2023年上海市闵行外国语中学、立达中学中考数学联考试卷（5月份）（含解析）

2023年上海市闵行外国语中学、立达中学中考数学联考试卷（5月份）

一、选择题（本大题共6小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  已知线段，，，求作线段，使，以下作法正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

2.  矩形中，，，点在边上，且，如果圆是以点为圆心，为半径的圆，那么下列判断正确的是(    )

A. 点，均在圆外
B. 点在圆外，点在圆内
C. 点在圆内，点在圆外
D. 点，均在圆内

3.  如图所示，给出下列条件：；；；其中能够判定∽的个数为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  一组数据：，，，，如果再添加一个数据，那么会发生变化的统计量是(    )

A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差

5.  如图，平面直角坐标系中，已知矩形，为原点，点、分别在轴、轴上，点的坐标为，连接，将沿直线翻折，点落在点的位置，则的值是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  在四边形中，，，，，如图点是边上一点，如果以为圆心，为半径的圆与边有交点，那么的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共12小题，共48.0分）

7.  方程的根是______．

8.  第七次全国人口普查，国家统计局发布公报上海市常住人口为人，这个数用科学记数法表示为______结果保留个有效数字

9.  已知直角三角形两边长分别为和，那么较小锐角的正弦值是______．

10.  如果随意把各面分别写有数字“”、“”、“”、“”、“”、“”的骰子抛到桌面上，那么正面朝上的数字是素数的概率是______．

11.  如果二次函数图象的顶点在轴上，那么的值是______．

12.  如图，已知点、分别在的边、的延长线上，：：，设，试用向量表示向量，______．

13.  如果把两条邻边中较短边与较长边的比值为的矩形称作黄金矩形．现将长度为的铁丝折成一个黄金矩形，这个黄金矩形较短的边长是______ ．

14.  如图，在中，已知，垂足为，，若是的中点，则 ______ ．

15.  新定义：如果一个三角形一条边上的高等于这条边，那么这个三角形叫做等高底三角形，这条边叫做等底．如图，是等高底三角形，是等底，点关于直线的对称点是点，联结，如果点是的重心，那么的值是______．

16.  如图，在中，，，，点为的中点，以点为圆心作圆心角为的扇形，点恰在弧上，则图中阴影部分的面积为______．

17.  如图，在梯形中，，，，点是腰上的一点且，当是直角三角形时，则边的长为______．
 

18.  人们把这个数叫做黄金分割数，著名数学家华罗庚优选法中的法就应用了黄金分割数设，，得，记，，，，则           ．

三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）

19.  先化简，再求值：，其中．

四、解答题（本大题共6小题，共48.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

20.  本小题分
解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．

 

21.  本小题分
如图，在中，，，是形内一点，且．
求证：∽；
试求的值．

22.  本小题分
据报载，在“百万家庭低碳行，垃圾分类要先行”活动中，某地区对随机抽取的名公民的年龄段分布情况和对垃圾分类所持态度进行调查，并将调查结果分别绘成条形图图、扇形图图．
图中所缺少的百分数是______ ；
这次随机调查中，如果公民年龄的中位数是正整数，那么这个中位数所在年龄段是______ 填写年龄段；
这次随机调查中，年龄段是“岁以下”的公民中“不赞成”的有名，它占“岁以下”人数的百分数是______ ；
如果把所持态度中的“很赞同”和“赞同”统称为“支持”，那么这次被调查公民中“支持”的人有______ 名．

 

23.  本小题分
如图，是的中线，为上任意一点，连接并延长，交于，连接并延长，交于，连接求证：．

24.  本小题分
在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点，抛物线的对称轴交轴于点，联结．
求线段的长；
如果抛物线的顶点到直线的距离为，求的值；
以点为圆心、为半径的交轴的负半轴于点，第一象限内的点在上，且劣弧如果抛物线经过点，求的值．

