2023年湖南省邵阳市隆回县中考数学一模试卷（含解析）

2023年湖南省邵阳市隆回县中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的相反数的倒数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列商标图案中，既不是轴对称图形又不是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列计算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

4.  红细胞是血液中数量最多的一种血细胞，它将氧气从肺送到身体各个组织，它的直径约为，将用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

5.  如图，平分，于，于，下列结论错误的是(    )

A.
B.
C.
D.

6.  不等式组的解集在数轴上可以表示为(    )

A.  B.
C.  D.

7.  在同一坐标系中，函数和的图象大致是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  一元二次方程的根的情况是(    )

A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根
C. 只有一个实数根 D. 没有实数根

9.  如图，直线、被直线所截，，，则等于(    )

A.
B.
C.
D.

10.  某工厂现在平均每天比原计算多生产台机器，现在生产台机器所需时间与原计划生产台机器所需时间相同，设原计划平均每天生产台机器，根据题意，下面所列方程正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）

11.  因式分解：______．

12.  函数中，自变量的取值范围是______．

13.  一个底面半径为，高为的圆锥，这个圆锥的侧面积为______ ．

14.  一个等腰三角形的腰和底分别是方程两根，则此三角形的周长为______ ．

15.  如图，点，分别在线段，上，，相交于点，，要使≌，需添加一个条件是______ 只需填一个即可．

16.  如图，在中，弦，点是圆上一点，且，则的直径为______ ．

17.  冬冬在离路灯底部处测得自己的影子长为，他的身高为，则路灯的高度为______

18.  在平面直角坐标系内，一束光线从点射向轴上的点，经轴反射后反射光线经过点，则点的坐标为______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.  本小题分
计算：．

20.  本小题分
先化简，再在、、中选择一个合适的值代入求值．
．

21.  本小题分
如图，已知点是菱形对角线上一点，连接、．
求证：；
若，菱形的周长等于，，求．

22.  本小题分
年月日，某校团委向全校名学生发起了“爱心一日捐”学雷锋捐款活动，为了了解捐款情况，团委随机调查了部分学生的捐款金额，并用得到的数据绘制了如图统计图．
和图，请根据相关信息，解答下列问题：
求本次接受随机抽样调查的学生人数和图中的值；
求本次调查获取的样本数据的平均数、众数和中位数；
根据样本数据，估计该校本次活动捐款金额为元的学生人数．
 

23.  本小题分
阳光服装店平均每天可销售衬衫件，每件盈利元为了扩大销售增加盈利，该店采取了降价措施，经过一段时间销售，发现销售单价每降低元，平均每天可多售出件．
当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为元？
该商店每天销售利润能不能达到元？请说明理由．

24.  本小题分
如图，在贺龙体育馆通道的建设中，建设工人将坡长、坡角的斜坡通道改造成坡角为斜坡通道，使坡的起点从点向左平移至点处，求改造后的斜坡通道的长精确到参考数据：，，．

25.  本小题分
如图，是的直径，是的弦，点是延长线的一点，平分交于点，过点作，垂足为点．
猜想直线与有怎样的位置关系？并证明你的猜想；
若，，求的半径和的长．

26.  本小题分
如图，已知抛物线经过原点，顶点为，且与直线交于，两点．
求抛物线的解析式及点的坐标；
求证：是直角三角形；
若点为轴上的一个动点，过点作轴与抛物线交于点，则是否存在以，，为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的相反数是，
的倒数是，
的相反数的倒数是，
故选D．
根据相反数和倒数的定义进行求解即可．
本题主要考查了相反数和倒数的定义，解题的关键是熟知只有符号不同的两个数互为相反数，的相反数是；乘积为的两个数互为倒数．
 

2.【答案】 

【解析】解：、是轴对称图形，不是中心对称图形；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形；
C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形，
故选：．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念逐项分析即可．
本题主要考查轴对称图形和中心对称图形的概念，以及对轴对称图形和中心对称图形的认识，熟记轴对称图形与中心对称图形的概念是解题关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：和不是同类项，不能合并，故不符合题意；
B.，故不符合题意；
C.，故不符合题意；
D.，故符合题意；
故选：．
完全平方公式，合并同类项，幂的乘方与积的乘方进行解答即可．
本题考查了完全平方公式，合并同类项，幂的乘方与积的乘方，熟练掌握计算法则是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：，
故选：．
绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
 

