿将平面旋转到与平面重合，得到平面，
连接，则，
即的最小值为，所以B正确.

对于C中，如图（3）所示，取的中点，分别连接，
当时，可得点在线段上运动，
由且平面，所以平面，
所以点到平面的距离为定值，即三棱锥的高为定值，
又由的面积为定值，所以（定值），所以C正确.

对于D中，如图（4）所示，连接，交于点和点，
当时，可得点在线段上运动，
因为且平面，所以平面，
又因为平面平面，所以，
由与相似，且相似比为，
所以，即直线与面的交点轨迹长度为，所以D不正确.

综上可得，选项正确的是ABC.
故答案为：ABC.

三、填空题(共20分
13．(本题5分)（2022春·福建宁德·高一统考期末）设复数满足，则__________．
【答案】
【分析】根据对数的除法运算求解复数，即可求得模长.
【详解】解：复数z满足，则，
所以.
故答案为：.
14．(本题5分)（2022春·福建宁德·高一统考期末）我国古代数学算经十书之一的《九章算术》有一衰分问题：今有北乡八千一百人，西乡九千人，南乡五千四百人，凡三乡，发役五百，意思是用分层抽样的方法从这三个乡中抽出500人服役，则西乡抽________人.
【答案】200
【分析】根据分层抽样按抽样比即可求所抽取的人数.
【详解】由题意得：，
故答案为：.
15．(本题5分)（2022春·福建宁德·高一统考期末）如图，“甜筒”状旋转几何体，由一个圆锥与一个半球组合而成，其中圆锥的轴截面是边长为2的正三角形，则这个组合体的表面积为________.

【答案】
【分析】根据球的表面积与圆锥的侧面积公式求解即可
【详解】由题意，这个组合体的表面积为
故答案为：.
16．(本题5分)（2022春·福建福州·高一福州四中校考期末）设函数若存在最小值，a的取值范围___________.
【答案】
【分析】根据分段函数中的函数的单调性进行分类讨论，可知，符合条件，不符合条件，时函数没有最小值，故的最小值只能取的最小值再求解即可.
【详解】若时，，∴；
若时，当时，单调递增，当时，，故没有最小值，不符合题目要求；
若时，
当时，单调递减，，
当时，
∴或，
解得，
综上可得；
故答案为：.

四、解答题(共70分
17．(本题10分)（2022春·福建福州·高一福州四中校考期末）设平面向量，，函数.
(1)当时，求函数的值域；
(2)若锐角满足，求的值.
【答案】(1);(2)
【分析】（1）根据数量积的坐标运算及三角恒等变换公式化简函数解析式，由的取值范围，求出的取值范围，再根据正弦函数的性质计算可得；
（2）依题意可得，再利用诱导公式求出，最后利用二倍角公式公式计算可得；
（1）解：因为，且，
所以.
当时，，
∴，即函数的值域为.
（2）解：因为，
所以，
所以，
∴.
18．(本题12分)（2022春·福建福州·高一福州四中校考期末）某区政府组织了以“不忘初心，牢记使命”为主题的教育活动，为统计全区党员干部一周参与主题教育活动的时间，从全区的党员干部中随机抽取200名，获得了他们一周参与主题教育活动时间（单位：）的频率分布直方图如图所示，

(1)以每组数据所在区间的中点值作为本组的代表，估算这些党员干部参与主题教育活动时间的中位数（中位数精确到0.01）.
(2)如果计划对参与主题教育活动时间在内的党员干部给予奖励，且在，内的分别评为二等奖和一等奖，那么按照分层抽样的方法从获得一､二等奖的党员干部中选取5人参加社区义务宣讲活动，再从这5人中随机抽取2人作为主宣讲人，求这2人均是二等奖的概率.（需写出该事件的样本空间）
【答案】(1);(2)
【分析】（1）先根据频率分布直方图的面积和为1求解，再设中位数为，根据中位数的右边概率和为0.5求解即可；
（2）先根据分层抽样的性质分别求得在，内的抽取的人数，再列举出所有的基本事件及满足条件的事件，再求出这2人均是二等奖的概率．
【详解】（1）由已知可得，．
设中位数为，因为，，故.
则，得．
（2）按照分层抽样的方法从内选取的人数为，
从内选取的人数为．
记二等奖的4人分别为，，，，一等奖的1人为，
事件为“从这5人中抽取2人作为主宣讲人，且这2人均是二等奖”．
从这5人中随机抽取2人的基本事件为，，，，，，，，，，共10种，
其中2人均是二等奖的情况有，，，，，，共6种，
由古典概型的概率计算公式得．
19．(本题12分)（2022春·福建三明·高一统考期末）如图，在四棱锥中，四边形是菱形，，E是的中点，且．

