2023年全国统一高考数学试卷（新高考Ⅱ）

这是一份2023年全国统一高考数学试卷（新高考Ⅱ），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年全国统一高考数学试卷（新高考Ⅱ）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．
1．（5分）在复平面内，（1+3i）（3﹣i）对应的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（5分）设集合A＝{0，﹣a}，B＝{1，a﹣2，2a﹣2}，若A⊆B，则a＝（　　）
A．2 B．1 C．23 D．﹣1
3．（5分）某学校为了了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400和200名学生，则不同的抽样结果共有（　　）
A．C40045⋅C20015种 B．C40020⋅C20040种
C．C40030⋅C20030种 D．C40040⋅C20020 种
4．（5分）若f（x）＝（x+a）ln2x−12x+1为偶函数，则a＝（　　）
A．﹣1 B．0 C．12 D．1
5．（5分）已知椭圆C：x23+y2=1的左，右焦点分别为F1，F2，直线y＝x+m与C交于点A，B两点，若△F1AB面积是△F2AB的2倍，则m＝（　　）
A．23 B．22 C．−23 D．−23
6．（5分）已知函数f（x）＝aex﹣lnx在区间（1，2）单调递增，则a的最小值为（　　）
A．e2 B．e C．e﹣1 D．e﹣2
7．（5分）已知α为锐角，cosα=1+54，则sinα2=（　　）
A．3−58 B．−1+58 C．3−54 D．−1+54
8．（5分）记Sn为等比数列{an}的前n项和，若S4＝﹣5，S6＝21S2，则S8＝（　　）
A．120 B．85 C．﹣85 D．﹣120
二、选择题：本大题共小4题，每小题5分，共计20分．每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，选对但不全得2分，有选错的得0分．
（多选）9．（5分）已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，A，B为底面直径，∠APB＝120°，PA＝2，点C在底面圆周上，且二面角P﹣AC﹣O为45°，则（　　）
A．该圆锥的体积为π B．该圆锥的侧面积为43π
C．AC＝22 D．△PAC的面积为3
（多选）10．（5分）设O为坐标原点，直线y=−3（x﹣1）过抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则（　　）
A．p＝2
B．|MN|=83
C．以MN为直径的圆与l相切
D．△OMN为等腰三角形
（多选）11．（5分）若f（x）＝alnx+bx+cx2（a≠0）既有极大值也有极小值，则（　　）
A．bc＞0 B．ab＞0 C．b2+8ac＞0 D．ac＜0
（多选）12．（5分）在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为α（0＜α＜1），收到0的概率为1﹣α；发送1时，收到0的概率为β（0＜β＜1），收到1的概率为1﹣β．考虑两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输是指每个信号重复发送3次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1，0，1，则译码为1）（　　）sdf123124
A．采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到1，0，1的概率为（1﹣α）（1﹣β）2
B．采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1，0，1的概率为β（1﹣β）2
C．采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为β（1﹣β）2+（1﹣β）3
D．当0＜α＜0.5时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（5分）已知向量a→，b→满足|a→−b→|=3，|a→+b→|＝|2a→−b→|，则|b→|＝　 　
14．（5分）底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为 　 　．
15．（5分）已知直线x﹣my+1＝0与⊙C：（x﹣1）2+y2＝4交于A，B两点，写出满足“△ABC面积为85”的m的一个值 　 　．
16．（5分）已知函数f（x）＝sin（ωx+φ），如图A，B是直线y=12与曲线y＝f（x）的两个交点，若|AB|=π6，则f（π）＝　 　．