5.【答案】 

【解析】解：平分，，，
，，，
故A，D正确；
在和中，
，
≌，
，，
故B正确、C错误，
故选：．
由平分，，，得，，，可判断，D正确；根据直角三角形全等的判定定理“”可证明≌，得，，可判断B正确、C错误，于是得到问题的答案．
此题考查角平分线上的点到角的两边的距离相等、全等三角形的判定与性质等知识，证明≌是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：由得，
由得，
则不等式组的解集为，
将解集表示在数轴上如下：

故选：．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：两个函数的比例系数均为，
两个函数图象必有交点，
交轴的正半轴，符合这两个条件的选项只有，
故选：．
比例系数相等，那么这两个函数图象必有交点，进而根据一次函数与轴的交点判断正确选项即可．
本题考查了反比例函数的图象与一次函数的图象的知识，解题的关键是能够根据比例系数确定二者有交点，难度中等
 

8.【答案】 

【解析】解：，
一元二次方程有两个相等的实数根．
故选：．
根据方程的系数结合根的判别式，可得出，进而即可得出原方程有两个相等的实数根．
本题考查了根的判别式，牢记“当时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：，，
，
故选D．
根据“两直线平行，同位角相等”即可求解．
本题考查了平行线的性质．关键是根据两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．
 

10.【答案】 

【解析】解：设原计划平均每天生产台机器，
根据题意得：，
故选：．
设原计划平均每天生产台机器，根据题意可知现在每天生产台机器，而现在生产台所需时间和原计划生产台机器所用时间相等，从而列出方程即可．
此题主要考查了列分式方程应用，利用本题中“现在平均每天比原计划多生产台机器”这一个隐含条件，进而得出等式方程是解题关键．
 

11.【答案】 

【解析】

【分析】
先提取公因式，再根据完全平方公式进行二次分解．完全平方公式：．
本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方公式进行二次分解，注意分解要彻底．
【解答】
解：
提取公因式
完全平方公式
故答案为：．  

12.【答案】或 

【解析】解：由题意得，，
则或，
解得，或，
故答案为：或．
根据二次根式有意义的条件、分式有意义的条件列出不等式组，基本都是在得到答案．
本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，掌握二次根式的被开方数是非负数、分式的分母不为是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：圆锥的底面半径为，高为，
圆锥的母线长为：，
圆锥的侧面积为：，
故答案为：．
根据勾股定理求出圆锥的母线长，再根据扇形面积公式计算，得到答案．
本题考查的是圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．
 

14.【答案】 

【解析】解：解方程，得，；
当底为，腰为时，由于，不符合三角形三边关系，不能构成三角形；
等腰三角形的底为，腰为；
三角形的周长为．
故答案为：．
本题要先通过解方程求出等腰三角形的两边的长，然后利用三角形三边关系确定等腰三角形的腰和底的长，进而求出三角形的周长．
此题是一元二次方程的解法结合几何图形性质的应用，结果要结合三角形三边关系来检验．是一道难度适中的综合题．
 

15.【答案】或或或或 

【解析】解：，，
添加：，，，，，
≌．
故填：或或或或．
要使≌，已知，，具备了一组边和一组角对应相等，还缺少边或角对应相等的条件，结合判定方法及图形进行选择即可．
本题考查三角形全等的判定方法；判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、添加时注意：、不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：，
，
设的半径为，
，
，
解得．
的直径为．
故答案为：．
通过，可得出，根据就可以结合勾股定理求出的长了．
本题考查了圆周角定理、勾股定理，解题的关键是通过圆周角定理得到的度数．
 

17.【答案】 

【解析】解：如图，，，，

，，

∽，
，
，，，
，
解得：，
故答案为：．
如图，设为小亮，为路灯，米，利用相似三角形求得的长即可．
本题考查的是相似三角形在实际生活中的运用，根据题意画出图形，构造出相似三角形是解答此题的关键．
 

18.【答案】 

【解析】解：作轴于，
由题意得，
，

∽，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
利用入射角等于反射角的原理可以∽，相似三角形的知识及勾股定理可以求出，进一步求得，即可求得的坐标．
本题考查了相似三角形的判定与性质，坐标与图形变换，点的反射问题；利用相似三角形的性质得到相关结论是解决本题的关键．
 