25.  本小题分
已知：在中，，，，点是边上一动点不与、重合，过点分别作交于点，交于点，联结，设，．
求关于的函数解析式，并写出定义域；
以为圆心为半径的交直线于点，当点为中点时，求的值；
如图，联结将沿直线翻折，点落在点处，直线与直线相交于点，当为等腰三角形时，求的度数．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
，
根据平行线分线段成比例定理，选项D作法正确．
故选：．
把式子写成比例式，再利用平行线等分线段定理判断即可．
本题考查作图复杂作图，平行线等分线段定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，
 

2.【答案】 

【解析】解：如图，
四边形为矩形，
，
，，
，，
在中，，，
，
在中，，，
，
，
点在圆内，点在圆外．
故选：．
由，得到，，再根据勾股定理，在中计算出，在中计算出，则，然后根据点与圆的位置关系进行判断．
本题考查了点与圆的位置：设的半径为，点到圆心的距离，则有：点在圆外；点在圆上；点在圆内．
 

3.【答案】 

【解析】解：，，由有两角对应相等的两三角形相似，能够判定∽，故正确；
，，由有两角对应相等的两三角形相似，能够判定∽，故正确；
，和两边对应出比例，但两边的夹角和不一定相等，因此不能判定∽，故错误；
由，得到，又，由两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，能够判定∽，故正确．
因此正确的个数是个．
故选：．
由相似三角形的判定方法，即可判断．
本题考查相似三角形的判定，关键是掌握相似三角形的判定方法．
 

4.【答案】 

【解析】解：原数据的，，，的平均数为，中位数为，众数为，方差为；
新数据，，，，的平均数为，中位数为，众数为，方差为；
故选：．
依据的定义和公式分别计算新旧两组数据的平均数、中位数、众数、方差求解即可．
本题主要考查的是众数、中位数、方差、平均数，熟练掌握相关概念和公式是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】

【分析】
根据翻折不变性及勾股定理求出、的长，再根据相似三角形的性质，求出的长，的长即可解决问题；本题考查翻折变换、矩形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考常考题型．
【解答】
解：作轴于，轴于，交于．

在与中，
，
≌，
，
设，
则，
于是在中，；
解得．
；
轴，轴，
，
，
∽，
，
；
又，
．
．
故选D．  

6.【答案】 

【解析】解：如图，过点作于，则，，，
在中，，
当与相切时，此时与线段有一个公共点，此时半径最小，
设，则，
在中，，
，
由得，，
解得；
如图，当以为半径的过点时，半径最大，过点作于，
设，则，
在中，，
，，
，
在中，由勾股定理得，
，
即，
解得，即的最大半径为，
所以当以为圆心，为半径的圆与边有交点，那么的取值范围为，
故选：．
分别画出半径最小和最大时的图形，根据直角三角形的边角关系以及切线的性质列方程求解即可．
本题考查直线与圆的位置关系，直角梯形以及直角三角形的边角关系，画出半径最小和最大时的图形是正确解答的前提，构造直角三角形是解决问题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：方程两边平方，得，
整理，得，
解得．
经检验是原方程的解．
所以原方程的解为．
故答案为：．
方程的两边平方，化无理方程为整式方程，求解验根即可．
本题考查了无理方程的解法，把无理方程转化为整式方程是解决本题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：，
故答案为：．
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，且比原来的整数位数少，据此判断即可．
本题考查科学记数法，绝对值小于的小数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，其中，为整数．与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂．
 

9.【答案】或 

【解析】

【分析】
本题考查了勾股定理，锐角三角函数的定义，进行分类讨论是解题的关键．
【解答】
解：分为两种情况：
当为斜边时，直角三角形的另一直角边是，
较小锐角的正弦值为；
当为直角边时，由勾股定理得：斜边为，
较小锐角的正弦值为．
该三角形中较小锐角的正弦值为或．
故答案为或．
分为斜边与为直角边两种情况分别求出另外一边，再根据正弦函数的定义求解即可．  

10.【答案】 

【解析】解：随意把各面分别写有数字“”、“”、“”、“”、“”、“”的骰子抛到桌面上，共有中等可能的结果，正面朝上的数字是合素的有，，共种结果；
正面朝上的数字是素数的概率是：．
故答案为：．
由随意把各面分别写有数字“”、“”、“”、“”、“”、“”的骰子抛到桌面上，共有中等可能的结果，正面朝上的数字是素数的有，，；直接利用概率公式求解即可求得答案．
此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