四、解答题：本题共小6题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC面积为3，D为BC的中点，且AD＝1．
（1）若∠ADC=π3，求tanB；
（2）若b2+c2＝8，求b，c．
18．（12分）{an}为等差数列，bn=an−6，n为奇数2an，n为偶数，记Sn，Tn为{an}，{bn}的前n项和，S4＝32，T3＝16．
（1）求{an}的通项公式；
（2）证明：当n＞5时，Tn＞Sn．
19．（12分）某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：

利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c，将该指标大于c的人判定为阳性，小于或等于c的人判定为阴性，此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为p（c）；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为q（c）．假设数据在组内均匀分布，以事件发生的概率作为相应事件发生的概率．
（1）当漏诊率p（c）＝0.5%时，求临界值c和误诊率q（c）；
（2）设函数f（c）＝p（c）+q（c）．当c∈[95，105]，求f（c）的解析式，并求f（c）在区间[95，105]的最小值．
20．（12分）如图，三棱锥A﹣BCD中，DA＝DB＝DC，BD⊥CD，∠ADB＝∠ADC＝60°，E为BC中点．
（1）证明BC⊥DA；
（2）点F满足EF→⊥DA→，求二面角D﹣AB﹣F的正弦值．

21．（12分）双曲线C中心为原点，左焦点为（﹣25，0），离心率为5．
（1）求C的方程；
（2）记C的左，右顶点分别为A1，A2，过点（﹣4，0）的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线MA1与NA2交于P，证明P在定直线上．
22．（12分）（1）证明：当0＜x＜1时，x﹣x2＜sinx＜x；
（2）已知函数f（x）＝cosax﹣ln（1﹣x2），若x＝0为f（x）的极大值点，求a的取值范围．

2023年全国统一高考数学试卷（新高考Ⅱ）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．
1．（5分）在复平面内，（1+3i）（3﹣i）对应的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【考点】复数的代数表示法及其几何意义；复数的运算．菁优网版权所有
【专题】对应思想；综合法；数系的扩充和复数；数学运算．
【答案】A
【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．
【解答】解：（1+3i）（3﹣i）＝3﹣i+9i+3＝6+8i，
则在复平面内，（1+3i）（3﹣i）对应的点的坐标为（6，8），位于第一象限．
故选：A．
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．
2．（5分）设集合A＝{0，﹣a}，B＝{1，a﹣2，2a﹣2}，若A⊆B，则a＝（　　）
A．2 B．1 C．23 D．﹣1
【考点】集合的包含关系判断及应用．菁优网版权所有
【专题】集合思想；综合法；集合；数学运算．
【答案】B
【分析】根据题意可得a﹣2＝0或2a﹣2＝0，然后讨论求得a的值，再验证即可．
【解答】解：依题意，a﹣2＝0或2a﹣2＝0，
当a﹣2＝0时，解得a＝2，
此时A＝{0，﹣2}，B＝{1，0，2}，不符合题意；
当2a﹣2＝0时，解得a＝1，
此时A＝{0，﹣1}，B＝{1，﹣1，0}，符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查集合间的关系，考查运算求解能力，属于基础题．
3．（5分）某学校为了了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400和200名学生，则不同的抽样结果共有（　　）
A．C40045⋅C20015种 B．C40020⋅C20040种
C．C40030⋅C20030种 D．C40040⋅C20020 种
【考点】排列、组合及简单计数问题．菁优网版权所有
【专题】方程思想；定义法；概率与统计；数学运算．
【答案】D
【分析】根据分层抽样先进行计算，然后利用组合公式进行求解即可．
【解答】解：∵初中部和高中部分别有400和200名学生，
∴人数比例为400：200＝2：1，
则需要从初中部抽取40人，高中部取20人即可，
则有C40040⋅C20020 种．
故选：D．
