2023年四川省巴中市巴州区棠湖外语实验学校中考数学第二次适应性试卷（含解析）

这是一份2023年四川省巴中市巴州区棠湖外语实验学校中考数学第二次适应性试卷（含解析），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年四川省巴中市巴州区棠湖外语实验学校中考数学第二次适应性试卷一、选择题（本大题共12小题，共48.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.  下列各数中：它的位数无限且相邻两个“”之间“”的个数依次加个，有理数有(    )A. 个 B. 个 C. 个 D. 个2.  下列几何体是由个相同的小正方体搭成的，其中从正面和上面看到的平面图形相同的是(    )A.  B.
C.  D. 3.  年月日，国家统计局公布了“年国民经济和社会发展统计公报”，经过初步核算，截止到年年末我国总人口人万人将数据万用科学记数法表示为(    )A.  B.  C.  D. 4.  下列运算中，正确的是(    )A.  B.
C.  D. 5.  数据，，，，的众数和中位数分别为(    )A. 和 B. 和 C. 和 D. 和6.  如图，在直角坐标系中，的顶点为，，以点为位似中心，在第三象限内作与的位似比为的位似图形，则点的坐标为(    )
 A.  B.  C.  D. 7.  已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是(    )A.  B.  C. 且 D. 且8.  分别以等边三角形的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到封闭图形就是莱洛三角形，如图，已知等边，，则该莱洛三角形的面积为(    )A.
B.
C.
D. 9.  如图，在中，，，点为的中点，于点，则的值等于(    )A.
B.
C.
D. 10.  如图，在中，，，，以点为圆心，长为半径作弧，交于点；再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，则的长为(    )A.  B.  C.  D. 11.  如图所示，、都是等边三角形，且均在第一象限，若双曲线经过、两点，，则点的坐标为(    )A.
B.
C.
D. 12.  如图，抛物线与轴交于点、，顶点为，对称轴为直线，给出下列结论：；若点的坐标为，则的面积可以等于；，是抛物线上两点，若，则；若抛物线经过点，则方程的两根为，，其中正确的结论有个．(    )A.  B.  C.  D. 二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）13.  若代数式有意义，则字母的取值范围是______．14.  因式分解： ______ ．15.  已知，，，为有理数，现规定一种新的运算，那么当时，的值是______ ．16.  小明同学在东西方向的环海路处，测得海中灯塔在北偏东方向上，在处东米的处，测得海中灯塔在北偏东方向上，则灯塔到环海路的距离 ______ 米用根号表示．
17.  已知关于的一元二次方程两实数根分别为、，且满足，则实数的值为______ ．18.  如图，，是正方形的边上的两个动点，满足，连接交于点，连接交于点，连接若正方形的边长为，则线段长度的最小值是______ ．
 三、解答题（本大题共9小题，共84.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）19.  本小题分
计算：．20.  本小题分
解分式方程：．21.  本小题分
先化简，再求值：，其中，．22.  本小题分
某市某区在今年四月开始了第一剂新冠疫苗接种，为了解疫苗的安全、有效情况，从全区已接种市民中随机抽取部分市民进行调查．调查结果根据年龄岁分为四类：类：；类：；类：；类：现将调查结果绘制成如下不完整的统计图，请根据统计图中的信息解答下列问题：

抽取的类市民有______人，并补全条形统计图；
若本次抽取人数占已接种市民人数的，估计该区已接种第一剂新冠疫苗的市民有多少人？
区防疫站为了获取更详细的调查资料，从类市民中选出两男两女，现准备从这四人中随机抽取两人进行访谈，请用列表法或画树状图的方法求出抽取的两人恰好是一男一女的概率．23.  本小题分
在如图的菱形中，点是边上一点，连接，点，是上的两点，连接，，使得，．
求证：；
求证：．
24.  本小题分
年月，李克强总理提倡搞地摊经济，张明投资销售一种进价为每件元的护眼台灯，销售过程中发现，每月销售量件与销售单价元之间的关系可近似的看作一次函数：，在销售过程中销售单价不低于成本价，而每件的利润不高于成本价的．
设张明每月获得利润为元，求每月获得利润元与销售单价元之间的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围．
如果张明想要每月获得的利润为元，那么张明每月的单价定为多少元？
当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？每月的最大利润是多少？25.  本小题分
如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与，轴交于，两点，轴于点，且，，．
求一次函数的解析式和反比例函数的解析式；
求的面积；
根据图象直接写出一次函数的值大于反比例函数的值时，自变量的取值范围．
26.  本小题分
如图，点为上的一点，点在直径的延长线上，并且．
求证：是的切线；
过点作的切线，交的延长线于点，若，，求的长．
27.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点坐标为，与轴交于点，点是对称轴与轴的交点．
求抛物线的解析式；
如图所示，直线交抛物线于点，连接、，求的面积；
如图所示，在对称轴的右侧作交抛物线于点，求出点的坐标；并探究：在轴上是否存在点，使？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．