(1)证明：平面．
(2)若，且，求四棱锥的体积．
【答案】(1)证明见详解；(2)．
【分析】（1）因为是菱形，则，设与交于点，再证即可证明结论；
（2）可证明，根据勾股定理可得的边长，结合锥体体积公式即可求解．
【详解】（1）设与交于点，因为是菱形，则
又因为，则，且
平面，平面，所以平面；
（2）设，因为，则，
因为，，所以
故，即，解得，则
因，，
所以平面，则平面，
所以四棱锥的体积．

20．(本题12分)（2022春·福建厦门·高一统考期末）某学校组织校园安全知识竞赛.在初赛中有两轮答题，第一轮从A类的5个问题中任选两题作答，若两题都答对，则得40分，否则得0分；第二轮从B类的5个问题中任选两题作答，每答对1题得30分，答错得0分若两轮总积分不低于60分则晋级复赛.
小芳和小明同时参赛，已知小芳每个问题答对的概率都为0.5.在A类的5个问题中，小明只能答对4个问题；在B类的5个问题中，小明每个问题答对的概率都为0.4.他们回答任一问题正确与否互不影响.
(1)求小明在第一轮得40分的概率；
(2)以晋级复赛的概率大小为依据，小芳和小明谁更容易晋级复赛？
【答案】(1)；(2)小明更容易晋级复赛.
【分析】（1）对A类的5个问题进行编号：，设小明只能答对4个问题的编号为：，列出所有的样本空间，即可求出小明在第一类得40分的概率；
（2）依题意能够晋级复赛，则第一轮答对两题得分，第二轮答对一题得分；或第一轮答对两题得分，第二轮答对两题得分；或第一轮答错两题得分，第二轮答对两题得分；或第一轮答对一题得分，第二轮答对两题得分；分别求出小芳和小明晋级复赛的概率，进行比较得出结论.
【详解】（1）对A类的5个问题进行编号：，第一轮从A类的5个问题中任选两题作答，
则有共种，
设小明只能答对4个问题的编号为：，
则小明在第一轮得40分，有共种，
则小明在第一轮得40分的概率为：；
（2）由（1）知，小明在第一轮得40分的概率为，
则小明在第一轮得0分的概率为：，
依题意，两人能够晋级复赛，即两轮总积分不低于60分
当第一轮答对两题得分，第二轮答对一题得分时，
小芳和小明晋级复赛的概率分别为：
；
；
当第一轮答对两题得分，第二轮答对两题得分时，
小芳和小明晋级复赛的概率分别为：
；；
当第一轮答错一题得分，第二轮答对两题得分时，
小芳和小明晋级复赛的概率分别为：
；；
当第一轮答错两题得分，第二轮答对两题得分时，
小芳晋级复赛的概率分别为：
；
小芳晋级复赛的概率为：；
小明晋级复赛的概率为：；
，
小明更容易晋级复赛.
21．(本题12分)（2022春·福建福州·高一校联考期末）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.且.
(1)求证：；
(2)若D为AC的中点，.求.
【答案】(1)证明见解析；(2)
【分析】（1）由余弦定理可得，即可得到，再由正弦定理将边化角，最后由同角三角函数的基本关系计算可得；
（2）依题意可得，将两边平方，根据数量积的运算律即可得到，再由（1）可得，两边同除，再解方程即可.
(1)解：由余弦定理，
又，
所以，即，
由正弦定理可得，
显然，所以．
(2)解：因为是中点，所以，
所以，又，
所以，
因为，，
所以，即，
解得，因为，，所以．
22．(本题12分)（2022春·福建宁德·高一统考期末）如图，已知等腰梯形的外接圆半径为2，，点是上半圆上的动点（不包含两点），点是线段上的动点，将半圆所在的平面沿直径折起使得平面平面.

(1)求三棱锥体积的最大值；
(2)当平面时，求的值；
(3)设与平面所成的角为，二面角的平面角为.求证：.
【答案】(1)；(2)；(3)证明见解析
【分析】(1) 当时，到平面的距离最大, 的值最大；
(2) 连接AC交BD于点M，连接QM，则有，可得，即可得答案；
(3) 作垂足为，连接，可得即为与平面所成的角；过作垂足为，连结，可得即为二面角的平面角，根据直角三角形中正切值的定义证明即可.
（1）解：当时，
平面，由平面平面，平面平面，
知平面，
此时，到平面的距离最大，为，
所以，的最大值为，
（2）连接AC交BD于点M，连接QM，

则平面平面，
依题意，平面，平面，所以 ，
所以，，
等腰梯形中， ，
所以，
（3）证明：作垂足为，连接，

平面平面，平面平面
此时，平面ABCD，是在平面的射影，
所以即为与平面所成的角；
,
过作垂足为，连结，
又，，
所以平面，平面，,
所以即为二面角的平面角,
，所以=2，即.