【点评】本题主要考查分层抽样以及简单的计数问题，利用组合公式进行计算是解决本题的关键，是基础题．
4．（5分）若f（x）＝（x+a）ln2x−12x+1为偶函数，则a＝（　　）
A．﹣1 B．0 C．12 D．1
【考点】函数奇偶性的性质与判断．菁优网版权所有
【专题】方程思想；定义法；函数的性质及应用；数学运算．
【答案】B
【分析】求出函数的定义域，利用函数奇偶性的定义建立方程进行求解即可．
【解答】解：由2x−12x+1＞0，得x＞12或x＜−12，
由f（x）是偶函数，
∴f（﹣x）＝f（x），
得（﹣x+a）ln−2x−1−2x+1=（x+a）ln2x−12x+1，
即（﹣x+a）ln2x+12x−1=（﹣x+a）ln（2x−12x+1）﹣1＝（x﹣a）ln2x−12x+1=（x+a）ln2x−12x+1，
∴x﹣a＝x+a，得﹣a＝a，
得a＝0．
故选：B．
【点评】本题主要考查函数奇偶性的应用，利用偶函数的定义建立方程，利用对数的运算法则进行化简是解决本题的关键，是中档题．
5．（5分）已知椭圆C：x23+y2=1的左，右焦点分别为F1，F2，直线y＝x+m与C交于点A，B两点，若△F1AB面积是△F2AB的2倍，则m＝（　　）
A．23 B．22 C．−23 D．−23
【考点】椭圆的性质．菁优网版权所有
【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算．
【答案】C
【分析】记直线y＝x+m与x轴交于M（﹣m，0），由题意可得|−2−xM|＝2|2−xM|，求解即可．
【解答】解：记直线y＝x+m与x轴交于M（﹣m，0），
椭圆C：x23+y2=1的左，右焦点分别为F1（−2，0），F2（2，0），
由△F1AB面积是△F2AB的2倍，可得|F1M|＝2|F2M|，
∴|−2−xM|＝2|2−xM|，解得xm=23或xm＝32，
∴﹣m=23或﹣m＝32，∴m=−23或m＝﹣3
联立x23+y2=1y=x+m可得，4x2+6mx+3m2﹣3＝0，
∵直线y＝x+m与C相交，所以Δ＞0，解得m2＜2，
∴m＝﹣32不符合题意，
故m=−23．
故选：C．
【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系，考查运算求解能力，属中档题．
6．（5分）已知函数f（x）＝aex﹣lnx在区间（1，2）单调递增，则a的最小值为（　　）
A．e2 B．e C．e﹣1 D．e﹣2
【考点】利用导数研究函数的单调性．菁优网版权所有
【专题】转化思想；综合法；导数的综合应用；数学运算．
【答案】C
【分析】对函数f（x）求导，根据题意可得a≥1xex在[1，2]上恒成立，设g(x)=1xex，x∈[1，2]，利用导数求出函数g（x）的最大值即可得解．
【解答】解：对函数f（x）求导可得，f′(x)=aex−1x，
依题意，aex−1x≥0在[1，2]上恒成立，
即a≥1xex在[1，2]上恒成立，
设g(x)=1xex，x∈[1，2]，则g′(x)=−(ex+xex)(xex)2=−ex(x+1)(xex)2，
易知当x∈[1，2]时，g′（x）＜0，
则函数g（x）在[1，2]上单调递减，
则a≥g(x)max=g(1)=1e=e−1．
故选：C．
【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性和最值，考查不等式的恒成立问题，考查运算求解能力，属于基础题．
7．（5分）已知α为锐角，cosα=1+54，则sinα2=（　　）
A．3−58 B．−1+58 C．3−54 D．−1+54
【考点】半角的三角函数；二倍角的三角函数．菁优网版权所有
【专题】转化思想；转化法；三角函数的求值；数学运算．
【答案】D
【分析】根据已知条件，结合二倍角公式，以及角α的取值范围，即可求解．
【解答】解：cosα=1+54，
则cosα=1−2sin2α2，
故2sin2α2=1﹣cosα=3−54，即sin2α2=3−58=(5)2+12−2516=(5−1)216，
∵α为锐角，
∴sinα2＞0，
∴sinα2=−1+54．
故选：D．
【点评】本题主要考查半角的三角函数，属于基础题．
8．（5分）记Sn为等比数列{an}的前n项和，若S4＝﹣5，S6＝21S2，则S8＝（　　）
A．120 B．85 C．﹣85 D．﹣120
【考点】等比数列的前n项和．菁优网版权所有
【专题】方程思想；整体思想；定义法；等差数列与等比数列；数学运算．
【答案】C
【分析】由题意知公比q≠1，设首项为a1，由S6＝21S2求出q2，再代入S4求出a11−q，由此求得S8．
【解答】解：等比数列{an}中，S4＝5，S6＝21S2，显然公比q≠1，
设首项为a1，则a1(1−q4)1−q=−5①，a1(1−q6)1−q=21a1(1−q2)1−q②，
化简②得q4+q2﹣20＝0，解得q2＝4或q2＝﹣5（不合题意，舍去），
代入①得a11−q=13，
