数学(湖南长沙卷)-【试题猜想】2023年中考考前最后一卷(考试版+答题卡+全解全析+参考答案)
展开2023年中考考前最后一卷
数学·全解全析
注意事项:
1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3.回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一.选择题(共10小题,满分30分,每小题3分)
1.﹣2023的相反数等于( )
A.﹣2023 B.±2023 C.2023 D.
【分析】根据相反数的定义进行计算即可.
【解答】解:﹣2023的相反数是2023.
故选:C.
2.被誉为:“中国天眼”的世界上最大的单口径球面射电望远镜FAST的反射面总面积约为250000m2,将250000用科学记数法可表示为( )
A.25×104 B.2.5×105 C.2.5×104 D.0.25×106
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值≥10时,n是正数;当原数的绝对值<1时,n是负数.
【解答】解:将250000 用科学记数法表示为2.5×105.
故选:B.
3.如图是由6个完全相同的小正方体组成的几何体,其俯视图为( )
A. B. C. D.
【分析】根据从上面看得到的图形是俯视图,据此可得答案.
【解答】解:从上面看第一排是三个小正方形,第二排右边是一个小正方形,
故选:A.
4.下列各式中,运算正确的是( )
A.a6÷a3=a2 B.(a3)2=a5 C.÷= D.2+3=5
【分析】利用同底数幂的除法的法则,幂的乘方的法则,二次根式的除法法则及二次根式的加法法则对各项进行运算即可.
【解答】解:A、a6÷a3=a3,故A不符合题意;
B、(a3)2=a6,故B不符合题意;
C、,故C符合题意;
D、2与3不属于同类二次根式,不能合并,故D不符合题意,
故选:C.
5.不等式组的解集为( )
A.无解 B.x≤1 C.x≥﹣1 D.﹣1≤x≤1
【分析】分别求出每一个不等式的解集,根据口诀:同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集.
【解答】解:解不等式3﹣4x≥﹣1,得:x≤1,
解不等式x﹣1≥﹣2(x+2)得:x≥﹣1,
∴不等式组的解集为﹣1≤x≤1,
故选:D.
6.为了提升学生的人文素养,某校开展了朗诵经典文学作品活动,来自不同年级的30名参赛同学的得分情况如图所示,这些成绩的中位数和众数分别是( )
A.92分,96分 B.94分,96分 C.96分,96分 D.96分,100分
【分析】利用众数和中位数的定义求解.
【解答】解:由统计图得,96出现了10次,出现次数最多,
所以数据的众数为96分;
共有30个数,最中间的两个数分别为96,96,
所以数据的中位数为=96(分).
故选:C.
7.如图,在综合实践活动中,小明在学校门口的点C处测得树的顶端A仰角为37°,同时测得BC=20米,则树的高AB(单位:米)为( )
A. B.20tan37° C. D.20sin37°
【分析】通过解直角△ABC可以求得AB的长度.
【解答】解:如图,在直角△ABC中,∠B=90°,∠C=37°,BC=20m,
∴tanC=,
则AB=BC•tanC=20tan37°.
故选:B.
8.从两男、两女四名青年骨干教师中随机选取两名去参加“学课标说教材”比赛,则恰好抽到两名女教师的概率是( )
A. B. C. D.
【分析】画树状图,共有12种等可能的结果,恰好抽到两名女教师的结果有2种,再由概率公式求解即可.
【解答】解:设男教师为男1,男2,女教师为女1,女2,画树状图如下:
∴共有12种等可能的结果,恰好抽到两名女教师的结果有2种,
∴恰好抽到两名女教师的概率为=,
故选:B.
9.我国古代算题:“马四匹,牛六头,共价四十八两(我国古代货币单位);马三匹,牛五头,共价三十八两.问马、牛各价几何?”设马价x两,牛价y两,可列方程组为( )
A. B.
C. D.
【分析】直接利用“马四匹、牛六头,共价四十八两(我国古代货币单位);马三匹、牛五头,共价三十八两”列出方程组即可.
【解答】解:设马每匹x两,牛每头y两,根据题意可列方程组为:.
故选:A.