答案和解析 1.【答案】 【解析】解：，，
无理数有：、、共个；
有理数有：，，，共个，
故选：．
根据无理数的三种形式：开方开不尽的数，无限不循环小数，含有的数；有理数的定义就是整数和分数的统称，据此分辨出有理数与无理数即可．
本题考查了无理数的知识，解答本题的关键是掌握无理数的三种形式：开方开不尽的数，无限不循环小数，含有的数．
 2.【答案】 【解析】解：该几何体的主视图的底层是三个小正方形，上层左边是一个小正方形；俯视图是一行三个小正方形，所以从正面和上面看到的平面图形不相同，故本选项不合题意；
B.该几何体的主视图的底层是两个小正方形，上层左边是一个小正方形；俯视图的底层是一个小正方形，所以从正面和上面看到的平面图形不相同，故本选项不合题意；
C.该几何体的主视图和俯视图相同，均为底层是两个小正方形，上层左边是一个小正方形，故本选项符合题意；
D.该几何体的主视图的底层是两个小正方形，上层右边是一个小正方形；俯视图的底层是一个小正方形，所以从正面和上面看到的平面图形不相同，故本选项不合题意．
故选：．
根据主视图和俯视图的定义判断即可．
此题主要考查了作图三视图的画法，正确把握观察角度是解题关键．
 3.【答案】 【解析】解：万．
故选：．
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，据此判断即可．
此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，确定与的值是解题的关键．
 4.【答案】 【解析】解：．与不是同类二次根式，无法合并，则不符合题意；
B.，则不符合题意；
C.，则符合题意；
D.，则不符合题意；
故选：．
根据二次根式的性质及加减法则和整式的相关运算法则将各项运算后进行判断即可．
本题考查二次根式和整式的相关运算法则，它们均为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
 5.【答案】 【解析】解：将数据重新排列为、、、、，
所以这组数据的众数为，中位数为，
故选：．
将这组数据重新排列，再根据众数和中位数的概念求解即可．
本题考查了中位数和众数的概念，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
 6.【答案】 【解析】解：作轴于，轴于，

∽，
，
，
，，
∽，且：，
，，
，
故选：．
作轴于，轴于，由∽，得，从而得出，的长．
本题主要考查了位似变换，熟练掌握位似变换的性质是解题的关键．
 7.【答案】 【解析】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
且，即，解得，
的取值范围为且．
当且时，关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
故选：．
由关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义可得且，即，两个不等式的公共解即为的取值范围．
本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根；也考查了一元二次方程的定义．
 8.【答案】 【解析】解：过作于，
是等边三角形，
，，
，
，，
的面积为，
，
莱洛三角形的面积，
故选：．
图中三角形的面积是由三块相同的扇形叠加而成，其面积三块扇形的面积相加，再减去两个等边三角形的面积，分别求出即可．
本题考查了等边三角形的性质和扇形的面积计算，能根据图形得出莱洛三角形的面积三块扇形的面积相加、再减去两个等边三角形的面积是解此题的关键．
 9.【答案】 【解析】解：连接，中，，，为中点，
，，，
，
．
，，
，，
，
．
故选：．
连接，由中，，，为中点，利用等腰三角形三线合一的性质，可证得，再利用勾股定理，求得的长，那么在直角中根据三角函数的定义求出，然后根据同角的余角相等得出，于是．
此题考查了解直角三角形、等腰三角形的性质、勾股定理、锐角三角函数的定义以及余角的性质．此题难度适中，解题的关键是准确作出辅助线，注意数形结合思想的应用．
 10.【答案】 【解析】解：连接，
在中，，，，
．
作法可知，是线段的垂直平分线，
是斜边的中线，
，
，
．
故选：．
连接，根据在中，，，可知，再由作法可知，是线段的垂直平分线，故CD是斜边的中线，据此可得出的长，进而可得出结论．
本题考查的是作图基本作图，熟知线段垂直平分线的作法和直角三角形的性质是解答此题的关键．
 11.【答案】 【解析】解：如图所示，过点，分别作轴的垂线，垂足分别为，，