所以S8=a1(1−q8)1−q=a11−q（1﹣q4）（1+q4）=13×（﹣15）×（1+16）＝﹣85．
故选：C．
【点评】本题考查了等比数列的前n项和公式计算问题，也考查了运算求解能力，是中档题．
二、选择题：本大题共小4题，每小题5分，共计20分．每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，选对但不全得2分，有选错的得0分．
（多选）9．（5分）已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，A，B为底面直径，∠APB＝120°，PA＝2，点C在底面圆周上，且二面角P﹣AC﹣O为45°，则（　　）
A．该圆锥的体积为π B．该圆锥的侧面积为43π
C．AC＝22 D．△PAC的面积为3
【考点】二面角的平面角及求法；旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积；棱柱、棱锥、棱台的体积．菁优网版权所有
【专题】转化思想；综合法；立体几何；数学运算．
【答案】AC
【分析】作图，取AC中点D，易知∠PDO＝45°，然后再逐项分析判断即可．
【解答】解：取AC中点D，则OD⊥AC，PD⊥AC，

由二面角的定义可知，二面角P﹣AC﹣O的平面角即为∠PDO＝45°，
对于A，△PAB中，由于PA＝PB＝2，∠APB＝120°，
则PO＝1，AO=3，
则OD＝1，V=13⋅3π⋅1=π，选项A正确．
对于B，S侧=π×3×2=23π，选项B错误．
对于C，AC=23−1=22，选项C正确．
对于D，PD=2，SΔPAC=12×2×22=2，选项D错误．
故选：AC．
【点评】本题考查二面角的定义，考查立体几何中的距离求解，考查运算求解能力，属于中档题．
（多选）10．（5分）设O为坐标原点，直线y=−3（x﹣1）过抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则（　　）
A．p＝2
B．|MN|=83
C．以MN为直径的圆与l相切
D．△OMN为等腰三角形
【考点】直线与抛物线的综合；抛物线的性质．菁优网版权所有
【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算．
【答案】AC
【分析】求出抛物线方程，利用抛物线的定义，结合直线与抛物线的位置关系判断选项的正误即可．
【解答】解：直线y=−3（x﹣1）过抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点，可得p2=1，所以p＝2，
所以A正确；
抛物线方程为：y2＝4x，与C交于M，N两点，
直线方程代入抛物线方程可得：3x2﹣10x+3＝0，
xM+xN=103，
所以|MN|＝xM+xN+p=163，所以B不正确；
M，N的中点的横坐标：53，中点到抛物线的准线的距离为：1+53=83，
所以以MN为直径的圆与l相切，所以C正确；
3x2﹣10x+3＝0，
不妨可得xM＝3，xN=13，yM＝﹣23，xN=233，
|OM|=9+12=21，|ON|=19+129=133，|MN|=163，
所以△OMN不是等腰三角形，所以D不正确．
故选：AC．
【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，抛物线的简单性质的应用，是中档题．
（多选）11．（5分）若f（x）＝alnx+bx+cx2（a≠0）既有极大值也有极小值，则（　　）
A．bc＞0 B．ab＞0 C．b2+8ac＞0 D．ac＜0
【考点】利用导数研究函数的极值．菁优网版权所有
【专题】综合题；函数思想；分析法；导数的综合应用；逻辑推理．
【答案】BCD
【分析】将函数有极大、极小值问题转化为导函数对应的方程有两个不等正实根来处理．
【解答】解：函数定义域为（0，+∞），
且f′（x）=ax−bx2−2cx3=ax2−bx−2cx3，
由题意，方程f′（x）＝0即ax2﹣bx﹣2c＝0有两个正根，设为x1，x2，
则有x1+x2=ba＞0，x1x2=−2ca＞0，Δ＝b2+8ac＞0，
∴ab＞0，ac＜0，
∴ab•ac＝a2bc＜0，即bc＜0．
故选：BCD．
【点评】本题考查函数极值的基础知识，属简单题．
（多选）12．（5分）在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为α（0＜α＜1），收到0的概率为1﹣α；发送1时，收到0的概率为β（0＜β＜1），收到1的概率为1﹣β．考虑两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输是指每个信号重复发送3次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1，0，1，则译码为1）（　　）sdf123124