10.幻方的历史悠久,传说最早出现在夏禹时代的“洛书”(如图1),把洛书用今天的数学符号翻译出来,就是一个三阶幻方(如图2),其每行、每列及每条对角线上的三个格子中的数字之和都等于15.图3也是一个三阶幻方,其每行、每列及每条对角线上的三个格子中的数字之和都等于s,则s的值为( )
A.34 B.36 C.40 D.42
【分析】第一列第二个数为s﹣31,第三列第一个数为s﹣22,第三列第三数为s﹣33,由题意列出方程,即可求解.
【解答】解:由题意可得:第一列第二个数为s﹣31,第三列第一个数为s﹣22,第三列第三数为s﹣33,
可得:s﹣(s﹣31)﹣12=s﹣(s﹣22)﹣(s﹣33),
解得:s=36,
故选:B.
第Ⅱ卷
二.填空题(共6小题,满分18分,每小题3分)
11.函数中,自变量x的取值范围是 x≥1 .
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式,解不等式得到答案.
【解答】解:由题意得:x﹣1≥0,
解得:x≥1,
故答案为:x≥1.
12.平面直角坐标系中,点P(﹣2,4)关于x轴对称的点的坐标为 (﹣2,﹣4) .
【分析】根据关于x轴对称点的坐标特点:横坐标不变,纵坐标互为相反数可得答案.
【解答】解:点P(﹣2,4)关于x轴对称的点的坐标是(﹣2,﹣4),
故答案为:(﹣2,﹣4).
13.如图,AB是⊙O的直径,C,D是⊙O上两点,若∠AOC=140°,则∠D的度数为 20° .
【分析】先利用平角定义求出∠BOC的度数,然后再利用圆周角定理进行计算,即可解答.
【解答】解:∵∠AOC=140°,
∴∠BOC=180°﹣∠AOC=40°,
∴∠D=∠BOC=20°,
故答案为:20°.
14.若关于x的一元二次方程x2﹣x﹣m=0有两个相等的实数根,则m= ﹣ .
【分析】根据一元二次方程有两个相等的实数根可得Δ=0,解方程即可得出m的值.
【解答】解:∵关于x的一元二次方程x2﹣x﹣m=0有两个相等的实数根
∴Δ=(﹣1)2﹣4×1×(﹣m)=1+4m=0
解得m=﹣.
故答案为﹣.
15.如图,在△ABC中,AB=AC,DE是AC的垂直平分线,分别交BC,AC于点D,E.若AC=2,BC=3,则△ABD的周长是 5 .
【分析】由AC的垂直平分线DE分别交BC、AC于点D、E,易得△ABD的周长=AB+BC.
【解答】解:∵AC垂直平分线DE分别交BC,CA于点D、E,
∴AD=DC,
∴AD+BD=DC+BD=BC=3,
∵AB=AC=2,
∴△ABD周长=AB+BD+AD=AB+BC=2+3=5.
故答案为:5.
16.如图,正方形ABCD的边长为2,分别以点B,C为圆心,以正方形的边长为半径的圆相交于点P,则图中阴影部分的面积为 π﹣ .
【分析】连接BP、CP,过P作PE⊥BC于E,根据正方形的性质得出AB=BC=CD,根据等边三角形的判定得出△PBC是等边三角形,根据等边三角形的性质得出∠PBC=60°,分别求出扇形PBC和△PBC的面积即可.
【解答】解:连接BP、CP,过P作PE⊥BC于E,
∵正方形ABCD的边长为2,
∴AB=BC=CD=2,
∵分别以点B,C为圆心,以正方形的边长为半径的圆相交于点P,
∴BP=BC=CP,
即△BPC是等边三角形,
∴BP=PC=BC=2,∠PBC=60°,BE=CE=BC=1,
∴PE===,
∴阴影部分的面积=S△BPC+2(S扇形PBC﹣S△BPC)
=+2×(﹣)
=π﹣,
故答案为:π﹣.
三.解答题(本大题共9个小题,第17、18、19题每题6分,第20、21题每题8分,第22、23题每题9分,第24、25题每题10分,共72分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(6分)计算:(+1)0﹣2﹣1﹣tan45°+|﹣|;
【分析】根据零指数幂的意义、负整数指数幂的意义、特殊角的三角函数值、绝对值的定义解答即可;
【解答】解:原式=1﹣﹣×1+
=1﹣﹣+
=;
18.(6分)先化简,然后从0,1,2中选取合适的a值代入求值.
