江苏省盐城市三校（盐城一中、亭湖高中、大丰中学）2022-2023学年高二下学期数学期中联考试卷

江苏省盐城市三校（盐城一中、亭湖高中、大丰中学）2022-2023学年高二下学期期中联考数学试卷

一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.在等比数列中，，，则的值为(    )

A．  B． C． D．

2.双曲线虚轴的一端点为，两个焦点为、，，则双曲线的离心率为(   )

A              B           C            D

3.从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有(    )

A．68种  B．70种  C．72种  D．74种

4.若一个样本容量为的样本的平均数为，方差为．现样本中又加入一个新数据，此时样本容量为，平均数为，方差为，则(    )

A．，   B．， 

C．，   D．，

5.据美国的一份资料报道，在美国总的来说患肺癌的概率约为0.1%，在人群中有20%是吸烟者，他们患肺癌的概率约为0.4%，则不吸烟患肺癌的概率为(    )

A．0.025% B．0.032% C．0.048% D．0.02%

6.已知直线的方向向量，平面的一个法向量为，则直线与平面所成的角为(    )

A．120° B．60° C．30° D．150°

7.已知斜率存在的直线与椭圆交于两点，且与圆切于点.若为线段的中点，则直线的斜率为(    )

A.      B.    

C.或    D.或

8．设，，，则(    )

A．  B．  C．  D．

二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9．下列各式正确的是(    )

A．     B．

C．   D．

10.一质地均匀的正四面体表面上分别标有数字1，2，3，4，抛掷该正四面体两次，记事件A为“第一次向下的数字为偶数”，事件B为“两次向下的数字之和为奇数”，则下列说法正确的是(  )

A．    B．事件A和事件B互为对立事件

C．   D．事件A和事件B相互独立

11.如图，在棱长为2的正方体中，E为边AD的中点，点P为线段上的动点，设，则(    )

A．当时，EP//平面 

B．当时，取得最小值，其值为

C．的最小值为 

D．当平面CEP时，  

12．已知分别是函数和的零点，则(    )

A．       B．   

C．      D．

三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.甲、乙两人各进行一次投篮，两人投中的概率分别为，已知两人的投中互为独立事件，则两人中至少有一个人投中的概率为      ．

14.已知随机变量，，且，，则      .

15.设多项式， 则     .

16.已知抛物线：的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点，且，点是抛物线上的任意一点，点是抛物线的对称轴与准线的交点,则          ，的最大值为          .

四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

17．（本题10分） 

已知正项数列满足，且．

(1)求数列的通项公式；

(2)记，记数列的前n项和为，证明：．

18．（本题12分） 

已知二项式   的展开式中      ，        .给出下列条件：

①第二项与第三项的二项式系数之比是1：4；②各项系数之和为512；③第7项为常数项.

在上面三个条件中选择两个合适的条件分别补充在上面的横线上，并完成下列问题.

(1)求实数和的值；

(2)求的展开式中的常数项.

19．（本题12分）

有甲、乙两个班级进行数学考试，按照大于或等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩后，得到如下的列联表．已知从全部210人中随机抽取1人为优秀的概率为．

(1)请完成上面的列联表，并依据小概率值的独立性检验，分析成绩是否与班级有关；

(2)从全部210人中有放回地抽取3次，每次抽取1人，记被抽取的3人中的优秀人数为，若每次抽取的结果是相互独立的，求的分布列及均值．

附：

20.（本题12分）

如图，在中，，，，可以通过以直线为轴旋转得到，且二面角是直二面角．动点在线段上．

(1)当为的中点时，求异面直线与所成角的余弦值；

(2)求与平面所成角的正弦值的最大值．

21．（本题12分）

设，已知函数．

(1)求函数的单调区间；

(2)对于函数的极值点，存在，使得，试问对任意的正数a，是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.

22.（本题12分）

已知双曲线的左、右焦点分别为，实轴长为，一条渐近线方程为，过的直线与双曲线的右支交于两点.

(1)求双曲线的方程；

(2)已知，若的外心的横坐标为，求直线的方程.

【参考答案】

一、单选题

二、多选题

三、填空题

13、     14、0.9      15、      16、 （2分）    （3分）

四、解答题

17、（1）解：数列中，，由，可得，

又，则数列是首项为1公差为1的等差数列，则，

则数列的通项公式为------------5分

（2）证明：由（1）知，则，

则数列的前n项和，

由，可得，即．------------5分

18、解：（1）由①可知，解得；

由②得令得；

由③得，要使该项为常数，则；

所以条件①与③得到的是同一结果，所以只有选择条件①与②和条件②与③；

该两种组合都会得到，所以，解得；------------6分

（2）由（1）可知，，

所以有，

所以常数项为，

令，解得；

所以常数项为.------------6分

19、解：(1)由题知优秀的人数为（人），

所以列联表如下：

假设 ：成绩和班级无关，

则：>6.635,

根据小概率值的独立性检验，推断不成立，

故成绩与班级有关；------------6分

(2)因为，且，

所以的分布列为：

 所以E()=0+1+2+3=.------------6分

20、解：（1）由题意可得：，平面平面，

平面平面，平面，所以平面，

如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系，则，

若为的中点，则，可得，

设异面直线与所成角，

则.

故异面直线与所成角的余弦值为.------------5分

（2）若动点在线段上，设，

则，可得，解得，

即，则，

由题意可知：平面的法向量为，

设与平面所成角为，

则，

对于开口向上，对称轴为，

可得当时，取到最小值，

所以的最大值为，

注意到，则故与平面所成角的正弦最大值为.------------7分

21.解：（1），由，解得或，

当或时，，函数单调递增，

当时，，函数单调递减，

所以函数单调递增区间是，，

递减区间是.------------5分

（2）因为函数存在极值点，由（2）知：，且，

因为，，

又，得，

即，

因为，则，

依题意，，即，

因此，即，

亦即，而，因此，

所以对任意的正数a，为定值6.------------7分

22.解：（1）由题意可知，，解得．

双曲线的方程为；------------4分

（2）由（1）知，

当直线的斜率不存在时，直线的方程为，则，，

外接圆的圆心的横坐标为0，，

此时，，，不合题意；------------5分

当直线的斜率存在时，设直线的方程为，

联立，得．

设，，，，则，，

由，解得或．------------7分

，

线段的中点为，

且，

设，由在线段的垂直平分线上，

得  QIROR :uId: QIROR  ，得，即，------------9分

故，，且，

，

化简得，解得或（舍去），------------11分

直线的方程为，

即直线的方程为或．------------12分