A．采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到1，0，1的概率为（1﹣α）（1﹣β）2
B．采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1，0，1的概率为β（1﹣β）2
C．采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为β（1﹣β）2+（1﹣β）3
D．当0＜α＜0.5时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率
【考点】相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式．菁优网版权所有
【专题】转化思想；转化法；概率与统计；数学运算．
【答案】ABD
【分析】根据已知条件，结合相互独立事件的概率乘法公式，即可求解．
【解答】解：采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到1，0，1的概率为：（1﹣β）（1﹣α）（1﹣β）＝（1﹣α）（1﹣β）2，故A正确；
采用三次传输方案，若发送1，依次收到1，0，1的概率为：（1﹣β）β（1﹣β）＝β（1﹣β）2，
采用三次传输方案，若发送1，
则译码为1包含收到的信号为包含两个1或3个1，
故所求概率为：C32β(2−β)2+(1−β)3，故C错误；
三次传输方案发送0，译码为0的概率P1=C32α(1−α)2+(1−α)3，
单次传输发送0译码为0的概率P2＝1﹣α，
P2−P1=(1−α)−C32α(1−α)2−（1﹣α）3=(1−α)[1−C32α(1−α)−(1−α)2]
＝（1﹣α）（2α2﹣α）
＝（1﹣α）α（2α﹣1），
当0＜α＜0.5时，P2﹣P1＜0，
故P2＜P1，故D正确．
故选：ABD．
【点评】本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式，属于中档题．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（5分）已知向量a→，b→满足|a→−b→|=3，|a→+b→|＝|2a→−b→|，则|b→|＝　3　
【考点】向量的概念与向量的模．菁优网版权所有
【专题】方程思想；综合法；平面向量及应用；数学运算．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据向量数量积的性质及方程思想，即可求解．
【解答】解：∵|a→−b→|=3，|a→+b→|＝|2a→−b→|，
∴a→2+b→2−2a→⋅b→=3，a→2+b→2+2a→⋅b→=4a→2+b→2−4a→⋅b→，
∴a→2=2a→⋅b→，∴b→2=3，
∴|b→|=3．
故答案为：3．
【点评】本题考查向量数量积的性质及方程思想，属基础题．
14．（5分）底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为 　28　．
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；棱台的结构特征．菁优网版权所有
【专题】转化思想；综合法；立体几何；数学运算．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据题意易知△SO1A1∽△SOA，从而可求出台体的高，再根据台体的体积公式，计算即可得解．
【解答】解：如图所示，根据题意易知△SO1A1∽△SOA，
∴SO1SO=O1A1OA=222=12，又SO1＝3，
∴SO＝6，∴OO1＝3，又上下底面正方形边长分别为2，4，
∴所得棱台的体积为13×(4+16+4×16)×3=28．
故答案为：28．

【点评】本题考查台体的体积的求解，化归转化思想，方程思想，属基础题．
15．（5分）已知直线x﹣my+1＝0与⊙C：（x﹣1）2+y2＝4交于A，B两点，写出满足“△ABC面积为85”的m的一个值 　2（或﹣2或12或−12）　．
【考点】直线与圆的位置关系．菁优网版权所有
【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆；数学运算．
【答案】见试题解答内容
【分析】由“△ABC面积为85，求得sin∠ACB=45，设12∠ACB＝θ，得到cosθ，进而求得圆心到直线的距离，结合点到直线的距离公式，列出方程，即可求解．
【解答】解：由圆C：（x﹣1）2+y2＝4，可得圆心坐标为C（1，0），半径为r＝2，
因为△ABC的面积为85，可得S△ABC=12×2×2×sin∠ACB=85，
解得sin∠ACB=45，设12∠ACB＝θ所以∴2sinθcosθ=45，