【分析】根据分式混合运算的法则计算即可化简,再根据分式有意义的条件可得出a的值只能为2,再将a=2代入化简后的式子求值即可.
【解答】解:原式=(1﹣)•
=(﹣)•
=•
=a﹣1,
∵a=0,a=±1时分式无意义,
∴可以取a=2,
当a=2时,原式=2﹣1=1.
19.(6分)为提高学生的综合素养,某校开设了四个兴趣小组,A“健美操”、B“跳绳”、C“剪纸”、D“书法”.为了了解学生对每个兴趣小组的喜爱情况,随机抽取了部分同学进行调查,并将调查结果绘制出下面不完整的统计图,请结合图中的信息解答下列问题:
(1)本次抽样调查的样本容量是 40 ;B组所对应的扇形圆心角为 144° ;
(2)将条形统计图补充完整;
(3)若该校共有学生1400人,估计该校喜欢跳绳的学生约有 560 人;
(4)现选出了3名跳绳成绩最好的学生,其中有1名男生和2名女生.要从这3名学生中任意抽取2名学生去参加比赛,请用列表法或画树状图法,求刚好抽到2名女生的概率.
【分析】(1)由D组人数及其所占百分比可得总人数,用360°乘以B组人数所占比例即可;
(2)总人数减去A、B、D人数求出C组人数即可补全图形;
(3)总人数乘以样本中B组人数所占比例即可;
(4)画树状图,共有6种等可能的结果,其中选出的2名学生恰好为女生的结果有2种,再由概率公式求解即可.
【解答】解:(1)本次抽样调查的样本容量是:12÷30%=40(人),
B组所对应的扇形圆心角的度数为:,
故答案为:40,144°;
(2)C组人数为:40﹣4﹣16﹣12=8(人),
补全条形统计图如下:
(3)估计该校喜欢跳绳的学生人数约是(人),
故答案为:560人;
(4)画树状图如下:
共有6种等可能的结果,其中选出的2名学生恰好为女生的结果有2种,
∴选出的2名学生恰好为女生的概率为.
20.(8分)周末,王老师布置了一项综合实践作业,要求利用所学知识测量一栋楼的高度.小希站在自家阳台上,看对面一栋楼顶部的仰角为45°,看这栋楼底部的俯角为37°,已知两楼之间的水平距离为30m,求这栋楼的高度.
(参考数据:sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37°≈0.75)
【分析】通过作垂线构造直角三角形,在两个直角三角形中,由锐角三角函数的定义进行计算即可.
【解答】解:如图,过点A作AE⊥BC于E,则AE=CD=30m,
在Rt△ABE中,∠BAE=45°,AE=30m,
∴BE=AE=30m,
在Rt△ACE中,∠CAE=37°,AE=30m,
∴CE=tan37°×AE≈0.75×30=22.5(m),
∴BC=BE+CE=52.5(m),
答:这栋楼的高度大约为52.5m.
21.(8分)已知,在平行四边形ABCD中,点E、F在分别边BC、AD上,且BE=DF,点G、H分别在AE、CF上,且AG=CH.
(1)如图1,求证:GE=FH;
(2)如图2,若FG⊥AE,在不添加任何辅助线的情况下,请直接写出图中与∠AFG互余的所有角.
【分析】(1)由平行四边形的性质得AD=CB,AD∥CB,而BE=DF,则AF=CE,可证明四边形AECF是平行四边形,得AE=CF,而AG=CH,则EG=FH;
(2)可证明△ABE≌△CDF,得∠AEB=∠CFD,因为∠AEB=∠FAG,∠CFD=∠ECH,所以∠AEB=∠FAG=∠CFD=∠ECH,则与∠AFG互余的角有∠AEB、∠FAG、∠CFD、∠ECH.
【解答】(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD=CB,AD∥CB,
∵BE=DF,
∴AD﹣DF=CB﹣BE,
∴AF=CE,AF∥CE,
∴四边形AECF是平行四边形,
∴AE=CF,
∵AG=CH,
∴AE﹣AG=CF﹣CH,
∴EG=FH.