11.【答案】 

【解析】解：抛物线的顶点在轴上，
，即，
解得．
故答案是：．
因为抛物线顶点在轴上，故函数图象与轴只有一个交点，根据，即可求出的值．
此题考查了二次函数图象与轴交点个数与根的判别式的关系，要明确：时，图象与轴有两个交点；，图象与轴有一个交点；，图象与轴无交点．
 

12.【答案】 

【解析】解：，
∽，
：：，
：：：，
，
，
，
，
，
故答案为：．
由可得∽，由：：，可得，即可表示，从而得出答案．
本题考查向量的运算，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的性质和向量的运算的解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了黄金分割的定义：把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，它们的比值叫做黄金比．同时考查了矩形的周长公式．设这个黄金矩形较长的边长是，根据长方形的周长公式列出算式求出的值，再根据黄金分割的定义即可得出这个黄金矩形较短的边长．
【解答】
解：设这个黄金矩形较长的边长是，根据题意得：
，
解得：，
则这个黄金矩形较短的边长是．
故答案为：．  

14.【答案】 

【解析】解：设的面积为，
是的中点，
，
，
，
，
．
故答案为：．
设的面积为，根据三角形面积公式，利用是的中点得到，再利用得到，所以，从而得到的值．
本题考查了三角形的面积，掌握三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即底高，三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分是关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：延长与交于点，

点关于直线的对称点是点，
，，，
是等高底三角形，是等底，
，
点是的重心，
，
设，则，
，

故答案为：．
延长与交于点，根据轴对称性质得，，，再由是等高底三角形，是等底，得，再根据三角形的重心定理得，设，则，由勾股定理用表示，进而计算的值便可．
本题主要考查了对称变换，三角形的重心性质，新定义，关键是根据三角形的重心性质得出与的数量关系．
 

16.【答案】 

【解析】解：连接，
，点为的中点，，，
，，
，，
，
，
又，，
≌，
四边形的面积等于的面积
阴影部分的面积是：，
故答案为：．
根据题意和图形，可以发现阴影部分的面积扇形的面积四边形的面积，然后计算即可．
本题考查扇形面积的计算、等腰直角三角形，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

17.【答案】 

【解析】解：如图，过点作交于点，以为坐标原点，，分别为，轴建立平面直角坐标系，

，，
，，
，，
设，
如图，过点，作，于点，，
，四边形是矩形，
∽，
，
，
，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，，
是直角三角形，
，
，
解得，
则边的长为．
故答案为：．
过点作交于点，以为坐标原点，，分别为，轴建立平面直角坐标系，根据，，可得，，所以，，设，过点，作，于点，，可得，四边形是矩形，然后可得∽，可得，再根据勾股定理即可解决问题．
本题考查了坐标与图形性质，勾股定理，解直角三角形，相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到∽．
 

18.【答案】 

【解析】

【分析】
利用分式的加减法则分别求得，，，即可求解．
本题考查了分式的加减法，找出其中的规律是解本题的关键．
【解答】
解：，
，
，
，
，
故答案为．  

19.【答案】解：



，
当时，
原式． 

【解析】将原式第二项中被除式的分子利用完全平方公式分解因式，除式的分子利用平方差公式分解因式，然后利用除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法运算化为乘法运算，约分后再利用同分母分式的减法运算计算，得到最简结果，接着利用特殊角的三角函数值及负指数公式化简，求出的值，将的值代入化简后的式子中计算，即可得到原式的值．
此题考查了分式的化简求值，特殊角的三角函数值，以及负指数公式，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母；分式的乘除运算关键是约分，约分的关键是找公因式，约分时分式的分子分母出现多项式，应将多项式分解因式后再约分．
 

20.【答案】解：由，得：，
由，得：，
则不等式组的解集为，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：
 