可得2sinθcosθsin2θ+cos2θ=45，∴2tanθtan2θ+1=45，∴tanθ=12或tanθ＝2，
∴cosθ=25或cosθ=15，
∴圆心眼到直线x﹣my+1＝0的距离d=45或25，
∴21+m2=45或21+m2=25，
解得m＝±12或m＝±2．
故答案为：2（或﹣2或12或−12）．
【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，属于中档题．
16．（5分）已知函数f（x）＝sin（ωx+φ），如图A，B是直线y=12与曲线y＝f（x）的两个交点，若|AB|=π6，则f（π）＝　−32　．



【考点】由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；正弦函数的图象．菁优网版权所有
【专题】数形结合；分析法；三角函数的图象与性质；数学建模．
【答案】见试题解答内容
【分析】由A，B两点的位置入手，结合整体代换思想，先确定ω，再根据图象的位置，找出合乎条件的一个φ值，即可求解．
【解答】解：由题意：设A（x1，12），B（x2，12），则x2﹣x1=π6，
由y＝Asin（ωx+φ）的图象可知：
ωx2+φ﹣（ωx1+φ）=5π6−π6=2π3，即ω（x2﹣x1）=2π3，
∴ω＝4，
又f（2π3）＝sin（8π3+φ）＝0，∴8π3+φ＝kπ，k∈Z，
即φ=−8π3+kπ，k∈Z，
观察图象，可知当k＝2时，φ=−2π3满足条件，
∴f（π）＝sin（4π−2π3）=−32．
故答案为：−32．
【点评】本题主要考查根据函数y＝Asin（ωx+φ）的图象确定解析式的方法，属简单题．
四、解答题：本题共小6题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC面积为3，D为BC的中点，且AD＝1．
（1）若∠ADC=π3，求tanB；
（2）若b2+c2＝8，求b，c．
【考点】三角形中的几何计算；正弦定理；余弦定理．菁优网版权所有
【专题】转化思想；转化法；解三角形；数学运算．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据已知条件，推得SΔACD=32，过A作AE⊥BC，垂足为E，依次求出AE，BE，即可求解；
（2）根据已知条件，求得AD→=12(AB→+AC→)，两边同时平方，再结合三角形的面积公式，即可求解．
【解答】解：（1））D为BC中点，SΔABC=3，
则SΔACD=32，
过A作AE⊥BC，垂足为E，如图所示：

△ADE中，DE=12，AE=32，SΔACD=12⋅32CD=32，解得CD＝2，
∴BD＝2，BE=52，
故tanB=AEBE=3252=35；
（2）AD→=12(AB→+AC→)，
AD→2=14(c2+b2+2bccosA)，
AD＝1，b2+c2＝8，
则1=14(8+2bccosA)，
∴bccosA＝﹣2①，
SΔABC=12bcsinA=3，即bcsinA=23②，
由①②解得 tanA=−3，
∴A=2π3，
∴bc＝4，又b2+c2＝8，
∴b＝c＝2．
【点评】本题主要考查三角形中的几何计算，考查转化能力，属于中档题．
18．（12分）{an}为等差数列，bn=an−6，n为奇数2an，n为偶数，记Sn，Tn为{an}，{bn}的前n项和，S4＝32，T3＝16．
（1）求{an}的通项公式；
（2）证明：当n＞5时，Tn＞Sn．
【考点】数列的求和；数列递推式．菁优网版权所有
【专题】转化思想；转化法；等差数列与等比数列；数学运算．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据已知条件，结合等差数列的性质，以及等差数列的前n项和公式，即可求解；
（2）根据已知条件，求出Tn，Sn，再结合作差法，并分类讨论，即可求证．
【解答】解：（1）设等差数列{an}的公差为d，n2[14+(4n+6)]2
Sn，Tn为{an}{bn}的前n项和，S4＝32，T3＝16，
则a1+a2+a3+a4=32a1−6+2a2+a3−6=16，即4a1+4(4−1)2d=32a2=7，解得a1=5d=2，
故an＝5+2（n﹣1）＝2n+3；
（2）证明：由（1）可知，bn=2n−3，n为奇数4n+6，n为偶数，
Sn=(5+2n+3)n2=(n+4)n，
当n为偶数时，n＞5，
Tn＝﹣1+3+•••+2（n﹣1）﹣3+14+22+•••+4n+6
=n2[−1+2(n−1)−3]2+n2(14+4n+6)2=n2(14+6n)2=n(3n+7)2，
Tn−Sn=n2−n2＞0，
当n为奇数时，n＞5，Tn＝Tn﹣1+bn=(n−1)(3n+4)2+2n−3=3n2+5n−102，
Tn﹣Sn=n2−3n−102＞25−15−102=10，
故原式得证．
【点评】本题主要考查数列的求和，考查转化能力，属于中档题．