(2)解:∵FG⊥AE,
∴∠AGF=90°,
在△ABE和△CDF中,
,
∴△ABE≌△CDF(SSS),
∴∠AEB=∠CFD,
∵∠AEB=∠FAG,∠CFD=∠ECH
∴∠AEB=∠FAG=∠CFD=∠ECH,
∴∠AEB+∠AFG=∠FAG+∠AFG=∠CFD+∠AFG=∠ECH+∠AFG=90°,
∴与∠AFG互余的角有∠AEB、∠FAG、∠CFD、∠ECH.
22.(9分)如图,点O是△ABC的边AB上一点,⊙O与边AC相切于点E,与边BC、AB分别相交于点D、F,且DE=EF.
(1)求证:∠C=90°;
(2)当BC=3,sinA=时,求AF的长.
【分析】(1)连接OE,BE,因为DE=EF,所以=,从而易证∠OEB=∠DBE,所以OE∥BC,从可证明BC⊥AC;
(2)设⊙O的半径为r,则AO=5﹣r,在Rt△AOE中,sinA===,从而可求出r的值.
【解答】解:(1)证明:连接OE,BE,
∵DE=EF,
∴=,
∴∠OBE=∠DBE,
∵OE=OB,
∴∠OEB=∠OBE,
∴∠OEB=∠DBE,
∴OE∥BC,
∵⊙O与边AC相切于点E,
∴OE⊥AC,
∴BC⊥AC,
∴∠C=90°;
(2)在△ABC,∠C=90°,BC=3,sinA=,
∴AB=5,
设⊙O的半径为r,则AO=5﹣r,
在Rt△AOE中,sinA===,
∴r=,
∴AF=5﹣2×=.
23.(9分)为了能够更好地进行居家电路实验学习,某校九年级(1)班在电商平台上购买小电动机和小灯泡.已知该平台上一个小电动机与一个小灯泡的价格之和是12元,同学们决定用30元购买小灯泡,45元购买小电动机,其中购买的小灯泡数量正好是小电动机数量的2倍.
(1)分别求出每个小灯泡和小电动机的价格;
(2)若九年级(1)班决定购买小灯泡和小电动机共计90个,且满足小灯泡数量不超过小电动机数量的一半,请设计出更省钱的购买方案,并求出总费用的最小值.
【分析】(1)设每个小灯泡的价格是x元,则每个小电动机的价格是(12﹣x)元,利用数量=总价÷单价,结合用30元购买小灯泡的数量正好是用45元购买小电动机数量的2倍,可得出关于x的分式方程,解之经检验后可得出每个小灯泡的价格,再将其代入(12﹣x)中,即可求出每个小电动机的价格;
(2)设购买m个小灯泡,则购买(90﹣m)个小电动机,根据购买小灯泡数量不超过小电动机数量的一半,可得出关于m的一元一次不等式,解之可得出m的取值范围,设购买小灯泡和小电动机的总费用为w元,利用总价=单价×数量,可得出w关于m的函数关系式,再利用一次函数的性质,即可解决最值问题.
【解答】解:(1)设每个小灯泡的价格是x元,则每个小电动机的价格是(12﹣x)元,
根据题意得:=×2,
解得:x=3,
经检验,x=3是所列方程的解,且符合题意,
∴12﹣x=12﹣3=9.
答:每个小灯泡的价格是3元,每个小电动机的价格是9元;
(2)设购买m个小灯泡,则购买(90﹣m)个小电动机,
根据题意得:m≤(90﹣m),
解得:m≤30.
设购买小灯泡和小电动机的总费用为w元,则w=3m+9(90﹣m),
即w=﹣6m+810,
∵﹣6<0,
∴w随m的增大而减小,
∴当m=30时,w取得最小值,最小值=﹣6×30+810=630,此时90﹣m=90﹣30=60.
答:更省钱的购买方案为:购买30个小灯泡,60个小电动机,总费用的最小值为630元.
24.(10分)在△ABC中,BD⊥AC,E为AB边中点,连接CE,BD与CE相交于点F,过E作EM⊥EF,交BD于点M,连接CM.
(1)依题意补全图形;
(2)求证:∠EMF=∠ACF;
(3)判断BM、CM、AC的数量关系,并证明.