【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

21.【答案】解：在中，，，
，即，
又在中，，
，
，
又，
∽．

是等腰直角三角形，
，
又∽，
，
令，则，
又在中，，
． 

【解析】结合题意，易得，从而可得出，又在中，，以及，即可得出∽；
由于是等腰直角三角形，即可得出和之间的关系，利用的条件，，在中，，易得出的值．
本题主要考查相似三角形的判定与性质的知识点，熟练三角形内角和定理，等腰三角形的判定与性质，三角形外角的性质，勾股定理等知识点，综合性较强，有一定难度．
 

22.【答案】；岁；； 

【解析】解：图中所缺少的百分数是：
共名公民，
这个中位数所在年龄段是第和第个数的平均数，
这个中位数所在年龄段是：岁
年龄段是“岁以下”的公民中“不赞成”的有名，
“岁以下”的人数是，
它占“岁以下”人数的百分数是，
所持态度中“很赞同”和“赞同”的人数所占的百分比分别是；，，
这次被调查公民中“支持”的人有人，
故答案为：，，，．
本题需先根据已知条件，再结合图形列出式子，解出结果即可．
本题需先根据中位数的概念即可得出答案．
本题需先求出岁以下的总人数，再用除以总人数即可得出答案．
本题需先求出这次被调查公民中支持的人所占的百分比，再乘以总人数即可得出答案．
本题主要考查了条形统计图和扇形统计图的有关知识，在解题时要注意综合利用这两种统计图是本题的关键．
 

23.【答案】证明：如图，延长到，使，连接、．
是的中线，
，
，
四边形是平行四边形，
，即，
：：，
同理：：，
：：，
． 

【解析】延长到，使，连接、由对角线互相平分的四边形是平行四边形可得四边形是平行四边形，于是，即，再根据平行线分线段成比例定理的推论得出：：，同理：：，等量代换得到：：，然后根据平行线分线段成比例定理即可证明．
本题考查了平行线分线段成比例定理：
定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
推论：平行于三角形一边的直线截其他两边或两边的延长线，所得的对应线段成比例．
定理：如果一条直线截三角形的两边或两边的延长线所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．
定理：平行于三角形的一边，并且和其他两边或两边的延长线相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例．
 

24.【答案】解：，
抛物线的对称轴为，
，
令，则，
，
；
由可知抛物线的顶点为，
，
，
，
，
解得；
连接，，，
，
，
，
，
，
设，
，，
，
，
，
，
联立可得或舍，
将代入，可得． 

【解析】分别求出，，由两点间距离公式可求；
抛物线的顶点为，由，可得；
连接，，，设，求出，由垂径定理可得，，，得，联立可得．
本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，圆的垂径定理是解题的关键．
 

25.【答案】解：，，，
，
四边形为矩形，
，
，
在中，，
，，
在中，，

，
在中，，
，，

方法：
连接，，如图，
在中，为中点

为等边三角形
，


，
在中，

，
方法：
连接，作交于点，如图，
，
在中，，
，
，
，
方法：
连接并延长交延长线于点，如图，
，
，
，

在中，，
，
，舍去；
由翻折可得，是等腰三角形时，的大小存在三种情况：
当点落在边上时，
当时，，
，

，
当时，


，
当点在延长线上时，
当时，，
，
，
，
，
 

【解析】根据已知条件可证明四边形为矩形，则，，即可得出，在中，由，，可表示出，，在中，，，由勾股定理得即可；
在中，由，，得出，，从而得出，分三种方法：
方法：连接，，可证明为等边三角形，则，从而得出；在中，由勾股定理得，从而得出的值；
方法：连接，作交于点，则，在中，由，得出的值；
方法：连接并延长交延长线于点，由，则，即，在中，根据勾股定理得，求得，舍去；
由翻折可得，当是等腰三角形时，的大小存在三种情况：
当点落在边上时，当时，，求得，当时，，求得；
当点在延长线上时，当时，，根据，得，求得．
本题考查了相似图形的综合运用，还考查了等腰三角形的判定、矩形的判定以及勾股定理的应用，分类讨论思想的运用，是一道综合性较强的题目，难度较大．