、都是等边三角形，
，
，
，反比例函数为，
设，则，
，
在反比例函数上，
，
解得：或负值舍去，
，
，
故选：．
过点，分别作轴的垂线，垂足分别为，，根据等边三角形的性质，勾股定理得出，进而得出，设，则，则，代入反比例函数解析式，解方程即可求解．
本题考查了反比例函数的性质，等边三角形的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
 12.【答案】 【解析】解：抛物线的对称轴在轴右侧，则，而，，故正确，符合题意；
的面积，解得：，则点，即与图象不符，故错误，不符合题意；
函数的对称轴为，若，则，则点离函数对称轴远，故，故错误，不符合题意；
抛物线经过点，则过点，根据函数的对称轴是可知该抛物线也过点，故方程的两根为，，故正确；
故选：．
根据对称轴和抛物线与轴的交点可对作出判断；
根据的面积可得的长，得出点的坐标，可对作出判断；
根据抛物线的对称轴得到点、离对称轴得远近，可对作出判断；
根据抛物线与一元二次方程的关系可对作出判断．
本题考查的是抛物线与轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．
 13.【答案】或 【解析】解：由代数式有意义，得
．
解得或，
故答案为：或．
根据函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为；函数表达式是二次根式时，被开方数非负，可得答案．
本题考查了二次根式有意义的条件，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为；当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
 14.【答案】 【解析】解：

．
故答案为：．
直接提取公因式，再利用十字相乘法分解因式得出答案．
此题主要考查了提取公因式法以及十字相乘法分解因式，正确运用十字相乘法分解因式是解题关键．
 15.【答案】 【解析】解：根据题中的新定义化简得：，
去括号得：，
移项合并得：，
解得：．
故答案为：．
已知等式利用题中的新定义化简，求出解即可得到的值．
本题考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的步骤是解本题的关键．
 16.【答案】 【解析】解：由已知得，，
在中，，．
在中，，．
解得，．
．
故答案为：．
在图中两个直角三角形中，先根据已知角的正切函数，分别求出和，根据它们之间的关系，构建方程解答．
本题考查解直角三角形的应用，解一般三角形的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．
 17.【答案】 【解析】解：关于的一元二次方程有实数根，
，即，
整理得：，
解得：，
该方程的两个实数根分别为，，
，，
，
，
，
解得：或，
，
实数的值为．
故答案为：．
根据方程有实数根，得到根的判别式大于等于，求出的范围即可，已知等式利用完全平方公式化简，再利用根与系数的关系将各自的值代入计算即可求出的值．
本题考查了根的判别式和根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，则，．
 18.【答案】 【解析】解：如图，

在正方形中，，，，
在和中，
，
≌，
，
在和中，
，
≌，

，
，
，
，
取的中点，连接、，
则，
在中，，
根据三角形的三边关系，，
当、、三点共线时，的长度最小，
最小值．
故答案为：．
先判断出≌，得出，进而判断出≌，得出，即可判断出，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，利用勾股定理列式求出，然后根据三角形的三边关系可知当、、三点共线时，的长度最小．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，三角形的三边关系，确定出最小时点的位置是解题关键．
 19.【答案】解：原式

． 【解析】直接利用负指数幂的性质以及特殊角的三角函数值和绝对值的性质分别化简各数得出答案．
此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
 20.【答案】解：方程两边同时乘以，
得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为得：．
把代入．
则方程的解是：． 【解析】方程两边同时乘以，则可以把方程转化为整式方程，即可求得的值，把所求的值代入进行检验即可．
本题主要考查了分式方程的解法．解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
 21.【答案】解：


，
当，时，
原式． 【解析】根据分式的除法和减法可以化简题目中的式子，然后将、的值代入化简后的式子即可解答本题．
本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
 22.【答案】 【解析】解：根据题意可得，其他三类的百分比为，
其他三类的人数和为人，
抽取的总数为人，
抽取的类市民有人，
补全条形统计图如下：