19．（12分）某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：

利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c，将该指标大于c的人判定为阳性，小于或等于c的人判定为阴性，此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为p（c）；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为q（c）．假设数据在组内均匀分布，以事件发生的概率作为相应事件发生的概率．
（1）当漏诊率p（c）＝0.5%时，求临界值c和误诊率q（c）；
（2）设函数f（c）＝p（c）+q（c）．当c∈[95，105]，求f（c）的解析式，并求f（c）在区间[95，105]的最小值．
【考点】频率分布直方图．菁优网版权所有
【专题】转化思想；转化法；概率与统计；数学运算．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据已知条件，列出等式，即可求解；
（2）根据已知条件，分c∈[95，100]，（100，105]两种情况，依次求出函数，即可求解．
【解答】解：（1）当漏诊率p（c）＝0.5%时，
则（c﹣95）•0.002＝0.5%，解得c＝97.5；
q（c）＝0.01×2.5+5×0.002＝0.035＝3.5%；
（2）当c∈[95，100]时，
f（c）＝p（c）+q（c）＝（c﹣95）•0.002+（100﹣c）•0.01+5×0.002＝﹣0.008c+0.82≥0.02，
当c∈（100，105]时，f（c）＝p（c）+q（c）＝5×0.002+（c﹣100）•0.012+（105﹣c）•0.002＝0.01c﹣0.98＞0.02，
故f（c）=−0.008c+0.82，95≤c≤1000.01c−0.98，100＜c≤105，
所以f（c）的最小值为0.02．
【点评】本题主要考查频率分布直方图的应用，属于基础题．
20．（12分）如图，三棱锥A﹣BCD中，DA＝DB＝DC，BD⊥CD，∠ADB＝∠ADC＝60°，E为BC中点．
（1）证明BC⊥DA；
（2）点F满足EF→⊥DA→，求二面角D﹣AB﹣F的正弦值．

【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直．菁优网版权所有
【专题】转化思想；转化法；空间位置关系与距离；数学运算．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据已知条件，推得DE⊥BC，AE⊥BC，再结合线面垂直的判定定理，即可求证．
（2）根据已知条件，推得AE⊥平面BCD，依次求出两个平面的法向量，再结合向量的夹角公式，即可求解．
【解答】证明：（1）连接AE，DE，
∵DB＝DC，E为BC中点．
∴DE⊥BC，
又∵DA＝DB＝DC，∠ADB＝∠ADC＝60°，
∴△ACD与△ABD 均为等边三角形，
∴AC＝AB，
∴AE⊥BC，AE∩DE＝E，
∴BC⊥平面ADE，
∵AD⊂平面ADE，
∴BC⊥DA．
（2）解：设DA＝DB＝DC＝2，
∴BC=22，
∵DE=AE=2，AD＝2，
∴AE2+DE2＝4＝AD2，
∴AE⊥DE，
又∵AE⊥BC，DE∩BC＝E，
∴AE⊥平面BCD，
以E为原点，建立如图所示空间直角坐标系，

D(2，0，0)，A(0，0，2)，B(0，2，0)，E（0，0，0），
∵EF→=DA→，
∴F(−2，0，2)，
∴DA→=(−2，0，2)，AB→=(0，2，−2)，AF→=(−2，0，0)，
设平面DAB与平面ABF的一个法向量分别为n1→=(x1，y1，z1)，n2→=(x2，y2，z2)，
则−2x1+2z1=02y1−2z1=0，令x1＝1，解得y1＝z1＝1，
2y2−2z2=0−2x2=0，令y2＝1，解得x2＝0，z2＝1，
故n1→=（1，1，1），n2→=（0，1，1），
设二面角D﹣AB﹣F的平面角为θ，
则|cosθ|=|n1→⋅n2→||n1→||n2→|=23×2=63，
故sinθ=33，
所以二面角D﹣AB﹣F的正弦值为33．
【点评】本题主要考查二面角的平面角及其求法，考查转化能力，属于中档题．
21．（12分）双曲线C中心为原点，左焦点为（﹣25，0），离心率为5．
（1）求C的方程；
（2）记C的左，右顶点分别为A1，A2，过点（﹣4，0）的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线MA1与NA2交于P，证明P在定直线上．
【考点】直线与双曲线的综合；双曲线的性质．菁优网版权所有
【专题】转化思想；转化法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据已知条件，结合双曲线的性质，即可求解；