【分析】(1)根据要求作出图形即可;
(2)根据等角的余角相等证明即可;
(3)结论:AC2+BM2=MC2.证明CG=CM,在Rt△AGC中,AC2+AG2=GC2,由此可得结论.
【解答】(1)解:补全图形如图所示:
(2)证明:∵∠BDC=90°,
∴∠DCF+∠DFC=90°,
∵EM⊥EF,
∴∠EMF+∠EFM=90°,
∵∠EFM=∠DFC,
∴∠EMF=∠DCF;
(3)解:结论:AC2+BM2=MC2.
理由:延长ME到G使EG=EM,连接AG、CG.
在△AGE和△BME中,
,
∴△AGE≌△BME(SAS),
∴BM=AG,BM∥AG,
∵BD⊥AC,∴∠GAC=∠BDA=90°,
∵CE⊥EM,EM=EG,
∴CE垂直平分MG,
∴CG=CM,
在Rt△AGC中,AC2+AG2=GC2,
∴AC2+BM2=MC2.
25.(10分)如图,抛物线y=﹣x2+2x+3交x轴于点A和点B(A在B左边),与y轴交于点C,P是抛物线上第一象限内的一个动点.
(1)求A,B,C三点的坐标;
(2)连接AP交线段BC于点D,当CP与x轴不平行时,的最大值= ;
(3)若直线OP交BC于点M,是否存在这样的点P,使以B、O、M为顶点的三角形与△ABC相似?若存在,求点P的横坐标;若不存在,请说明理由.
【分析】(1)对于y=﹣x2+2x+3,令x=0,得y=3;令y=0,得x1=﹣1,x2=3,从而可得结论;
(2)运用待定系数法求出直线BC的解析式为y=﹣x+3,过点P作PQ∥AB交BC于点Q,设P(m,﹣m2+2m+3),得Q(m2﹣2m,﹣m2+2m+3),求出PQ,AB,证明△PDQ∽△ADB,得,得,再运用二次根式的性质可得结论;
(3)由勾股定理求出,过M作MN⊥HS,可求,设OM的解析式为y=kx,分△BOM∽△ABC和△BOM∽△BCA两种情况利用相似三角形的性质求出点M的坐标,从而求出直线OM的解析式,再联立方程并求解方程即可得到点P的横坐标.
【解答】解:(1)当x=0时,y=﹣x2+2x+3=3,
∴C(0,3),
当y=0时,﹣x2+2x+3=0,
解得x1=﹣1,x2=3
∴A(﹣1,0),B(3,0),
综上,A(﹣1,0),B(3,0),C(0,3);
(2)过点P作PQ∥AB交BC于点Q,如图,
设直线BC的解析式为y=kx+b,
又B(0,3),C(0,3),
将两点坐标代入y=kx+b得:
,
解得:,
∴直线BC的解析式为y=﹣x+3,
设点P的横坐标为m,则P(m,﹣m2+2m+3),Q(m2﹣2m,﹣m2+2m+3),
∴PQ=m﹣(m2﹣2m)=﹣m2+3m,
∵PQ∥AB,
∴△POQ∽△ADB△,
∴
=
=
=,
∵.
∴抛物线开口向下,图象有最高点,
∴当时,的最大值为;
故答案为:;
(3)∵A(﹣1,0),B(3,0),C(0,3),
∴OA=1,OB=OC=3,
∵∠COB=90°,
∴∠OBC=∠OCB=45°,
由勾股定理得,,
过M作MN⊥x轴于N,
则,
依题意,0<xP<3,
设OM的解析式为y=kx,
∵∠OBM是公共角,
∴△BOM∽△BAC或△BOM∽△BCA,
当△BOM∽△BAC时,
,
即,
解得:,
∴,,
此时,
则,
解得,k=3,
∴OM解析式为y=3x,
解3x=﹣x2+2x+3得:
或(不合题意,舍去),
当△BOM∽△BCA时,
,即,
解得,,
∴MN=BN=2,则ON=3﹣2=1,
此时M(1,2),
则k=2,
∴OM解析式为y=2x,
解2x=﹣x2+2x+3得或(舍去),
综上,P点横坐标为或者时符合题意.
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