故答案为：；

人，
答：估计该区已接种第一剂新冠疫苗的市民有人；

画树状图得：

共有种等可能的结果，抽取的两人恰好是一男生和一女生的有种结果，
抽取的两人恰好是一男生和一女生的概率为．
根据抽取的类的百分比求出其他三类的百分比，由其他三类的人数和除以其他三类的百分比可得抽取的总数，乘以抽取的类的百分比即可得抽取的类人数，从而补全条形统计图；
根据本次抽取人数占已接种市民人数的即可求解；
首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好抽到一男生和一女生的情况，再利用概率公式即可求得答案．
此题考查了树状图法与列表法求概率以及条形统计图，扇形统计图．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 23.【答案】证明：四边形是菱形，
，，
，
，
，
四边形是菱形，
，，
，
，
，
，
≌，
，，
，
． 【解析】根据菱形的性质得到，，由平行线的性质得到，等量代换得到；
根据全等三角形的性质得到，，根据线段的和差即可得到结论．
本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
 24.【答案】解：由题意，得：

，
即；

由题意可知：
，
解这个方程得：，．
由得，，
如果张明想要每月获得的利润为元，张明每月的单价定为元；

对于函数的图象的对称轴是直线．
又，抛物线开口向下．
当时，随着的增大而增大，
当时，，
答：当销售单价定为元时，每月可获得最大利润，最大利润是元． 【解析】由题意得，每月销售量与销售单价之间的关系可近似看作一次函数，利润定价进价销售量，从而列出关系式；
把元代入上述二次函数关系式，根据函数性质，确定单价；
首先确定二次函数的对称轴，然后根据其增减性确定最大利润即可．
此题考查了二次函数的应用，还考查抛物线的性质，另外将实际问题转化为求函数最值问题，从而来解决实际问题．
 25.【答案】解：，，
．
轴于点，，
，．
点的坐标为、点的坐标为、点的坐标为．
一次函数的图象与，轴交于，两点，
，
解得．
直线的解析式为．
反比例函数的图象过，
，
．
该反比例函数的解析式为；
联立反比例函数的解析式和直线的解析式可得，
解得点的坐标为，
则的面积，
的面积，
的面积为；
由图象得，一次函数的值大于反比例函数的值时的取值范围：或． 【解析】根据已知条件求出、、点坐标，用待定系数法求出直线和反比例函数的解析式；
联立一次函数的解析式和反比例的函数解析式可得交点的坐标，从而根据三角形面积公式求解；
根据函数的图象和交点坐标即可求解．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．
 26.【答案】证明：连，，如图，
为直径，
，即，
又，
而，
，
，即，
是的切线；

解：为的切线，是切线，
，，
，
，，
，
．
而，
，
∽，证明：连，，如图，
为直径，
，即，
又，
而，
，
，即，
是的切线；
，
，
在中，设，
，
解得．
即的长为． 【解析】连，，根据圆周角定理得到，而，，于是；
根据切线的性质得到，，则，得到，易证∽，得到，求得，然后在中，运用勾股定理可计算出的长．
本题考查了切线的判定与性质：过半径的外端点与半径垂直的直线是圆的切线；也考查了圆周角定理的推论以及三角形相似的判定与性质，熟练应用切线判定是解题的关键．
 27.【答案】解：抛物线顶点坐标为，
可设抛物线解析式为，
将代入可得，
；
直线过点，
设直线的解析式为，
点是对称轴与轴的交点，
，
把点代入，
则，
解得，
直线的解析式为，
联立，
解得，，
，
，，，
，
是直角三角形，
；
存在，设点的坐标为，
过作对称轴的垂线，垂足为，

则，，
，
，
在中，
，
，
或舍去，
，
，，
连接，在中，
，
，，
在以为圆心，为半径的圆与轴的交点为点，
此时，，
设，为圆的半径，
，
，
，
或，
综上所述：点坐标为或 【解析】由题意可设抛物线解析式为，将代入可得，则可求解析式；
线求得直线的解析式为，联立抛物线的解析式求得点的坐标，然后根据勾股定理判断出三角形是直角三角形，即可求得三角形的面积；
设点的坐标为，过作对称轴的垂线，垂足为，则，，在中，，所以，求出，所以，，连接，在中，，，在以为圆心，为半径的圆与轴的交点为点，此时，，设，为圆的半径，，求出或，即可求．
本题考查二次函数的综合题；熟练掌握二次函数的图象及性质，能够利用直角三角形和圆的知识综合解题是关键．