（2）设出直线MN的方程，并与双曲线C联立，再结合韦达定理，推得x1+x2=32m4m2−1，x1x2=484m2−1，设出MA1，NA2直线方程，再联立方程，即可求解．
【解答】解：（1）双曲线C中心为原点，左焦点为（﹣25，0），离心率为5，
则c2=a2+b2c=25c2=a2+b2，解得a=2b=4，
故双曲线C的方程为x24−y216=1；
（2）证明：过点（﹣4，0）的直线与C的左支交于M，N两点，
则可设直线MN的方程为x＝my﹣4，M（x1，y1），N（x2，y2），
记C的左，右顶点分别为A1，A2，
则A1（﹣2，0），A2（2，0），
联立x=my−44x2−y2=16，化简整理可得，（4m2﹣1）y2﹣32my+48＝0，
故Δ＝（﹣32m）2﹣4×48×（4m2﹣1）＝264m2+192＞0且4m2﹣1≠0，
x1+x2=32m4m2−1，x1x2=484m2−1，
直线MA1的方程为y=y1x1+2(x+2)，直线NA2方程y=y2x2−2(x−2)，
故x+2x−2=y2(x1+2)y1(x2−2)=y2(my1−2)y1(my2−6)
=my1y2−2(y1+y2)+2y1my1y2−6y1
=m⋅484m2−1−2⋅32m4m2−1+2y1m⋅484m2−1−6y1
=−16m4m2−1+2y148m4m2−1−6y1=−13，
故x+2x−2=−13，解得x＝﹣1，
所以xP＝﹣1，
故点P在定直线x＝﹣1上运动．
【点评】本题主要考查直线与圆锥曲线的综合，考查转化能力，属于难题．
22．（12分）（1）证明：当0＜x＜1时，x﹣x2＜sinx＜x；
（2）已知函数f（x）＝cosax﹣ln（1﹣x2），若x＝0为f（x）的极大值点，求a的取值范围．
【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的最值．菁优网版权所有
【专题】转化思想；综合法；导数的综合应用；数学运算．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）分别构造函数g（x）＝x﹣x2﹣sinx，h（x）＝x﹣sinx，利用导数研究函数的单调性与最值，即可证明；
（2）分类讨论二阶导函数的符号，从而可得一阶导函数的符号，从而得原函数的单调性，从而可得极值点，即可得解．
【解答】（1）证明：设g（x）＝x﹣x2﹣sinx，x∈（0，1），
则g′（x）＝1﹣2x﹣cosx，∴g″（x）＝﹣2+sinx＜0，
∴g′（x）在（0，1）上单调递减，
∴g′（x）＜g′（0）＝0，
∴g（x）在（0，1）上单调递减，
∴g（x）＜g（0）＝0，
即x﹣x2﹣sinx＜0，x∈（0，1），
∴x﹣x2＜sinx，x∈（0，1），
设h（x）＝x﹣sinx，x∈（0，1），
则h′（x）＝1﹣cosx＞0，
∴h（x）在（0，1）上单调递增，
∴h（x）＞h（0）＝0，x∈（0，1），
即x﹣sinx＞0，x∈（0，1），
∴sinx＜x，x∈（0，1），
综合可得：当0＜x＜1时，x﹣x2＜sinx＜x；
（2）解：∵f′（x）＝﹣asinax+2x1−x2，∴f″（x）=−a2cosax+2+2x2(1−x2)2，
且f′（0）＝0，f″（0）＝﹣a2+2，
①若f″（x）＝2﹣a2＞0，即−2＜a＜2时，
易知存在t1＞0，使得x∈（0，t1）时，f″（x）＞0，
∴f′（x）在（0，t1）上单调递增，∴f′（x）＞f′（0）＝0，
∴f（x）在（0，t1）上单调递增，这显然与x＝0为函数的极大值点相矛盾，故舍去；
②若f″（x）＝2﹣a2＜0，即a＜−2或a＞2时，
存在t2＞0，使得x∈（﹣t2，t2）时，f″（x）＜0，
∴f′（x）在（﹣t2，t2）上单调递减，又f′（0）＝0，
∴当﹣t2＜x＜0时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；
当0＜x＜t2时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，满足x＝0为f（x）的极大值点，符合题意；
③若f″（x）＝2﹣a2＝0，即a＝±2时，∵f（x）为偶函数，
∴只考虑a=2的情况，
此时f′(x)=−2sin(2x)+2x1−x2，x∈（0，1）时，
f′(x)＞−2x+2x1−x2=2x(11−x2−1)＞0，
∴f（x）在（0，1）上单调递增，与显然与x＝0为函数的极大值点相矛盾，故舍去．
综合可得：a的取值范围为（﹣∞，−2）∪（2，+∞）．
【点评】本题考查导数的综合应用，构造函数证明不等式，利用导数研究函数的单调性与极值，分类讨论思想，化归转化思想，属难题．
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