19.【答案】解：


． 

【解析】本题涉及乘方、特殊角的三角函数值、负整数指数幂、零指数幂、二次根式化简个知识点．在计算时，需要针对每个知识点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握乘方、特殊角的三角函数值、负整数指数幂、零指数幂、二次根式等知识点的运算．
 

20.【答案】解：




，
当或时，原分式无意义，
，
当时，原式． 

【解析】先将分式的分子分母分解因式，同时将除法转化为乘法，然后约分，再算减法，然后从、、中选择一个使得原分式有意义的值代入化简后的式子计算即可．
本题考查分式的化简求值，熟练掌握运算法则和运算顺序是解答本题的关键．
 

21.【答案】证明：四边形是菱形，
，，
在和中，
，
≌，
，
在和中，
，
≌，
．
解：菱形的周长为，
，
，，
，
． 

【解析】由菱形的性质得，，可证明≌，得，再证明≌，得；
由菱形的周长为，求得，而，，则，即可求得．
此题重点考查菱形的性质、全等三角形的的判定与性质、勾股定理、锐角三角函数等知识，证明≌是解题的关键．
 

22.【答案】解：调查的学生数是：人，
；
平均数是：元，众数是：元，中位数是：元；
该校本次活动捐款金额为元的学生人数大约有：人． 

【解析】根据捐款数是元的，所占的百分比是，即可求得总人数，然后根据百分比的意义求得的值；
根据平均数、众数、中位数的定义即可求解；
利用总人数乘以对应的百分比即可求解．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
 

23.【答案】解：设当每件商品降价元时，该商店每天销售利润为元．由题意得，
，
，舍去．
答：当每件商品降价元时，该商店每天销售利润为元．
该商店每天的利润不能达到元，
理由如下：
设当每件商品降价元时，商店每天销售利润为元，由题意得，

．
，
当时，有最大值是，
．
该商店每天的利润不能达到元． 

【解析】设每件衬衫降价元，则每件盈利元，每天可以售出件，根据该商店每天销售该种商品的利润为元，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值；
同得出，根据的最大值为可得出答案．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

24.【答案】解：在中，
，，
，
，
在中，
，，
，
．
答：改造后的斜坡通道的长约为． 

【解析】先在中求出，再在中求出即可．
本题考查解直角三角形的应用坡度坡角问题，在不同直角三角形中利用好三角函数定义是解题的关键．
 

25.【答案】解：是的切线．
证明：连接，

．
，
平分，
，
，
，
半径，
是的切线；

连接，

在中，，
是的直径，
，
，
，
∽，
，
，
，
；即的半径为．
作于，
，
四边形是矩形，
，，，
，
．
的半径为，的长为． 

【解析】证明：连接，证得，由平行线的判定得到，再证得，即可证得结论；
证明：连接，由圆周角定理得到，再证得∽，根据相似三角形的性质即可证得结论．
本题主要考查了圆周角定理，切线的判定，平行线的性质和判定，勾股定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握切线的判定定理是解决问题的关键．
 

26.【答案】解：顶点坐标为，
设抛物线解析式为，
又抛物线过原点，
，解得，
抛物线解析式为，
即，
联立抛物线和直线解析式可得，解得或，
，；
如图，分别过、两点作轴的垂线，交轴于点、两点，

则，，，
，即，
是直角三角形；
假设存在满足条件的点，设，则，
，，
由在和中，可分别求得，，
轴于点
，
当和相似时有或，
当时，则有，即，
当时、、不能构成三角形，
，
，即，解得或，
此时点坐标为或；
当时，则有，即，
，即，解得或，
此时点坐标为或，
综上可知存在满足条件的点，其坐标为或或或． 

【解析】可设顶点式，把原点坐标代入可求得抛物线解析式，联立直线与抛物线解析式，可求得点坐标；
分别过、两点作轴的垂线，交轴于点、两点，结合、、三点的坐标可求得，可证得结论；
设出点坐标，可表示出点坐标，从而可表示出、的长度，当和相似时，利用三角形相似的性质可得或，可求得点的坐标．
本题为二次函数的综合应用，涉及知识点有待定系数法、图象的交点问题、直角三角形的判定、勾股定理、相似三角形的性质及分类讨论等．在中注意顶点式的运用，在中设出、的坐标，利用相似三角形的性质得到关于坐标的方程是解题的关键，注意相似三角形边的对应．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．